Фрактальность

Если вы точно так  же не сможете отличить снимок какого-нибудь объекта от надлежащим образом увеличенного снимка любого его фрагмента, то перед вами — самоподобный объект. Все фракталы, обладающие хотя бы какой-нибудь симметрией, самоподобны.

Самоподобие означает, что  у объекта нет характерного масштаба: будь у него такой масштаб, вы сразу бы отличили увеличенную копию фрагмента от исходного снимка. Самоподобные объекты обладают бесконечно многими масштабами на все вкусы.

Разумеется, далеко не все  фракталы обладают столь правильной, бесконечно повторяющейся структурой, как те замечательные экспонаты будущего музея фрактального искусства, которые рождены фантазией математиков и художников. Многие фракталы, встречающиеся в природе (поверхности разлома горных пород и металлов, облака, турбулентные потоки, пена, гели, контуры частиц сажи и т. д.). лишены геометрического подобия, но упорно воспроизводят в каждом фрагменте статистические свойства целого. Такое статистическое самоподобие, или самоподобие в среднем, выделяет фракталы среди множества природных объектов.

Даже простейшие из фракталов — геометрически самоподобные фракталы — обладают непривычными свойствами. Например, снежинка фон Коха обладает периметром бесконечной длины, хотя ограничивает конечную площадь. Кроме того, она такая колючая, что ни в одной точке контура к ней нельзя провести касательную (математик сказал бы, что снежинка фон Коха нигде не дифференцируема).

Не менее необычна и увлекательна физика фракталов. Фрактальные  среды обладают настолько сложной геометрией, что многие процессы протекают в них не так, как в обычных сплошных средах,  о чем  мы   расскажем   чуть  ниже.

Фрактальные свойства —  не блажь и не плод досужей фантазии математиков. Изучая их, мы учимся различать  и предсказывать важные особенности окружающих нас предметов и явлений, которые прежде, если и не игнорировались полностью, то оценивались лишь приблизительно, качественно, на глаз. Например, сравнивая фрактальные размерности сложных сигналов, энцефалограмм или шумов в сердце, медики могут диагностировать некоторые тяжелые заболевания на ранней стадии, когда больному еще можно помочь.

Барабан, натянутый  на гладкий или фрактальный контур, звучит по-разному, и это различие можно. использовать для диагностики характера контура и определения его фрактальной размерности.

Метеорологи научились определять по фрактальной размерности изображения на экране радара скорость восходящих потоков в облаках, что позволяет с большим упреждением выдавать морякам и летчикам   штормовые    предупреждения.

Такого рода применений фракталов, уже сейчас существует великое множество, и число их все увеличивается. Об одном неожиданном применении и не менее неожиданном примере природного статистически самоподобного фрактала мы хотим рассказать несколько подробнее, тем более что это дает нам возможность обратить внимание на одно чрезвычайно важное обстоятельство, которое обычно упускают из виду или замалчивают,— роль наблюдателя и разрешающей способности приборов при определении размерности.

Велика ли протяженность  береговой линии Великобритании?

При разборе архива выдающегося специалиста по гидродинамике Луиса Фрая Ричардсона среди его бумаг были обнаружены черновики удивительного исследования. Несколько перефразируя слова Льюиса Кэрролла, можно сказать, что при переходе от географии к мелким камешкам он обнаружил неограниченное увеличение протяженности береговой линии. Контуры доброй старой Англии вели себя совсем не так, как полагалось бы евклидовой кривой. Но если береговая линия Великобритании не кривая, то что это? Теперь ответ известен: фрактал.

Публикуя данные' Ричардсона, Мандельброт привел свои оценки фрактальной размерности Хаусдорфа — Безиковича для нескольких береговых линий. Они колебались от почти единицы для сравнительно гладкого (взгляните на любую карту!) южного побережья Африки до 1,3 — для западного побережья Великобритании и рекордной отметки 1,52 — для изрезанного фьордами побережья Норвегии.

С точки зрения мухи

Вопрос о  том, является ли данный пред- -мет гладким или фрактальным, сам по себе лишен смысла. Ответ на подобный вопрос зависит от остроты зрения наблюдателя или от разрешающей способности прибора, которым он пользуется, то есть от того, насколько мелкие детали различает наблюдатель. Гладкая поверхность высочайшего класса обработки при соответствующем увеличении будет выглядеть, как горный ландшафт, подвергшийся интенсивной бомбардировке метеоритами. Относительно и само понятие размерности. Бенуа Мандельброт иллюстрирует это следующим примером.

Клубок шерсти кажется мухе с большого расстояния точкой (топологическая размерность 0). Подлетев поближе, муха видит «большую точку» — диск (топологическая размерность 2). С еще более близкого расстояния муха видит, что перед ней шар (топологическая размерность 3). Во всех случаях все неровности сглаживаются из-за большого расстояния, и размерность Хаусдорфа - Безиковича совпадает с топологической размерностью. Подлетев совсем близко, муха видит перед собой клубок гладких ниток, то есть хитрым образом сложенную пространственную кривую (топологическая размерность I). И лишь сев на клубок, муха видит пушинки, обрамляющие нить, то есть ощущает фрактальность шерстяной нити.

Какова же «истинная» размерность клубка шерсти? Да ее просто не существует: все зависит от точки зрения наблюдателя, разрешающей способности его глаз или прибора.

Муравей в лабиринте

Появление фракталов  позволило (точнее, по-видимому, позволило) разрешить еще одну загадку, издавна мучившую физиков; почему в большинстве эмпирических формул, в изобилии встречающихся в любом инженерном справочнике, показатели степеней в различных зависимостях такие «некрасивые», 'то есть выражаются необъяснимо странными, с точки зрения традиционной физики, дробными числами типа .1,1378... или 2,9315...? Ответ, по-видимому, надлежит искать в том, что при разрешениях, достижимых в технике, в игру вступает фрактальность среды, поверхности и т. д., не принимавшаяся во внимание физиками, но вполне ощутимая на эмпирическом уровне для инженеров.

Мы уже упоминали  о том, что физика фрактальной среды иногда сильно отличается от физики сплошной среды. Приведем лишь один пример.

Средний квадрат расстояния, на которое удаляется от исходной точки случайно блуждающая частица (математическая модель совершенно пьяного гуляки, делающего очередной шаг с равной вероятностью в любую сторону), пропорционален времени, если речь идет об обычной, сплошной среде. В фрактальной среде это не так. Даже на глаз, без всяких расчетов, видно, что случайно блуждающая частица будет удаляться от места старта медленнее, так как далеко не все направления для нее доступны: извилистый канал выбирает из множества ранее доступных направлений лишь малое подмножество разрешенных направлений. Средний квадрат расстояния для фрактальной среды оказывается   пропорциональным   некоторой

дробной степени  времени, показатель которой связан с фрактальной размерностью среды.

Это, в частности, означает, что диффузия в фрактальной среде происходит не так, как в обычной, сплошной среде. Множество препятствий (узких мест, крутых поворотов и тупиков) затрудняют продвижение частиц и замедляют диффузию. Лауреат Нобелевской премии де Жен сравнил частицу, блуждающую в фрактальной среде, с муравьем в лабиринте. Трудно приходится муравью. Отсюда и дробные показатели в различных зависимостях.

Замедление диффузии в фракталах столь   существенно,   что   она   перестает удовлетворять классическому закону Фика — как следствие — уравнению диффузии. Не спасает положения и попытка ввести переменный коэффициент диффузии, зависящий от концентрации частиц. Возникает новое, интегро-диффе-ренциальное уравнение, содержащее новый необычный объект — производную (по времени) дробного порядка, связанного с фрактальной размерностью среды. Ситуация несколько напоминает финал поэмы Льюиса Кэрролла «Охота на Снарка», где одно невиданное чудовище — Снарк — оказывается другим невиданным чудовищем — Буджумом. Впрочем, причудливость фрактальной геометрии в какой-то мере подготавливает нас к тому, что и физика происходящих в фрактальной среде процессов, в частности диффузии, должна описываться необычными   средствами.

Эстетика фракталов

Многие фракталы обладают эстетической привлекательностью. Более того, они просто неотразимы. Во многих странах мира демонстрировалась выставка, созданная в содружестве с художниками бременскими м… (нет, не музыкантами!) математиками Рихтером и Пейтгеном, На ней экспонировалось около полутораста художественных изображений фракталов. Весь мир обошли компьютерные «лунные» пейзажи, выполненные на. основе фрактальных множеств Бенуа Мандельбротом и его сотрудниками.

Звуковая палитра современных композиторов может быть значительно расширена за счет звучаний электронных инструментов с различными фрактальными характеристиками.

Наконец, нельзя не упомянуть  и об изящной словесности, ибо ей явно недостает свежей фрактальной струи. Какие захватывающие приключения ожидают Тезея в закоулках фрактального лабиринта, где за каждым поворотом его может поджидать роковая встреча с Минотавром! Какой длины должна была бы быть в среднем спасительная нить Ариадны, чтобы Тезей мог благополучно выбраться из лабиринта? Смог бы Том Сойер вывести Бекки Тэтчер из подземных фрактальных пещер, и сколько времени ему для этого потребовалось бы? Фракталы позволяют по-новому взглянуть и даже отчасти реабилитировать героев некоторых детских сказок, пользовавшихся репутацией отъявленных плутов и мошенников. Вспомним хотя бы сказку «Новое платье короля» Ганса Христиана Андерсена. Если бы портные

сшили новое платье короля из фрактальной ткани, на изготовление которой пошло бесконечное количество шелка, бархата и золота, то и тогда король вполне мог бы казаться голым. Произнесший знаменитую фразу ребенок изрек бы очевидную истину, ложность которой стала бы ясна только при более основательном знакомстве с теорией фракталов (чего ни в коем случае нельзя предполагать и тем более требовать от

_{невинного малютки).}

Фракталы неисчерпаемы, как неисчерпаемы их приложения в науке, технике, литературе и искусстве.

_Эпилог

Наше краткое повествование  об одном из чудес современной  науки — фракталах- — подходит к концу. Как всегда, когда речь заходит о науке, мы ставим не точку, а многоточие — наука продолжает жить и созидать новое знание.

Но прежде чем попрощаться с читателем и поблагодарить его за терпение, нам бы хотелось предостеречь от одной чрезвычайно распространенной и чрезвычайно соблазнительной ошибки,

С появлением фракталов  со всей очевидностью стала" ясна ограниченность описания природы с помощью гладких • кривых, поверхностей и гиперповерхностей. Окружающий нас мир гораздо разнообразнее, и в нем оказалось немало объектов, допускающих фрактальное описание и не укладывающихся в жесткие рамки евклидовых линий и поверхностей.

Не следует забывать, однако, о том, что и фракталы — не более чем упрощенная модель реальности, применимая к достаточно широкому, но все же ограниченному кругу предметов и явлений, и не претендует и не может претендовать на роль своеобразного универсального ключа к описанию природы. Как сказал Дж. Б. С. Холдейн, «мир устроен не только причудливей, чем мы думаем, но и причудливей, чем мы можем предполагать».