mg – внешняя сила       
 

      Fтр – внутренняя сила 
 
 
 
 
 
 
 

      Дифференциальные  уравнения системы  в векторной форме:

,   

Центр масс системы

Центр масс системы – геометрическая точка, положение которой определяется радиус-вектором .

  , где       

      

       (4)

- теорема о движении центра масс системы: центр масс системы движется также, как точка, масса которой равна массе всей системы под действием сил, приложенных к системе.

Для решения  задач запишем теорему в проекциях  на оси координат:

M ;  M ;  M . 

      Теорема об изменении количества движения точки и  системы : производная по времени от количества движения точки равна приложенной силе.

             (6)

      Дифференциал  от количества движения точки равен  элементарному импульсу силы.

       =

        (полный импульс силы)   (7)

– теорема в интегральной форме: изменение количества движения точки за некоторый промежуток времени равен импульсу силы за этот промежуток времени.

Элементарный  и полный импульс  силы.

      Действие  силы на материальную точку в течении времени   можно охарактеризовать элементарным импульсом силы    .

      Полный  импульс силы    за время , или импульс силы   , определяется по формуле  .  (Полный интеграл за время от элементарного импульса).

      В частном случае, если сила    постоянна и по величине , и по направлению ( ),   .

      Проекции  импульса силы на прямоугольные декартовы  оси координат равны:

   

      Единицей  измерения импульса в СИ является – 

      Теорема импульсов (в дифференциальной форме).  Дифференциал от количества движения точки равен элементарному импульсу силы, действующей на точку.

      Умножим левую и правую части уравнения (*) на  и получим

    (**)

В проекциях  на координатные оси получаем:

,

,

.

      Теорема импульсов (в интегральной форме).  Изменение количества движения точки за какой-либо промежуток времени равно импульсу силы за этот же промежуток времени.

      Интегрируя  обе части уравнения (**) по времени  в пределах от нуля до    получаем:

В проекциях  на координатные оси получаем:

,

,

Кинетическая энергия точки

      Кинетической  энергией материальной точки (или ее живой силой) называют половину произведения массы точки на квадрат ее скорости.

      

Теорема об изменении кинетической энергии точки.

      Теорема.  Дифференциал кинетической энергии точки равен элементарной работе силы, действующей на точку.

      Доказательство: Основной закон динамики   .

Умножим левую  и правую части уравнения  скалярно на  справа, получаем  .    - элементарная работа.

- дифференциал от кинетической энергии.  

       ,  что и требовалось доказать.

      Теорема.  Производная по времени от кинетической энергии точки равна  мощности, подводимой к этой точке.

      Теорема.  Изменение кинетической энергии точки на каком-либо перемещении равно работе силы, действующей на точку на этом же перемещении.

Теорема об изменении момента количества движения точки и системы

(кинетического  момента)

 

      Кинетическим  моментом точки относительно центра называется векторная величина, равная векторному произведению радиус-вектора, проведенного в точку из неподвижного центра на количество движения точки.

   

(1) - кинетический момент точки относительно центра О или момент количества движения относительно центра О. 

      Формулировка: производная по времени от момента количества движения точки относительно неподвижного центра равна моменту силы относительно этого центра.

      

    (2), где М - момент относительно т. О.

      Частные случаи теоремы:

1. - закон сохранения кинетического момента.
2. - закон сохранения кинетического момента в проекции на ось Х.

Кинетический  момент системы. 

Для системы  кинетический момент равен векторной  сумме кинетических моментов всех точек, входящих в систему.

Формулировка: производная по времени от кинетического момента системы относительно некоторого центра равна главному моменту внешних сил относительно этого центра.

Частные случаи теоремы:

1. Если
2. Если

В этих случаях  выполняется закон сохранения кинетического момента системы.

Кинетический  момент твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

 
 

Формулировка: при  вращении тела вокруг оси кинетический момент равен произведению момента  инерции тела относительно этой оси на его угловую скорость.

Моменты инерции некоторых  тел

 

1. Однородный  круглый диск или цилиндр

 
 

2. Обод (кольцо)

 
 
 
 

3.

 

3. Любое тело

.

Кинетическая энергия системы.

      Кинетической  энергией системы называют сумму кинетических энергий всех точек системы.

 
 

      Вычисление  кинетической энергии 

      Для системы:

      

      1.  

       2. Поступательное  движение твердого тела.

      

                                                                        , где

                                                                  

       3. Вращение  тела вокруг неподвижной оси. 

        
 

        
 
 

4.Тело движется  плоско-параллельно.

 
 

      

        
 

        

        
 

      При плоско-параллельном движении тела кинетическая энергия состоит из суммы двух слагаемых: кинетическая энергия в поступательном движении вместе с центром масс и кинетическая энергия тела при вращении вокруг центра масс.

1. Поступательное движение тела.

Кинетическая  энергия твердого тела при поступательном движении вычисляется так же, как и для одной точки, у которой масса равна массе этого тела.

,    -  скорость любой точки твердого тела

2. Вращение тела вокруг неподвижной оси.

Кинетическая  энергия твердого тела при вращательном движении вокруг неподвижной оси равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат угловой скорости тела.

,    -  угловая скорость вращения твердого тела.

3. Плоское движение тела.

Кинетическая  энергия твердого тела при плоском  движении складывается из кинетической энергии тела вместе с центром  масс и кинетической энергии тела от вращения вокруг оси, проходящей через  центр масс и перпендикулярной плоскости движения.. 

,    -  скорость центра масс твердого тела,   -  угловая скорость вращения твердого тела.

     Вычисление  работы сил

     

       или 

     

     Элементарная  работа силы равна:

     

       
 
 
 
 

     Полная  работа силы вычисляется через интеграл

       
 

      или

     Работа  силы в некоторых  случаях

1. Сила постоянна по величине. Точка или тело движется прямолинейно.

 
 
 
 

      Знаки работы:

      при α < 90°; A > 0

      при α = 90°; A = 0

      при 90° < α < 180°; A < 0 

2. Работа силы тяжести.

      

        
 
 

        
 

3. Работа  силы при вращательном движении тела вокруг неподвижной оси.