Отражение гауссовых пучков

С явлениями  отражения и преломления волн приходится часто встречаться в самых различных областях физики. Казалось бы, существует простая и надежная теоретическая модель этих явлений, основанная на плосковолновом приближении и использовании формул Френеля. Однако такое приближение оказывается не вполне корректным в условиях полного внутреннего отражения. Действительно, вблизи плоской границы раздела двух прозрачных сред при углах падения волны, сколь угодно меньших угла полного внутреннего отражения (критического угла), поле в преломляющей среде описывается бегущей однородной волной, а при углах падения, сколь угодно больших критического, — неоднородной волной, затухающей в направлении от границы. Налицо резкий скачок качественного состояния модельной системы, которого на самом деле не происходит. Дело в том, что реальные волновые поля всегда ограничены и неоднородны в пространстве, а закономерности отражения и преломления пространственно ограниченных волновых пучков отличаются от таковых для безграничной плоской волны. Особенно существенным это отличие оказывается в условиях полного внутреннего отражения.

До сих  пор теоретические исследования полного внутреннего отражения пространственно ограниченных пучков сводились к изучению отраженного поля, поскольку для преломленного поля получаются слишком громоздкие интегральные выражения. Насколько нам известно, только в работе теоретически изучалось преломленное поле неоднородного светового пучка в условиях полного внутреннего отражения. В этой работе было построено точное решение дифференциального уравнения для волновой функции преломленного поля в виде двойного интеграла и найдено его простое асимптотическое приближение, которое, однако, не дает возможности описать некоторые эффекты, например сдвиг Гооса-Хенхен. На практике широко используются линейно-поляризованные пучки р- и s-поляризаций, либо с комбинацией этих поляризаций. На формирование огибающей распределения интенсивности в отраженном пучке существенное влияние оказывают многие характеристики пучка и отражающей среды. Ввиду сложности получения аналитического решения общей задачи об отражении пучка обычно используются различные приближения, допустимые для конкретных условий задачи. Так, в посвященных данному вопросу работах рассматриваются, как правило, отражение и сдвиг либо отдельных плосковолновых компонент, либо узконаправленных волновых пучков. При теоретическом исследовании отражения пучков с широким угловым спектром, в частности, гауссовых пучков, производится «обрезание хвостов» углового спектра. При этом анализ проводится либо для непоглощающих, либо для сред поглощающих, но без учета частотной дисперсии.

Подобный  анализ, хотя он и дает приближенные аналитические выражения формы огибающей и сдвига пучка, недостаточен при описании отражения реальных пучков в случае резонансного поглощения одной из граничащих сред в широком диапазоне углов падения, где возможен также отрицательный продольный сдвиг отраженного пучка.

При отражении  от непоглощающих сред наиболее значительные искажения профиля пучка проявляются вблизи углов брюстеровского (для р-поляризации) и полного внутреннего отражения, поскольку именно вблизи этих углов коэффициент отражения меняется достаточно быстро. При наличии поглощения деформации профиля отраженного пучка также имеют место, однако их характер существенно зависит от частоты падающего излучения и формы линии поглощения отражающей среды. При этом сдвиг и трансформация пучков р- и s-поляризаций должны существенно различаться, поскольку различаются значения коэффициентов отражения для каждой из плосковолновых компонент пучка указанных поляризаций.

 

 

 

 

 

 

 

 

2.2 Отражение  гауссова пучка

Пусть гауссов  пучок р- или s- поляризации падает на плоскую границу раздела двух сред под углом θ₀, отсчитываемом от нормали. Среда, из которой падает пучок, является оптически прозрачным диэлектриком с действительной диэлектрической проницаемостью е, которую считаем постоянной в рассматриваемом диапазоне частот. Отражающая среда является резонансной, для которой частотная зависимость диэлектрической проницаемости имеет вид:

                                              

(2.1)

где ω₀ — резонансная частота, g — ширина резонансной линии, ε₀ и ε_∞ — статическая и высокочастотная проницаемости среды. Подобную частотную зависимость диэлектрической проницаемости имеют многие оптические материалы в области линий поглощения. Направим ось Z вдоль нормали к границе раздела сред; плоскостью падения является плоскость XZ. Введем связанную с падающим пучком систему координат X'Y'Z', ось Z' которая совпадает с направлением распространения пучка, начало координат находится в шейке пучка и отстоит от границы раздела сред на расстоянии z_s вдоль пучка. Пространственное распределение поля в гауссовом пучке может быть представлено следующим образом:

(2.2)

 

где параметр — определяет зависимость ширины пучка от координаты вдоль направления распространения, ρ₀ — радиус шейки пучка, значительно превышающий длину световой волны η= arctg(z'/z₀) — набег фазы, z₀ =k₁ρ₀²/2 — расстояние, на котором ширина пучка увеличивается в π/2 раз.

Для определения  распределения светового поля по сечению отраженного пучка рассмотрим двумерный гауссов пучок, падающий на плоскую границу раздела двух сред под углом θ₀. Поле в таком пучке не зависит от координаты в направлении, перпендикулярном плоскости падения, а гауссов профиль реализуется в плоскости падения в направлении, перпендикулярном направлению пучка. Направим ось Z вдоль нормали к границе раздела сред, совпадающей с плоскостью XY, а ось Y перпендикулярно плоскости падения. Вектор электрического поля в падающем пучке может быть представлен в виде суммы р- и s-компонент Е = Е_р + E_s, причем вектор Е_р лежит в плоскости падения, а E_s перпендикулярен ей. Распределение поля в отраженном пучке при z = 0 находится путем интегрирования его спектра Е(к) по всем отраженным плоским волнам с различными углами падения в плоскости XZ.

(2.3)

Где амплитуда  гауссова пучка определяется выражением:

Для выявления  особенностей трансформации отраженных пучков р- и s-поляризаций и сравнительного их анализа необходимо проведение численного определения распределения интенсивности светового поля на основе полученного выше интегрального представления поля отраженного пучка. Ниже представлены результаты такого численного анализа, проведенного на основе в плоскости отражения z = 0. Поскольку при падении под некоторым углом θ_о геометрический центр пучка смещается на величину х₀ = z'_s sinθ_о относительно нормального падения (θ_о =0), то для иллюстрации и сравнения трансформации профилей отраженных пучков удобно все начала координат для разных θ_о поместить в одну точку и рассматривать смещение пучка в каждом случае относительно этой точки. Параметры отражающей среды, выбранные для проведения численного анализа, соответствуют полупроводнику AlAs, оптические характеристики которого близки к изотропному материалу и определяются следующими параметрами, входящими в выражение для диэлектрической проницаемости: ε₀ =11, ε_∞ =9, g/ω₀ =0.01; падает пучок из среды с ε₁ = 1. Значения основных параметров гауссова пучка зададим в длинах волн падающего излучения: R_c = 1000/λ, ρ₀ = 10/ λ, z_s = 10 λ

Для описания оптических характеристик поглощающей среды удобно ввести комплексный показатель преломления N₂ = n₂ – ik₂, действительная и мнимая части которого определяются выражениями:

			(2.4)
			(2.5)

 

На рис. 2.1 приведены частотные зависимости  эффективного показателя преломления п₂ и коэффициента поглощения к₂ резонансной среды, полученные на основе приведенных соотношений и параметров вблизи линии резонансного поглощения.

Падение плоской световой волны на плоскую границу раздела двух сред с показателями преломления n₁ и n₂ является, вероятно, наиболее детально исследованным физическим явлением. Эффект Брюстера (т.е. точное равенство нулю коэффициента отражения р - поляризованной волны, падающей под углом θ_BR, удовлетворяющим соотношению tgθ_BR = n₂/n₁) и эффект полного внутреннего отражения (т.е. точное равенство коэффициента отражения единице, когда n₁ >n₂, а угол падения превосходит критическое значение θ_tot, определяемое выражением sinθ_tot = n₂/n₁) широко используются в технике. В последние годы делаются попытки использовать цилиндрические системы для создания различных оптоэлектронных устройств. Ряд теоретических работ был посвящен изучению распространения цилиндрических волн в слоистых цилиндрических структурах и через цилиндрическую границу двух сред. Однако некоторые интересные особенности, например увеличение коэффициента отражения при малом радиусе границы, и зависимость оптических свойств от поляризации света требуют более детального изучения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.1. Частотная зависимость  действительной и мнимой частей показателя преломления резонансной среды

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

Гауссов пучок – это  важное понятие, оно с разных сторон объясняет световой пучок, создаваемый лазером. В отличие от лучей, относящихся к геометрической оптике, в которой волновой природой света пренебрегают, гауссов пучок является волновым явлением, в котором дифракция играет ключевую роль в его распространении.

Для описания процессов происходящих при отражении плоской монохроматической волны от поверхности раздела двух сред удобно использовать графический метод описания. Для этого данной работе был исползован пакет Mathcad. Данный пакет позволил точно описать поведение волны при отражении от границы раздела двух диэлектриков и построить угловую зависимость при p - и s – поляризации.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

1. Солимено С., Крозиньяни Б., П. Ди Порто // Дифракция и волноводное распространение оптического излучения. 1986. С. 662.
2. Виноградова М. Б., Руденко О. В., Сухоруков А. П. // Теория волн. 1-е изд. М.: Наука, 1979. С. 44 – 54.
3. Сивухин Д. В. // Оптика. 3-е издание. М.: Физматлит, МФТИ, 2002. Т. 4. С. 792
4. Савельев А. С. // Оптика. 3-издание. М. 1998. Т. 3. С. 528.
5. Бондарев Б.В., Калашников Н.П., Спирин Г.Г // Курс общей физики. 2005. Т. 2. С. 438.
6. Галанцева М.Л., Моисеев Б.М.// Волновая оптика. 2002. Т. 2. С. 79.
7. Наседкина Ю. Ф., Семенцов Д. И. //Продольный сдвиг и трансформация гауссова пучка при отражении от тонкой пленки. 2007. Т. 102. В. 5. С. 846 – 853.
8. Кухарчик П. Д., Сердюк В. М., Титовицкий И. А. // Полное внутреннее отражение гауссова светового пучка. ЖТФ. 1999. Т. 69. В. 4. С. 74 – 78.
9. Наседкина Ю. Ф., Семенцов Д. И. // Трансформация гауссовых пучков s- и p-  поляризации при отражении от резонансной среды. 2005. Т. 8. В. 3. С. 11 – 17.
10. Калитеевский М. А., Николаев В. В. // Аналоги эффекта Брюстера и полного внутреннего отражения для цилиндрических волн. ЖТФ. 2000. Т. 70. В. 7. С. 52 – 56.
11. Воляр А. В., Фадеева Т. А., Шведов В. Г. // Непараксиальный гауссов пучок: расщепление линии сингулярности и оптический эффект Магнуса. ЖТФ. 1999. Т. 25. В. 22. С. 14 – 20.
12. Плаченв А. Б., Кудашов В. Н., Радин А. М. // Аналитический способ построения фундаментальной моды резонатора в виде гауссова пучка со сложным астигматизмом. 2007. Т. 37. В. 3. С. 290 – 298.
13. Балыкан В. И., Летохов В. С. // Лазерная оптика нейтральных лазерных пучков. 1990. Т. 160. В. 1. С. 141 – 153.
14. Протасов М. И. // Построение изображений на основе гауссовых пучков по многокомпонентным данным. 2006. Т. 407. В. 4. С. 441 – 446.
15. Головин И. В., Ковригин А. И., Коновалов А. Н., Лаптев Г. Д. // Описание лучевым методом распространения гауссова пучка со сложным астигматизмом и применение этого метода для расчета неплоских кольцевых резонаторов. 1999. Т. 22. В. 5. С. 461 – 463.
16. Волков С. Н., Коротеев Н. И., Макаров В. А. // Генерация второй гармоники при отражении двухмерного гауссова пучка от поверхности изотропной гиротропной среды. 1997. Т. 27. В. 6. С. 517 – 522.
17. Барсуков К. А., Попов В. Н. // О световых «зайчиках». 1996. Т. 166. В. 11. С. 1245 – 1252.
18. Бабушкин А. В., Бучельников В. Д., Бычков И. В. // Отражение электромагнитных волн от поверхности феррита кубической симметрии. ЖТФ. 2002. Т. 44. В. 12. С. 2183 – 2188.
19. Хомченко А. В., Сотский А. Б., Романенко А. А., Глазунов Е. В., Шульга А. В. // Волноводный метод измерения параметров тонких пленок. ЖТФ. 2005. Т. 75. В. 6. С. 98 – 106.
20. Карпук М. М., Костюк Д. А., Кузавко Ю. А., Шавров В. Г. // Отражение и преломление акустических волн на границе диэлектрик-магнитоакустический материал. ЖТФ. 2003. Т. 73. В. 7. С. 97 – 104.
21. Глущенко А. Г., Головкина М. В. // Отражение электромагнитной волны слоистой структурой сверхпроводник–диэлектрик. ЖТФ. 1998. Т. 24. В. 1. С. 9 – 12.
22. Дедков Г. В., Кясов А. А. // Флуктуационно-электромагнитное взаимодействие движущихся нейтральных атомов с плоской поверхностью: учет эффектов пространственной дисперсии. ЖТФ. 2006. Т. 32. В. 5. С. 78 – 83.
23. Ляхомская К. Д., Хаджи П. И., Марков Д. А. // Особенности отражения торца полубесконечного нелинейного кристалла. ЖТФ. 2000. Т. 26. В. 7. С. 18 – 22.
24.   Федоров Ф. И. // Журнал прикладной спектроскопии. 1977. Т. 27. В. 4. С. 580 – 587.
25. Наседкина Ю. Ф., Семенцов Д. И. // Распределение поляризации в гауссовом пучке, отраженном от резонансной среды. ЖТФ. 2006. Т. 32. В. 8. С. 1 – 8.