Вывод:

   Таким образом, из проделанной работы можно сделать вывод о том, что при вычислении значений тригонометрических функций методом линейной интерполяции для снижения погрешности необходимо увеличивать количество ячеек запоминающего устройства, отводимых для решения данной задачи. Тогда как при использовании разложения функции в степенной ряд необходимо увеличение быстродействия системы. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   Задание №2

   Определение оптимального шага интегрирования.

   Если  функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и известна её первообразная F(x), то определённый интеграл от этой функции в пределах от «a» до «b» может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница:

    .

   При вычислении интегралов на ЦВМ большое распространение  нашли численные методы интегрирования. Большинство из них основано на замене интеграла конечной суммой.

   Для вычисления интеграла промежуток от «a» до «b» разбивается на «n» равных частей. Величину называют шагом интегрирования.

   Для точек  вычисляют значения подынтегральной функции f(x). Затем для составления программы используют одну из следующих формул:

1. Формула прямоугольников:

                         

Рис.6

                                      (2.1) 
 

2. Формула трапеций:

                                

Рис.7

              (2.2)

   3.Формула парабол (Симпсона):

                              

   Рис.8

                       (2.3)

Формулы 2.1-2.3 дают разные по точности результаты. При  одинаковом шаге интегрирования более  высокую точность можно получить по формуле парабол, меньшую точность результата – при использовании  формулы прямоугольников, а формула  трапеций даст промежуточный по точности результат.

       Очень важным обстоятельством  является то, что чем меньше  шаг интегрирования, тем результат  вычислений по любой из формул  будет точнее, т.к. с уменьшением  «n» уменьшается методическая ошибка интегрирования.

       Однако при вычислении интегралов по указанным формулам на ЭВМ с конечной разрядностью повышение точности за счёт уменьшения шага интегрирования возможно только до определённого значения шага. Среднеквадратическое значение результирующей ошибки вычислений определяется выражением:

,

Где - среднеквадратическое значение трансформированной ошибки, которую в дальнейшем будем считать независимой от шага интегрирования;

- среднеквадратическое значение методической ошибки, определяемое выбранным численным методом. Оно зависит от шага интегрирования. Чем меньше h, тем меньше и наоборот;

- среднеквадратическое значение инструментальной ошибки. Для машины с определённой разрядностью сетки зависит от объёма вычислительной работы и определяется числом операций с округлениями. С увеличением объёма вычислений число операций с округлениями возрастает. С уменьшением шага интегрирования объём вычислений по формулам 2.1-2.3 возрастает и, следовательно, возрастает значение .

    Т.о. с уменьшением шага интегрирования результирующая ошибка будет уменьшаться, за счёт уменьшения методической ошибки и будет увеличиваться за счёт увеличения инструментальной ошибки. Следовательно, для ЭВМ с определённой разрядностью машинного слова существует некоторый оптимальный шаг интегрирования, при котором результирующая ошибка минимальна (рис 8).

                                   

Рис.8

Теперь можно приступить к непосредственному вычислению интеграла с помощью описанных выше методов.

  Задан интеграл  вида:

Расчёты будем  производить по формулам 2.1 – 2.3 при  n = 5 и 10.

Время, затраченное  на вычисления, будем определять по формуле (1.5). 

Вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

А= = =

=0,00208+0,001375+0,1975= 0,200955. 

Далее найдём f( ) при h = 0,1 и n = 5:

f( ) = = 0,395;                        t = 12,2 мкс;

f( ) = = 0,39503;               t = 19,85 мкс;

f( ) = = 0,395608;            t = 29,75 мкс;

f( ) = = 0,398726;             t = 29,75 мкс;

f( ) = = 0,408824;             t = 29,75 мкс. 
 

Подставим полученные значения в формулу (2.1):

≈ 0,1*(0,395+0,39503+0,395608+0,398726+0,408824) = 0,1993.

tобщ = 123,4 мкс.

Аналогично можно  вычислить f( ) при h = 0,05 и n = 10:

≈ 0,05*(0,395+0,395002+0,39503+0,395172+0,395608+0,396641+0,398726+

  +0,402503+0,408824+0,418784) = 0,200064.

tобщ = 276,4 мкс.

Далее вычислим значение интеграла по формулам (2.2 и 2.3). Результаты вычислений занесём в таблицу №4.

Табл.4

Вывод:

       Проанализировав таблицу, очевидно, что вычисление определенных интегралов методами трапеций, прямоугольников и парабол не дает нам точного значения в случае достаточно большого шага интегрирования, а только приближенное.

       Чем ниже задается численное значение точности вычислений (основание трапеции, прямоугольника или параболы, в зависимости от метода), тем точнее результат получаемый машиной. При этом число интерраций составляет обратно пропорциональное от численного значения точности. Следовательно для большей точности необходимо большее число итераций, что обуславливает возрастание затрат времени вычисления интеграла на компьютере, обратно пропорциональное точности вычисления.

       Использование для вычисления одновременно трёх методов позволило исследовать зависимость точности вычислений при их применении.

       Таким образом, можно сделать вывод о том, что метод парабол позволяет производить вычисления с максимальной точностью. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задание №3

Вычисление полиномов.

Пусть задан  полином n-й степени:

Р(х) =                                                                                                (3.1)

Где - действительные коэффициенты.

Вычисление полинома может быть произведено несколькими  методами. Наиболее часто используется вычисление Р(х), как суммы произведений и вычисление по схеме Горнера. Вычисление полиномов как суммы произведений происходит путём простых арифметических действий с коэффициентами и переменными.

Формулу многочлена в общем виде (3.1) можно развернуть:

Р(х) =                                                             (3.2)

Схема Горнера получается из формулы (3.2) вынесением за скобки х всюду, где это возможно. Она основывается на следующем представлении полинома:

.                                                   (3.3)

Порядок действий при вычислении  f (x) определяется скобками в (3.3): сначала умножение ( ) и сложение внутри самой внутренней пары скобок (его результат обозначим через ), затем умножение и сложение внутри следующей пары скобок (результат ) и т.д.:

;

……………..

В конечном итоге  получаем:

Р(х) = . 

  1)  В качестве примера произведём вычисление следующих полиномов:

       а) Р(х) = ;

       б) Р(х) = .

Время, затраченное  на вычисление полиномов, найдём по формуле (1.5):

t = Atвыб + Btумн + Ctслож                                                                                

       а) t = 40*0,6 + 34*0,5 + 5*0,25 = 42,25 мкс;

        б) t = 20*0,6 + 14*0,5 + 5*0,25 = 20,25 мкс.

Вычислим значение полиномов как сумму произведений:

       а) Предположим, что нам задано значение х = 0,1. Р(0,1) = = -0,199993797;

       б) значение следующего полинома вычислим положив значение х = 0,15:

Р(х) = =-2,169977813. 

  2)  Преобразуем полиномы по схеме Горнера:

       а) Р(х) =((((х + 0,2) х - 2) х + 0,4) х + 0,6) - 0,2;

           t = 14*0,6 + 8*0,5 + 5*0,25 = 13,65 мкс;

       б) Р(х) =((((х - 0,6) х + 2) х + 0,6) х + 1,4) х - 2,4.

           t = 10*0,6 + 4*0,5 + 5*0,25 = 9,25 мкс.

Далее произведём вычисления для фиксированных значений х:

       а) х = 0,1;

    Р(х) =((((0,1 + 0,2) 0,1 - 2) 0,1 + 0,4) 0,1 + 0,6) - 0,2 =