Реализовать программу для работы с типом данных ”Дерево”

1. Задание

Написать программу, реализующую  структуру данных АВЛ-деревья. Программа  должна выполнять следующие функции:

• Создание дерева.
• Добавление узла в дерево.
• Удаление узла из дерева.
• Поиск узла по значению.
• Поиск минимального по значению узла.
• Поиск максимального по значению узла.
• Восстановление баланса дерева.
• Поиск упорядоченного бинарного дерева поиска максимальной высоты.
• Вывод дерева на экран в виде рисунка.

Программа должна быть реализована  на Windows Forms в среде программирования C++ Builder 6.

2. Теория

Одним из направлений в  разработке алгоритмов поиска данных является организация поиска данных, имеющих древовидную структуру. Анализ деревьев только с точки зрения представления данных в виде иерархической  структуры, позволяет сделать вывод  о том, что существенного выигрыша при организации поиска не получится. Сравнение ключа поиска с ключами  узлов дерева необходимо провести для  всех элементов дерева.

Уменьшить число сравнений  ключей с эталоном возможно, если выполнить  организацию дерева особым образом, то есть расположить его элементы по определенным правилам. При этом в процессе поиска можно будет  просматривать не все дерево, а  отдельные поддеревья. На практике для поиска используются некоторые  разновидности бинарных деревьев, которые  позволяют эффективно решать задачу поиска в тех случаях, когда данные меняют свою исходную структуру в  процессе обработки. Рассмотрим двоичные деревья поиска.

Двоичным деревом поиска (ДДП) называют дерево, все вершины  которого упорядочены, каждая вершина  имеет не более двух потомков (назовём  их левым и правым), и все вершины, кроме корня, имеют родителя. Вершины, не имеющие потомков, называются листами. Подразумевается, что каждой вершине  соответствует элемент или несколько  элементов, имеющие некие ключевые значения, в дальнейшем именуемые  просто ключами. Обычно одной вершине соответствует один элемент, поэтому данные термины можно без потери смысла считать синонимами, хотя и надо помнить, что в некоторых реализациях это не так. В приведённых алгоритмах считается, что одной вершине соответствует только один элемент. Поэтому мы будем использовать понятия ключа вершины и данных вершины, подразумевая ключ и данные соответствующего вершине элемента. Мы так же будем понимать под вставкой вершины добавление вершины с указанным значением элемента и присвоение указателям на родителя и потомков корректных значений. Именно ключ используется во всех операциях сравнения элементов. Элемент может также содержать ассоциированные с ключом данные. На практике в качестве ключа может использоваться часть данных элемента. Ключ также может храниться как отдельное значение. ДДП позволяет выполнять следующие основные операции:

• Поиск вершины по ключу.
• Определение вершин с минимальным и максимальным значением ключа.
• Переход к предыдущей или последующей вершине, в порядке, определяемом ключами.
• Вставка вершины.
• Удаление вершины.

Двоичное дерево может  быть логически разбито на уровни. Корень дерева является нулевым уровнем, потомки корня – первым уровнем, их потомки – вторым, и т.д. Глубина  дерева это его максимальный уровень. Понятие глубины также может  быть описано в терминах пути, то есть глубина дерева есть длина самого длинного пути от корня до листа, если следовать от родительской вершины  до потомка. Каждую вершину дерева можно  рассматривать как корень поддерева, которое определяется данной вершиной и всеми потомками этой вершины, как прямыми, так и косвенными. Поэтому о дереве можно говорить как о рекурсивной структуре. Эффективность поиска по дереву напрямую связана с его сбалансированностью, то есть с максимальной разницей между  глубиной левого и правого поддерева  среди всех вершин. Имеется два  крайних случая – сбалансированное бинарное дерево (где каждый уровень  имеет полный набор вершин) и вырожденное  дерево, где на каждый уровень приходится по одной вершине. Вырожденное дерево эквивалентно связанному списку. Время  выполнения всех основных операций пропорционально  глубине дерева. Таким образом, скоростные характеристики поиска в ДДП могут  варьироваться от O(log₂N) в случае законченного дерева до O(N) – в случае вырожденного.

ДДП может быть использовано для реализации таких абстракций, как сортированный список, словарь (набор соответствий "ключ-значение"), очередь с приоритетами и так  далее.

При реализации дерева помимо значения ключа (key) и данных также  хранятся три указателя: на родителя (net), левого (left) и правого (right) потомков. Если родителя или потомка нет, то указатель хранит нулевое (NULL, NIL) значение.

1. Свойство упорядоченности  двоичного дерева поиска

Если x – это произвольная вершина в ДДП, а вершина y находится  в левом поддереве вершины x, то y.key <= x.key. Если x – это произвольная вершина ДДП, а вершина y находится  в правом поддереве вершины x, то y.key >= x.key. Из свойства следует, что  если y.key == x.key, то вершина y может находиться как в левом, так и в правом поддереве относительно вершины x.

Необходимо помнить, что  при наличии нескольких вершин с  одинаковыми значениями ключа некоторые  алгоритмы не будут работать правильно. Например, алгоритм поиска будет всегда возвращать указатель только на одну вершину. Эту проблему можно решить, храня элементы с одинаковыми  ключами в одной и той же вершине в виде списка. В таком  случае мы будем хранить в одной  вершине несколько элементов, но данный случай в статье не рассматривается.

Это двоичное дерево поиска:

Рис. 2.1.

А это нет:

Рис. 2.2.

2. Способы обхода ДДП

Есть три способа обхода: Прямой (preorder), Поперечный (inorder), Обратный (postorder).

• Прямой обход: сначала обходится данная вершина, левое поддерево данной вершины, затем правое поддерево данной вершины.
• Поперечный обход: сначала обходится левое поддерево данной вершины, затем данная вершина, затем правое поддерево данной вершины. Вершины при этом будут следовать в неубывающем (по ключам key) порядке.
• Обратный обход: сначала обходится левое поддерево данной вершины, затем правое, затем данная вершина.

На рисунке 3 порядок обхода вершин указан номерами, при этом предполагается, что сами вершины расположены  так, что образуют ДДП.

Рис. 2.3.

 

Наиболее часто употребляется  поперечный обход, так как во всех других способах обхода следующие друг за другом вершины не связаны никакими условиями отношения.

3. Поиск вершины в  ДДП

Идея поиска проста. Алгоритм поиска в ДДП по своей природе  рекурсивен. При его описании проще  всего использовать понятие поддерева. Поиск начинается с корня дерева, который принимается за корень текущего поддерева, и его ключ сравнивается с искомым. Если они равны, то, очевидно, поиск закончен. Если ключ, который  мы ищем, оказался больше текущего, то, очевидно, что нужная вершина находится  в правом поддереве, иначе – в  левом. Далее эта операция повторяется  для правого или левого поддерева. В условном коде это можно описать  так:

Рекурсивно:

TreeSearch(node, key)

Begin

  // Если вершина равна NIL, то нечего в ней искать. Так же и возвращаем.

  // Это нужно для поиска по не существующим потомкам

  If (node == NIL) Then

    Return node;

  // Если нашли, то возвращаем указатель на найденную вершину.

  If (node.key == key) Then

    Return node;

  // Если ключ найденной вершины больше того, который мы ищем

  If (node.key > key) Then

    // То искать в левом поддереве

    Return TreeSearch(node.left, key);

  Else

    // Иначе в правом поддереве

    Return TreeSearch(node.right, key);

End

Итеративно:

TreeSearch(node,key)

Begin

  // Пока ещё есть вершины среди которых можно искать

  //(мы просматриваем не все, но несколько) и пока мы не нашли

  While (node != NIL) and (node.key != key) Do

  Begin

    // Если ключ найденногй вершины больше того который мы ищем

    If (node.key > key) Then

      node = node.left; // То искать в левом поддереве

    Else

      node = node.right; // А иначе в правом поддереве

    End

  Return node; // Возвратить найденное

End

4. Поиск вершины с  минимальным и максимальным значением  ключа

Вершины с минимальным  и максимальным значением ключа  можно найти, пройдясь по левым (правым) указателям от корня (пока не достигнем NIL). Возвращаемое значение – это  указатель на вершину с минимальным (максимальным) значением ключа.

TreeMinimum(node)

Begin

  While (node.left != NIL) Do // Пока есть левый потомок

    Node = node.left; // Перейти к нему

  Return node;

End

 

TreeMaximum(node)

Begin

  While (node.right != NIL) Do // Пока есть правый потомок

    node = node.right; // Перейти к нему

  Return node;

End

5. Добавление вершины

Добавление вершины в  ДДП сопряжено с некоторыми проблемами. После добавления ДДП должно сохранить  свойство упорядоченности, а это  значит, что вершину, куда попало добавлять  нельзя. Поэтому, прежде чем вставлять  вершину, необходимо подобрать для  неё подходящее место, то есть такое  место, после вставки в которое, дерево сохранит своё свойство упорядоченности. Говоря другими словами, нам нужно место после вершины с наибольшим ключом из всех меньших данного.

TreeInsert(Tree,node)

Begin

  nodeParent = NIL;

  nodeTemp = T.root;

  // Пока ещё есть вершины которые надо просмотреть, то

  // есть пока мы не добрались до “листочков” дерева

  While (nodeTemp != NIL) Do

  Begin

    nodeParent = nodeTemp;

    // Если ключ вершины, которую мы хотим вставить,

    // меньше ключа текущей вершины

    If (node.key < nodeTemp.key) Then

      nodeTemp = nodeTemp.left; // То он должен быть в его левом поддереве

    Else

      nodeTemp = nodeTemp.right; // А иначе в правом

  End

  node.nodeParent = nodeParent;

  If (nodeParent == NIL) Then // Если в дереве ещё нет вершин

    Tree.root = node; // То добавить первую

  Else

  Begin

    // Если ключ вершины, которую мы хотим вставить,

    // меньше ключа вершины, потомком которой должна стать

    // вставляемая вершина

    If (node.key < nodeParent.key) Then

      nodeParent.left = node; // То добавить в дерево как левого потомка

    Else

      nodeParent.right = node; // Иначе добавить в дерево как правого потомка

  End

End

6. Удаление вершины

Проблемы возникают и  при удалении. Нам необходимо сохранить  свойство упорядоченности ДДП. При  удалении возможны три случая: у  удаляемой вершины нет потомков, у удаляемой вершины есть один потомок и у удаляемой вершины  два потомка. Если потомков нет, то вершину  можно просто удалить. Если потомок  один, то удаляемую вершину можно  “вырезать”, указав её родителю в качестве потомка единственного имеющегося потомка удаляемой вершины. Если же потомков два, требуются дополнительные действия. Нужно найти следующую  за удаляемой (по порядку ключей) вершину, скопировать её содержимое (ключ и  данные) в удаляемую вершину (она  теперь никуда не удаляется физически, хотя логически исчезает) и удалить  найденную вершину (у неё не будет  левого потомка). Сначала функция TreeDelete ищет вершину, которую надо удалить, затем переменной nodeTemp присваивается указатель на существующего потомка удаляемой вершины (или NIL, если потомков нет). Далее вершина удаляется из дерева, при этом отдельно рассматриваются случаи: когда потомков нет и когда удаляемая вершина – это корень дерева. Возвращаемое значение – это указатель на удалённую вершину. На неё уже нет никаких ссылок в самом дереве, но она всё ещё занимает память. Момент её реального удаления зависит от используемых методов распределения памяти.

TreeDelete(Tree,node)

Begin

  // Если потомков не более одного (случаи 1 и 2)

  If (node.left == NIL) or (node.right == NIL) Then

    del = node; // физически удаляем текущую вершину

  Else

    del = TreeNext(node); // Иначе следующую

  If (del.left != NIL) Then // Пытаемся найти хоть одного потомка

    nodeTemp = del.left;

  Else

    nodeTemp = del.right;

  // Если есть, родителем потомка делаем родителя

  // удаляемой вершины (случай 2)

  If (nodeTemp != NIL) Then

    nodeTemp.nodeParent = del.nodeParent;

  // Если удаляем корень дерева, надо указать новый корень дерева

  If (del.nodeParent == NIL) Then

    Tree.root = nodeTemp;

  Else

  Begin

    // Указываем родителю удаляемой вершины качестве потомка

    // потомок удаляемой вершины

    If (del.nodeParent.left == del) Then

      del.nodeParent.left = nodeTemp;

    Else

      del.nodeParent.right = nodeTemp;

  End

  If (del != node) Then // Если случай 3

  Begin

    node.key = del.key; // Скопировать ключ

    { копирование дополнительных данных }

  End

  Return del;

End

7. Случайные деревья  поиска

Случайные деревья поиска представляют собой упорядоченные бинарные деревья поиска, при создании которых элементы (их ключи) вставляются в случайном порядке.

При создании таких деревьев используется тот же алгоритм, что  и при добавлении вершины в  бинарное дерево поиска. Будет ли созданное  дерево случайным или нет, зависит  от того, в каком порядке поступают  элементы для добавления. Примеры  различных деревьев, создаваемых  при различном порядке поступления  элементов, приведены ниже (рис. 2.4).

При поступлении элементов  в случайном порядке получаем дерево с минимальной высотой h (рис. 2.4А), при этом минимизируется время поиска элемента в дереве, которое пропорционально O(log n). При поступлении элементов в упорядоченном виде (рис. 2.4В) или в порядке с единичными сериями монотонности (рис. 2.4С) происходит построение вырожденных деревьев поиска (оно вырождено в линейный список), что нисколько не сокращает время поиска, которое составляет O(n).

 

 
Рис. 2.4. Случайные деревья поиска

8. Сбалансированные  по высоте деревья

В худшем случае, когда дерево вырождено в линейный список, хранение данных в упорядоченном бинарном дереве никакого выигрыша в сложности  операций по сравнению с массивом или линейным списком не дает. В  лучшем случае, когда дерево сбалансировано, для всех операций получается логарифмическая  сложность, что гораздо лучше. Идеально сбалансированным называется дерево, у которого для каждой вершины выполняется требование: число вершин в левом и правом поддеревьях различается не более чем на 1.