Введение в физику

— изменение  импульса тела равно произведению силы на время ее действия, то есть импульсу силы.

Связь кинетической энергии тела с силой  выглядит так:

, (2) 

где s —  модуль вектора перемещения тела, α — угол между векторами  и , а произведение Fs cos α = A — работа действующей на тело силы. Таким образом, эта запись означает, что изменение кинетической энергии тела равно работе приложенной к телу силы. 

Уравнение динамики вращательного  движения

Особенности вращательного движения твердого тела под действием внешних сил. Опыт показывает, что при вращательном движении твердого тела вокруг закрепленной оси масса уже не является мерой  его инертности, а сила - недостаточна для характеристики внешнего воздействия.

Пример.  Маятник Обербека.

Ускорение при вращательном движении зависит:

- не  только от массы тела, но и  от ее распределения относительно  оси вращения,

- не  только от силы, но и от точки  ее приложения и направления  действия.

Таким образом для описания вращательного  движения твердого тела необходимо ввести новые характеристики.

Момент  силы, действующей  на материальную точку. Пусть частица A движется произвольным образом относительно точки О под действием силы F (см. рис. 6.1). Моментом силы частицы относительно закрепленной точки называется величина, равная векторному произведению:

Рис. 6.1. 

M = [r·F],          (6.2)

где r - радиус вектор точки приложения силы F.

Рис. 6.2.  

Момент  силы - векторная величина. Для нахождения ее направления вектора r и F необходимо изобразить исходящими из одной точки  и связать с ними правый винт (см. рис. 6.2). Затем головку правого винта нужно вращать от r к F. Направление движения винта будет совпадать с вектором M.

Величина  вектора момента сил равна:

M = r·F·sin(a) = F·R,  

где R = r·sin(a)  - плечо силы, равное кратчайшему  расстоянию между осью вращения и  линией действия силы (см. рис. 6.1). 

Момент  инерции тела 

Момент  инерции. Моментом инерции материальной точки массы m относительно оси называется величина, равная:

Рис. 7 

I = m·r2,    (7)   

где r - кратчайшее расстояние от оси вращения до точки. 

Момент  инерции твердого тела равен сумме  моментов инерции его частей: 

I = Smi·ri2      (7) 

Следовательно, момент инерции твердого тела зависит  от: 

• массы тела;
• формы и размеров тела;
• распределения массы относительно оси вращения (при переносе оси вращения или отдельных частей тела его момент инерции изменяется).

Для симметричных тел момент инерции рассчитывается с помощью интегрального исчисления. 

Момент  импульса материальной точки и момент силы. 

Момент  импульса характеризует количество вращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение. 

  - момент импульса. 

 

Момент  силы. 

Момент  силы (вращающий момент) - физическая величина, характеризующая вращательное действие силы на твёрдое тело.

 

Закон сохранения импульса

Выясним, как изменяются импульсы двух тел  при их взаимодействии. 

 Обозначим  скорости тел массами m₁  и m₂ до взаимодействия через и , а после взаимодействия — через и . 

По третьему закону Ньютона силы, действующие  на тела при их взаимодействии, равны  по модулю и противоположны по направлению; поэтому их можно обозначить и . 

Для изменений  импульсов тел при их взаимодействии на основании равенства можно записать 

, 

, 

где t —  время взаимодействия тел. Из этих выражений  получаем 

. 

Таким образом, векторная сумма импульсов  двух тел до взаимодействия равна  векторной сумме их импульсов  после взаимодействия. 

Экспериментальные исследования взаимодействий различных  тел — от планет и звезд до атомов и элементарных частиц —  показали, что в любой системе  взаимодействующих между собой  тел при отсутствии действия сил  со стороны других тел, не входящих в систему, или равенстве нулю суммы действующих сил геометрическая сумма импульсов тел остается неизменной. 

Система тел, не взаимодействующих с другими  телами, не входящими в эту систему, называется замкнутой системой. 

В замкнутой  системе геометрическая сумма импульсов  тел остается постоянной при любых  взаимодействиях тел этой системы  между собой. 

Этот  фундаментальный закон природы  называется законом сохранения импульса. 

Необходимым условием применимости закона сохранения импульса к системе взаимодействующих  тел является использование инерциальной системы отсчета.

 

Закон сохранения момента  импульса

Закон сохранения момента импульса.

Из закона изменения момента импульса, полученного  нами для системы тел, вытекает закон  сохранения момента импульса применительно  к механике:  

момент  импульса системы тел сохраняется  неизменным при любых взаимодействиях  внутри системы, если результирующий момент внешних сил, действующих на нее, равен нулю. 

Еще раз  подчеркнем, что при использовании  этого закона моменты импульса и  сил необходимо брать относительно одно и той же оси.

Закон сохранения момента импульса является фундаментальным законом природы  и выполняется для любых, а  не только механических систем.

Следствия из закона сохранения момента импульса:  

· в случае изменения скорости вращения одной части системы другая также изменит скорость вращения, но в противоположную сторону таким образом, что момент импульса системы не изменится; 

· если момент инерции замкнутой системы в процессе вращения изменяется, то изменяется и ее угловая скорость таким образом, что момент импульса системы останется тем же самым; 

· в случае, когда сумма моментов внешних сил относительно некоторой оси равняется нулю, момент импульса системы относительно этой же оси остается постоянным.

 

Закон сохранения механической энергии

Если  тела, составляющие замкнутую механическую систему, взаимодействуют между  собой только посредством сил  тяготения и упругости, то работа этих сил равна изменению потенциальной  энергии тел, взятому с противоположным  знаком:

A = –(E_р2 – E_р1). 

По теореме  о кинетической энергии эта работа равна изменению кинетической энергии тел :

 

Следовательно

или 

E_k1 + E_p1 = E_k2 + E_p2. 

Сумма кинетической и потенциальной энергии  тел, составляющих замкнутую систему  и взаимодействующих между собой  посредством сил тяготения и  сил упругости, остается неизменной. 

Это утверждение  выражает закон сохранения энергии  в механических процессах. Он является следствием законов Ньютона. Сумму E = E_k + E_p называют полной механической энергией. Закон сохранения механической энергии выполняется только тогда, когда тела в замкнутой системе взаимодействуют между собой консервативными силами, то есть силами, для которых можно ввести понятие потенциальной энергии. 

Пример  применения закона сохранения энергии  – нахождение минимальной прочности  легкой нерастяжимой нити, удерживающей тело массой m при его вращении в  вертикальной плоскости (задача Х. Гюйгенса). Рис. 8 поясняет решение этой задачи.

Рисунок 8. 

К задаче Христиана Гюйгенса.  –  сила натяжения нити в нижней точке траектории 
 

Закон сохранения энергии для тела в  верхней и нижней точках траектории записывается в виде:

 

Обратим внимание на то, что сила натяжения нити всегда перпендикулярна скорости тела; поэтому она не совершает работы. 

При минимальной  скорости вращения натяжение нити в  верхней точке равно нулю и, следовательно, центростремительное ускорение  телу в верхней точке сообщается только силой тяжести:

 

Из этих соотношений следует:

 

Центростремительное ускорение в нижней точке создается  силами и направленными в противоположные стороны:

Отсюда  следует, что при минимальной  скорости тела в верхней точке  натяжение нити в нижней точке  будет по модулю равно

F = 6mg.

Прочность нити должна, очевидно, превышать это  значение. 

Очень важно отметить, что закон сохранения механической энергии позволил получить связь между координатами и скоростями тела в двух разных точках траектории без анализа закона движения тела во всех промежуточных точках. Применение закона сохранения механической энергии  может в значительной степени  упростить решение многих задач. 

В реальных условиях практически всегда на движущиеся тела наряду с силами тяготения, силами упругости и другими консервативными  силами действуют силы трения или  силы сопротивления среды. 

Сила  трения не является консервативной. Работа силы трения зависит от длины пути. 

Если  между телами, составляющими замкнутую  систему, действуют силы трения, то механическая энергия не сохраняется. Часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию тел (нагревание). 

При любых  физических взаимодействиях энергия  не возникает и не исчезает. Она  лишь превращается из одной формы  в другую. 

Этот  экспериментально установленный факт выражает фундаментальный закон  природы – закон сохранения и  превращения энергии.