Порівняльний аналіз систем тривимірного комп’ютерного проектування мікрохвильових пристроїв

Особливий випадок - це антенні завдання, тобто завдання, пов'язані з розрахунком випромінювання у вільний простір. Оскільки функція Гріна вільного простору добре відома, то, отже, і реалізація МОМ тут не повинна викликати утруднень. У той же час, при розрахунку поля в далекій зоні по МКЕ необхідно дискретизувати досить велику область простору. Тому, в цих завданнях можна очікувати переваги МОМ в порівнянні з МКЕ.

2.2 Метод моментів і  його використання у FEKO

Якщо сформулювати операторну задачу, яку можна вирішити за допомогою МОМ, у вигляді:

       (2.2.1)

то в цьому виразі можна вважати, що - оператор, роль якого виконують диференціальні рівняння Максвелла, - струми, що течуть по проводять поверхням, а - відома функція, що описує джерела збудження. В електродинаміці частіше використовуються інтегральні оператори. Розглянемо основну ідею МОМ. При цьому суто математичні питання про область визначення оператора збіжності МОМ залишаємо осторонь, розглядаючи тільки конструктивну частину методу. Під оператором в математиці розуміють дію, що ставить у відповідність функції функцію. Найбільш простим прикладом оператора може служити диференціювання, яке вихідній функції ставить у відповідність іншу функцію - її похідну. Інший клас операторів - інтегральні. Серед них найбільш відомим є перетворення Фур'є:

     (2.2.2)

Неважко побачити, що оператор з (2.2.2) ставить у відповідність вихідної функції нову функцію, яка називається Фур'є образом і визначається правою частиною (2.2.2). Для компактного викладу схеми МОМ необхідно залучити деякі поняття з функціонального аналізу. До числа таких понять відноситься скалярний добуток. Нехай ми маємо дві функції і . Їх скалярний добуток має відповідати таким умовам:

       (2.2.3)

     (2.2.4)

      (2.2.5)

      (2.2.6)

де  і – постійні, а ^* позначає комплексне спряження.

Визначення  скалярного добутку неоднозначне. Його можна будувати по-різному. Часто  під скалярним добутком двох функцій  визначених у області S розуміють  наступний інтеграл:

.      (2.2.7)

Легко побачити, що визначення (2.2.7) задовольняє всім умовам (2.2.3) - (2.2.6). Однак нам нічого не заважає додати в (2.2.7) деяку відому функцію, яку називають ваговою  функцією . Тоді скалярний добуток зміниться наступним чином:

.      (2.2.8)

Воно як і  раніше задовольняє всім умовам (2.2.3) - (2.2.7). Свободу у виборі скалярного добутку можна ефективно використовувати, щоб будувати більш ефективні  алгоритми рішення рівняння (2.2.1). Перейдемо далі безпосередньо до МОМ.

Уявімо невідому функцію / (струми) у вигляді розкладання  наступного вигляду:

      (2.2.9)

де  відомі функції,що отримали назву базисної функції, а – невідомі коефіцієнти. Нехай функція визначена в деякій області S. Підставимо формулу (2.2.9) у (2.2.1):

      (2.2.10)

Введемо ще одну систему функцій , які назвемо тестовими або пробними функціями. Помножимо (2.2.10) послідовно на пробні функції з різними номерами та вирахуємо відповідні скалярні добутки:

.     (2.2.11)

Отже, у формулі (2.2.11) ми отримали систему лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) відносно невідомих коефіцієнтів . Якщо вирішити цю СЛАР і знайти , то ми автоматично знаходимо шукану функцію . Власне кажучи, в цьому і полягає метод моментів, який дозволяє звести вихідну операторну завдання до СЛАР, ​​які ефективно вирішується в FЕКО.

Запишемо СЛАР (2.2.11) у матричній формі:

       (2.2.12)

     

.     (2.2.12)

Використовуючи (2.2.12), можна записати вираз для  шуканої функції:

,        

.       (2.2.13)

У формулах (2.2.9) - (2.2.12) навмисне не вказані меж сумування. Справа в тому, що, строго кажучи, для  точного опису невідомої функції  потрібен нескінченний набір базисних функцій. На практиці ж доводиться обмежуватися кінцевої сумою:

.     (2.2.14)

При цьому  передбачається, виконання наступного співвідношення:

      (2.2.15)

де F - точне рішення рівняння (2.2.1). Формула (2.2.15) має на увазі, що межа існує і дорівнює рішенням (2.2.1). В цьому випадку говорять про те, що метод сходиться. Оскільки функція F невідома, то в якості критерію збіжності співвідношення (2.2.15) використовувати не можна. На практиці використовують наступне співвідношення:

,     (2.2.16)

яке затверджує лише те, що ітераційний процес сходиться і функція при збільшенні N змінюється все менше, що не завжди означає, що сходиться вона до точного вирішення рівняння (2.2.1). .

Для зупинки ітераційного процесу, тобто вибору N можна використовувати співвідношення наступного типу:

,     (2.2.17)

де - деяке наперед задане число, назване критерієм зупинки. Формула (2.2.17) не є єдино можливим правилом для вибору N. Більш того, часто на практиці застосовують інші критерії, але зміст їх той же самий: деяка величина на N кроці повинна стати менше деякого фіксованого значення.

2.3 Метод кінцевих різниць у часовій області

Метод кінцевих різниць в часовій області (англ. Finite Difference Time Domain, FDTD) - це метод чисельного розв’язку задач електродинаміки, заснований на нестандартній дискретизації рівнянь Максвелла в часі і просторі. Метод працює у часовій області, тому він застосовується для вирішення завдань в широкому діапазоні частот. Цей метод відноситься до загального класу сіткових методів рішення диференціальних рівнянь. Рівняння Максвелла піддаються дискретизації, використовуючи центрально-різницеву апроксимацію за часом і просторовим координатам. Отримані кінцево-різницеві рівняння вирішуються програмними або апаратними методами в кожен момент часової сітки, причому, як правило, розраховані поля розділені в часі половиною кроку дискретизації.

Розрахунок  полів в осередках сітки повторюється до тих пір, поки не буде отримане вирішення поставленої задачі в заданому проміжку часу. Базовий алгоритм методу був вперше запропонований американським вченим Кейном Йе (Каліфорнійський університет) в 1966 р. у статті «Numerical solution of initial boundary value problems involving maxwell's equations in isotropic media» журналу «IEEE Transactions: Antennas and Propagation». Однак, назва «Finite-difference time-domain» і абревіатура FDTD були дані методу Алленом Тефлавом (Північно-західний університет, штат Іллінойс). Приблизно з 1990 р. метод кінцевих різниць став основним для чисельного моделювання багатьох наукових та інженерних проблем, пов'язаних із взаємодією електромагнітних хвиль з речовиною. Він може бути з успіхом застосований для вирішення широкого спектру завдань: від моделювання наддовгих електромагнітних хвиль в геофізиці (включаючи процеси в іоносфері) і мікрохвиль (наприклад для вивчення сигнатурної радіолокації, розрахунку характеристик антен, розробки бездротових пристроїв зв'язку, у тому числі цифрових) до вирішення завдань в оптичному діапазоні (фотонні кристали, наноплазмоніка, солітони і біофотоніка). До 2006 р. число публікацій, присвячених FDTD, досягла двох тисяч. В даний час 27 зарубіжних компаній розробили комерційні програми, що використовують метод кінцевих різниць. Також існує 8 вільних проектів з відкритим вихідними кодами і 2 безкоштовних з закритим кодом (призначених для некомерційного використання).

2.3.1 Принцип роботи методу кінцевих різниць у часовій області

Розглядаючи рівняння Максвелла, легко помітити, що зміна електричного поля в часі (приватна похідна) залежить від зміни  магнітного поля в просторі (а саме, ротора поля). Тому, в кожній точці  простору значення вектора електричного поля в кожен момент часу залежить від його значення в попередній момент часу і від зміни розподілу  вектора напруженості магнітного поля в просторі. У той же час, з аналогічних  міркувань можна зробити висновок, що значення вектора H в кожен момент часу залежить від його значення в  попередній момент і від зміни розподілу вектора E в просторі. У пам'яті комп'ютера зберігаються значення векторів E і H у кожному осередку сітки, які оновлюються з кожної итерацією процесу за часом.

Рис. 2.1 Розподіл полів у клітинці сітки FDTD

 

Поля в комірці сітки FDTD. З таких осередків складається  просторова тривимірна сітка (сітка Йе), взаємодія хвиль з речовиною враховується завданням кожної клітинки значень діелектричної і магнітної проникності, а так само провідності Описане справедливо як для одновимірного та двовимірного випадку, так і для тривимірного. Якщо завдання поставлене в декількох вимірах, то чисельний розрахунок ротора полів сильно ускладнюється. Тому для спрощення розрахунків в методі FDTD сітки електричного і магнітного поля зрушені один щодо одного так, що магнітне поле вважається в точках, розташованих точно між точками, в яких вважається електричне поле, і навпаки. Аналогічна (поділена) сітка вже давно використовується при вирішенні задач гідродинаміки (для тиску і поля швидкості). Ця схема, відома тепер під назвою сітки Йе, виявилася дуже надійною і в даний час складає основу багатьох сучасних реалізацій методу. Більше того, Йе також запропонував аналогічну схему для знаходження тимчасових похідних: E-і H-компоненти сітки розділені в часі половиною кроку дискретизації.

2.3.2 Використання методу кінцевих різниць у часовій області

Для використання методу необхідно обов'язково задати лічильну область. Рахункова область це просто та область простору, в межах якої виконується чисельне моделювання. У кожній точці лічильної області задається її матеріал і обчислюються вектора полів E і H. Як правило, матеріал це вакуум (або повітря), метал або діелектрик. Вказавши значення діелектричної і магнітної проникності, а також провідності можна використовувати в моделюванні будь-який матеріал. Після того, як задана розрахункова область та матеріали в осередках сітки, необхідно задати джерела. Залежно від завдання, джерелом може бути точковим джерелом, плоскої електромагнітної хвилею, полем витка струму або чим-небудь ще.

Так як вектора електричного і магнітного полів безпосередньо визначаються в ході моделювання, підсумковим результатом, як правило, є серія значень векторів полів в послідовні моменти часу в одній або декількох точках розрахункової області. Отримані в результаті моделювання вектори E і H можуть бути піддані додаткової обробки, в тому числі, обробка даних може відбуватися паралельно з розрахунком поля в наступний момент часу. Так як по методу FDTD розраховується електромагнітне поле в обмеженій просторової області, слабкі і/або випромінювані в простір поля можуть бути отримані за допомогою перетворень ближнього поля у дальнє.

2.2.3 Переваги методу кінцевих різниць у часовій області

Будь-яка техніка чисельного моделювання має свої сильні і слабкі сторони, і метод FDTD не виняток.

• FDTD - це дуже різносторонній метод розв'язання рівнянь Максвелла, він інтуїтивно зрозумілий, тому користувачі можуть легко зрозуміти як він працює і яких результатів чекати від його застосування в тій чи іншій завданню.
• FDTD працює в тимчасовій області, це означає, що за один етап моделювання можуть бути отриманий результат у великому діапазоні частот, наприклад, при використанні широкосмугових імпульсних джерел (наприклад, випромінювальних гауссових імпульси). Це може бути дуже корисним при вирішенні завдань, в яких не відомі резонансні частоти або у випадку моделювання широкосмугових сигналів.
• Оскільки, згідно з методом, поля обчислюються послідовно з плином часу, це дозволяє створювати анімовані зображення розповсюдження хвильових процесів в рахунковому обсязі. Такі зображення можуть бути дуже корисні для розуміння того, що відбувається з моделлю, і дозволяють упевнитися, що модель працює коректно.
• Метод дозволяє вказати матеріал в кожній точці рахункового обсягу і може бути легко пристосований для моделювання не тільки широкого спектру металів і діелектриків, але й матеріалів з нелінійними властивостями. рахунковий обсяг виявиться надмірно великим. Існують додаткові підпрограмми методу для знаходження далеких полів, але вони вимагають постобробки.
• Так само це означає, що рахунковий обсяг повинен бути кінцевим, щоб уміститися в пам'яті комп'ютера. У більшості випадків це досягається за допомогою завдання штучних граничних умов в рахунковому обсязі. Але їх потрібно використовувати з обережністю, щоб звести до мінімуму викликані ними перекручування.

На даний момент відомо декілька ефективних граничних умов поглинання для алгоритму FDTD, що дозволяють імітувати нескінченну лічильну область. Багато сучасних реалізації використовують замість них спеціальний абсорбуючий «матеріал», званий ідеально погодженим шаром (PML).

 

РОЗДІЛ 3

3 РЕЗУЛЬТАТИ РОЗРАХУНКУ І ПОРІВНЯННЯ ОТРИМАНИХ ЕЛЕКТРОДИНАМІЧНИХ ХАРАКТЕРИСТИК

3.1 Порівняння електродинамічних характеристик на прикладі внутрішнього хвилеводного завдання

 

Завданням даної дипломної роботи було порівняти результати обчислення в програмах FEKO, HFSS і CST Microwave Studio (S-параметрів) та ЕПР-характеристики у програмних середовищах FEKO та HFSS. Для цього в кожній із зазначених програм був проведений розрахунок відповідних характеристик для декількох типових завдань.

Порівняння зазначених програм було проведено для внутрішніх завдань електродинаміки і для відкритих завдань, що дозволяють отримати характеристики випромінюючих пристроїв. Для цього в FEKO, HFSS та CST Microwave Studio  були побудовані відповідні моделі.

Для знаходження мінімуму та максимуму графіків з S-параметрами було розраховано оптимальний розмір діафрагми за формулою:

 

де і - розміри отвору, а та – відносні магнітна та діелектрична проникливості пластини.

Первісне порівняння було проведено на завданні розрахунку характеристик хвилевода з діафрагмою.

Для його моделювання в FEKO були використані вбудовані функції програми: "Create Brick". Даною функцією були задані дві прямокутні структури, які представляють собою хвилевід, при цьому друга структура була взята за висотою вище, ніж перша для спостереження ефекту віддзеркалення (рис. 3.1). Були узяті наступні параметри: довжина хвилеводу L = 40 мм, ширина b = 23 мм, висота h = 10 мм, а параметри діафрагми L = 2 мм, b = 17 мм, h = 4 мм.

Рис 3.1.1 Геометрія пристрою

Отримані S-параметри були розраховані для частотного проміжку 8-12 ГГц.

 

Рис 3.1.2 Частотна залежність елемента матриці розсіяння S₁₁ та S₁₂

 

Наступним етапом роботи в CST Microwave Studio було завдання джерела збудження і форми збуджуючого імпульсу. Це реалізується за допомогою функції «Додати порт». Після того, як був заданий порт, можна приступити до аналізу, який реалізується за допомогою функції "Transient Solver".

Рис 3.1.3 Геометрія пристрою

 

Для отримання характеристик досліджуваних об'єктів в CST Microwave Studio використовується метод FIT (Finite Integral Technique). Для цілей порівняння в CST Microwave Studio використовувався тільки «time domain solver», який в рамках FIT схожий на метод кінцевих різниць FDTD. На рис. 3.1.4 і рис. 3.1.5 зображені часові залежності збудливого імпульсу і розсіяного імпульсів. За допомогою перетворення Фур'є від відповідних відносин цих імпульсів виходили частотні залежності елементів матриці розсіювання.