Упругая и неупругая среды, параметры их характеризующие; расчет модуля Юнга и коэффициента Пуассона для земной коры, если для нее известны

  , где действующая на элемент поверхности df

      этот вектор направлен по внешней нормали к поверхности, охватывающей объем df. Выбирая элементы  поверхности в плоскостях ху, уz, xz, находим, ЧТо компонента тензора напряжений есть i-я компонента силы, действующей на единицу поверхности, перпендикулярную к оси xk. Так, на единичную площадку, перпендикулярную к оси х, действуют нормальная  ней (направленная вдоль оси х) сила и тангенциальные (направленные по осям y и z) силы     и .

   Момент  силы, действующий на некоторый объем  тела запишется в виде интеграла  по поверхности:

    , тогда  получим, что тензор напряжения  является симметричным, а именно  = .

   Симметрия тензора напряжений позволяет привести его в каждой точке к главным осям, т.е. представить в виде:

    .

В равновесии силы внутренних напряжений должны взаимно компенсироваться в каждом элементе объема тела, т.е. . Таким образом, уравнение равновесия деформированного тела имеет вид:

     

   5. Закон Гука и параметры, характеризующие упругость среды.

      В основе теории упругости лежит сформулированный в 1660 г. Робертом Гуком закон, предполагающий линейную зависимость между деформацией и напряжением, а так же дающий представление о динамическом равновесии абсолютно упругой среды. Если рассмотреть простейший случай однородной деформации стержня c силой, равной р (тензор деформации постоянен вдоль всего объема тела, соответственно, тензор напряжений так же постоянен; для боковой поверхности , т.к. единичный вектор на боковой поверхности перпендикулярен к оси z), то закон Гука примет вид:

    , отсюда

    . ,  ,

   Компонента определяет относительное удлинение стержня вдоль оси z ( ).

    , .

   Коэффициент при р - называется коэффициентом растяжения, а обратная величина – модуль Юнга (растяжения):

    .

   Компоненты  определяют относительное сжатие стержня в поперечном направлении:

    ,

   где поперечный размер стержня до деформирования, a – размер стержня после деформирования. Отношение относительного поперечного сжатия к относительному продольному удлинению ( ) называется коэффициентом Пуассона:

    ; .

   Так как коэффициенты и всегда положительны, то коэффициент Пуассона может изменяться в пределах . В настоящее время тела, которые бы при продольном растяжении утолщались, не обнаружено (т.е. ), поэтому фактически коэффициент Пуассона изменяется в пределах . Данный коэффициент зависит только от материала тела и является одной из важных постоянных, характеризующих его упругие свойства. Коэффициент Пуассона и модуль упругости образуют пару величин, которые полностью характеризуют свойства любого конкретного материала. Стоит заметить, что данное утверждение относится только к тем материалам, которые можно считать изотропными (т.е. их свойства не зависят от направления). Явление упругости анизотропных материалов (например монокристаллов) гораздо сложнее. Все прочие упругие постоянные могут быть выражены через них.

   Так же это могут быть коэффициенты Ламе µ (модуль сдвига) и λ. Эти пары постоянных связаны между собой соотношениями:

    ,         .

   При всестороннем сжатии упругих тел  их объем уменьшается, при этом относительное  изменение объема линейно связано с давлением:

    , коэффициент  называется модулем всестороннего сжатия

    .

   Для изотропных тел связь между  , , имеет вид:

    .

   В жидкостях и газах  , .

   В неоднородных изотропных телах  , , являются функциями координат. Чем плотнее горные породы, тем больше величины модулей деформации, сдвига, всестороннего сжатия. Чем выше пористость пород, влажность, температура, тем меньше величины модулей деформации, сдвига и всестороннего сжатия.

   Изменение значения модулей упругости с глубиной изображается на рисунке 5. 

   Рис.6. Упругие свойства вещества Земли в зависимости от глубины.  

     
 
 

   6. Волны в упругих средах. 

   Периодический во времени и пространстве процесс  распространения деформаций в упругой  среде называют волновым процессом или волной. При распространении волны частицы среды совершают вынужденные колебания. Близко расположенные к источнику возмущений частицы стремятся возвратиться под действием упругих сил межатомного взаимодействия в положение равновесия, а более удаленные частицы выводятся из положения равновесия. Последние взаимодействуют с соседними частицами и т.д. таким образом, более удаленные от растягиваемого или сжимаемого тела области среды вовлекаются в колебательное движение. Результирующее возмущение распространяется в среде в виде импульса – волны. Источники упругих деформаций среды называются источниками упругих волн.

   При распространении упругих волн в  среде происходит перенос энергии  без переноса вещества; т.е. частицы  среды не движутся вместе с волной, а колеблются около своих положений равновесия.

Поперечные  волны могут существовать только в твердых средах; в жидких и  газообразных средах нет деформаций сдвига и связанных с ними поперечных волн. В пластичных «полужидких» средах, которые так же встречаются среди горных пород, вследствие малости коэффициента µ поперечные волны распространяются с весьма небольшой скоростью по сравнению со скоростью продольных волн. Кроме скоростей распространения упругих волн, которыми определяется кинематика волн, важным сейсмическим свойством горных пород является степень поглощения ими сейсмической энергии, что определяет динамические характеристики волн, и прежде всего их интенсивность и дальность распространения. Поглощение вызывается потерями упругой энергии за счет необратимых процессов в среде вследствие ее неидеальной упругости.

Уравнение движения упругой среды представляет собой  равенство между силой внутренних напряжений и произведением ускорения  на массу единицы объема, т.е. плотность:

   

   Поскольку все деформации предполагаются малыми, то рассматриваемые в теории упругости движения представляют собой малые упругие колебания или волны. Если рассмотреть плоскую упругую волну в неограниченной изотропной среде, то деформация будет функцией только от одной из координат (например, от х и t), все производные по y и z исчезнут и для отдельных компонент вектора уравнения примут следующий вид:

                             , где

    , а

    .

   Здесь и - скорости распространения волн. Упругая волна представляет собой две независимо распространяющиеся волны:

• - смещение направлено вдоль распространения самой волны, она называется продольной и скорость ее распространения равна ;
• - смещение направлено в плоскости, перпендикулярной направлению распространения, это поперечная волна, распространяющаяся со скоростью .

Очевидно, что скорости всегда больше :

.

   Поперечные  волны не связаны с изменением объемов отдельного участка тела, а продольные сопровождаются сжатиями и расширениями в теле.

   Волны Релея являются особым видом упругих  волн, распространяющихся вблизи поверхности  и не проникающие вглубь нее. При расчете скорости этой волны предполагается, что поверхность упругой среды является плоской (ху), область среды z<0.

   Уравнение движения имеет следующий вид:

    , отсюда можно получить решение для смещения в виде

    , где скорость затухания смещения в волне с глубиной z определяется следующим соотношением

    .

   Истинный  вектор деформации в поверхностной волне является суммой векторов и . В случае объемных волн в неограниченной среде эти части представляют собой две независимо распространяющиеся волны. В случае же поверхностных волн из-за пограничных условий такое разделение на две независимые части невозможно. Скорость поверхностной волны рассчитывается как .

   Скорости  упругих волн соотносятся между  собой следующим образом:

    . Отличительной  особенностью поверхностных волн  является практически полное  сосредоточение связанной с волной  энергии в приповерхностном слое  толщины порядка длины поверхностной волны:

    .

   Поэтому поверхностные волны с большими частотами проникают на меньшую  глубину. Волны Лява также являются разновидностью поверхностных волн. Они распространяются в слоистой системе, состоящей из упругого полупространства и слоя, расположенного над ним. В такой слоистой системе могут существовать только сдвиговые поверхностные волны.

   Сейсмические  волны, распространяемые из очага землетрясения, с хорошим приближением можно  считать упругими, и описывать  их количественно в рамках теории упругости.