Шпаргалка по "Теоритической механике"

Предмет динамики.

           Динамика- раздел теоретической механики, изучающий движение материальных объектов с учетом сил, вызывающих это движение. В динамике изучаются механические движения материальных объектов под действием сил.  Простейшим материальным объектом является материальная точка.

Материальная  точка это модель материального тела любой формы, размерами которого можно пренебречь и принять за геометрическую точку, имеющую определенную массу. Более сложные материальные объекты – механические системы и твердые тела, состоят из набора материальных точек.

Движение материальных объектов всегда происходит в пространстве относительно определенной системы  отсчета и во времени. Пространство считается трехмерным эвклидовым пространством, свойства которого не зависят от движущихся в нем материальных объектов.

Время в классической механике не связано с пространством  и движением материальных объектов. Во всех системах отсчета движущихся друг относительно друга оно протекает  одинаково.

Две основные задачи динамики:

1.по заданному  движению точки определить силы, вызывающие это движение.

2. по заданным  силам определить движение точки.

В динамике рассматриваются  различные модели материальных объектов. Простейшая модель - материальная точка (тело, формами и размерами которого можно пренебречь в условиях данной задачи).

Более сложные  материальные объекты – система  материальных точек и твердое  тело. 

Аксиомы классической механики

Первая  аксиома или закон  инерции.   Существуют инерциальные системы отсчета, относительно которых материальная точка, не испытывающая действия или находящаяся под действием уравновешенной системы сил, сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.

Вторая  аксиома. Ускорение точки прямо пропорционально силе и направленно в сторону этой силы.

Масса- мера инертности точки.

Третья  аксиома.  Всякому действию есть противодействие, равное по величине и противоположное по направлению.

Четвертая аксиома. Закон независимости действия сил.

         Если к точке приложена система  сил, то ускорение точки равно векторной сумме ускорений, получаемых от каждой силы в отдельности.

  Аксиомы классической механики хорошо согласуются с результатами опытов. 

Две основные задачи динамики.

 
Первая задача динамики.

По заданному движению точки определить силу.

- уравнения  движения точки 

Решается методом  дифференцирования.

Вторая  задача динамики.

Решение второй задачи динамики составляет основное содержание всех разделов динамики.

По заданным силам определить движение точки. Задача решается методом интегрирования.

Если сила зависит  только от t или только от x или V, то можно  пользоваться следующими указаниями:

1) составить  диф.уравнение движения точки:

     а)  начало координат совмещать с началом движения точки (или с её равновесным положением);

     б)  если движение по прямой, то  одну из осей направить в  сторону движения точки;

     в)  точку изобразить с приложенными  силами в произвольном положении;

     г)  составить диф.уравнение в проекции на ось.

2) интегрирование  диф.уравнения.

     Замена переменных.

если

если

Диф.уравнение решать методом разделения переменных(кроме задач на колебания).

3) интегралы  брать неопределёнными, учитывая  постоянные интегрирования, найденные  из начальных условий.

4) анализ движения  точки. 

Диф.уравнения  движения материальной точки.

При плоском  движении точки:

Если тело движется прямолинейно, то

 В проекциях  на естественные оси координат:

 
 
 
 

, где S- закон  движения точки по траектории. 

 

Принцип Даламбера для  материальной точки 

Уравнение движения материальной точки относительно инерциальной системы отсчета под действием  приложенных активных сил и сил  реакции связей имеет вид:

,

- равнодействующая активных сил,  - равнодействующая сил реакции связей.

Силой инерции материальной точки называют произведение массы точки на вектор ускорения, взятое с обратным знаком, т.е. .

Если использовать понятие силы инерции, то основной закон  динамики принимает вид: 

Принцип Даламбера.  При движении материальной точки активные силы и силы реакции связей вместе с силой инерции точки образуют равновесную систему сил.

Принцип Даламбера  называют еще методом кинетостатики. Задачи динамики с помощью этого  метода сводятся к задачам статики. 

Относительное движение материальной точки

Во многих задачах  динамики движение материальной точки  рассматривается относительно системы отсчета, движущейся относительно инерциальной системы отсчета.

Получим дифференциальные уравнения  движения материальной точки относительно подвижной системы отсчета.

  -  инерциальная система  отсчета.

  -  подвижная система отсчета.

,

где  -  сумма активных сил,    -  сумма сил реакции связи.

      Согласно  теореме Кориолиса 

      Перепишем дифференциальное уравнение следующим образом

      

      Введем  обозначения

         -  переносная сила инерции,

         -  кориолисова сила инерции.

      С учетом этих обозначений мы получаем  динамическую теорему Кориолиса (уравнения относительного движения).

      Материальная  точка движется относительно неинерциальной системы отсчета так же как  и относительно инерциальной, только к приложенным активным силам  и силам реакции связей следует  добавить кориолисову и переносную силу инерции.

      Силы  и   являются поправками на неинерционность системы.

      В проекциях на подвижные оси

 

Количество  движения точки 

Количеством движения материальной точки называется вектор, равный произведению массы точки   на ее скорость .  

Количество движения точки в физике часто называют импульсом материальной точки.

Проекции количества движения точки на прямоугольные  декартовы оси координат равны:

,  , 

Единицей измерения  количества движения в СИ является – 

Теорема об изменении количества движения точки.

      Теорема.  Производная по времени от количества движения точки равна действующей на точку силе.

      Запишем основной закон динамики в виде  .  Так как масса постоянна, то внесем ее под знак производной.

      Тогда     ,       (*)

что и  требовалось доказать.

      В проекциях на координатные оси уравнение (*) можно представить в виде:

       

Момент  количества движения точки.

      В некоторых задачах в качестве динамической характеристики движущейся точки вместо самого количества движения рассматривают его момент относительно какого-либо центра или оси. Эти моменты определяются также как и моменты силы.

       Моментом  количеством движения материальной точки относительно некоторого центра О  называется вектор, определяемый равенством 

      Момент  количества движения точки называют также кинетическим моментом.

      Момент количества движения относительно какой-либо оси  , проходящий через центр О,  равен проекции вектора количества движения на эту ось   . 

Теорема об изменении момента  количества движения точки.

      Теорема.  Производная по времени от момента количества движения точки, взятого относительно какого-нибудь центра, равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра.

      Теорема.  Производная по времени от момента количества движения точки, взятого относительно какой-либо оси, равна моменту действующей на точку силы относительно той же оси.

      Следствия из теорем:

      1. Если момент силы относительно  точки равен нулю, то момент  количества движения относительно этой точки величина постоянная.

       ,   

      2. Если момент силы относительно  оси равен нулю, то момент количества движения относительно этой оси величина постоянная.

       ,   

Кинетическая  энергия точки

      Кинетической  энергией материальной точки (или ее живой силой) называют половину произведения массы точки на квадрат ее скорости.

      

Теорема об изменении кинетической энергии точки.

      Теорема.  Дифференциал кинетической энергии точки равен элементарной работе силы, действующей на точку.

      Теорема.  Производная по времени от кинетической энергии точки равна мощности, подводимой к этой точке.

      Теорема.  Изменение кинетической энергии точки на каком-либо перемещении равно работе силы, действующей на точку на этом же перемещении.

Классификация сил, действующих  на систему мат. точек

Силы, действующие  на любую точку механической системы, делятся на внутренние и внешние.

Fi – внутренняя  сила

Fe – внешняя  сила

Внутренними называются силы, с которыми точки, входящие в систему, действуют друг на друга.

Внешними называются силы, которые прикладываются к точкам извне, то есть от других точек или тел, не входящих в систему. Разделение сил на внутренние и внешние условное.