Отражение гауссовых пучков

 

 

 

 

 

Утверждаю

 

«_____» ___________ 200__г.

Зав. кафедрой _________________

 

 

 

 

 

 

Курсовая  работа

• на тему:    Отражение гауссовых пучков    

 

 

Специальность:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2009

 

 

 

 

 

Условные обозначения

 

ОКГ – оптический квантовый  генератор

μ – магнитная проницаемость

σ – проводимость среды

ε – диэлектрическая  проницаемость

θ₀ – угол падения

ω – частота

k – волновой вектор

m – световой вектор

E – напряженность электрического поля

H – напряженность магнитного поля

R_E – коэффициент отражения электрического поля

R_H – коэффициент отражения магнитного поля

T_E – коэффициент преломления электрического поля

T_H – коэффициент преломления магнитного поля

Z – характеристическое сопротивление среды

ω₀ – резонансная частота

g – длина резонансной линии

ε₀ – статическая проницаемость среды

ε_∞ - высокочастотная проницаемость среды

ρ₀ – радиус шейки пучка

η – набег фазы

N₂, n₂ – показатели преломления

k₂ – коэффициент поглощения

θ_BR – угол Брюстера

α₁ – нормальная к границе компонента волнового вектора

 

 

 

 

 

Содержание

 

Введение………………………………………………………..4

Постановка задачи……………………………………………..6

Глава 1. Отражение электромагнитной волны

1.1 Отражение падающей  волны………………………….7

1.2 Коэффициенты отражения…………………………...10

1.3 Поглощение гауссова  пучка………………………….13

Глава 2. Отражение и преломление гауссова светового пучка

2.1 Особенности отражения  и преломления пучка……..15

2.2 Отражение гауссова пучка…………………….……...18

Заключение……………………………………………………23

Список литературы…………………………………………...24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

При первоначальном анализе  или описании большинства оптических явлений обычно используют плоские  электромагнитные волны как наиболее простой вид волн. Понятие плоской  волны включает в себя неизменность в пространстве и во времени формы  фазовой (плоской) поверхности и амплитуды. Реальные световые пучки, однако, всегда ограничены прежде всего в поперечных направлениях. Дифракция такого пучка приводит к постоянному изменению в пространстве амплитуды и к искривлению фазовой поверхности. Эти особенности пучка приходится учитывать при описании распространения узких световых пучков, например излучения оптических квантовых генераторов (ОКГ).

Когерентное излучение, генерируемое лазерами и мазерами, представляет собой узкие пучки, поперечные размеры которых, однако, намного больше длины волны. Поэтому дифракционная расходимость таких пучков сравнительно невелика, и их амплитуда медленно изменяется с продольной координатой. Такие световые пучки хорошо описываются гауссовыми пучками, в которых амплитуда в поперечной плоскости изменяется по закону Гаусса-Эрмита, а фазовая поверхность искривляется по мере распространения пучка. Сейчас доказано и общепризнано, что гауссовы пучки наиболее просто и полно описывают свойства лазерных световых пучков и собственные типы колебаний (моды) открытых резонаторов ОКГ. Правда, гауссовы пучки тоже являются приближением, но достаточно хорошим.

Область применения лазерных лучей весьма велика в настоящее  время и простирается от чисто  научных сфер, таких, как нелинейная и интегральная оптика, до машиностроительной промышленности. При этом приходится рассматривать особенности распространения и свойства лазерных лучей в самых разных средах: прозрачных и непрозрачных, однородных и неоднородных, изотропных и анизотропных и т.д. В связи с этим желательно провести подробное исследование свойств гауссовых (лазерных) пучков света в самых разных средах.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Постановка задачи

В теории волн часто приходится иметь дело с задачами о распространении  сигналов в неоднородных средах. Возникают значительные трудности, и преодолеваются они за счет приближенных методов расчета. Для того чтобы строить приближенную теорию, необходимо знать решения некоторых простых задач. Самая простая задача о распространении волн в неоднородной среде – задача о падении плоской монохроматической волны на плоскую границу раздела двух сред с различными свойствами, при котором возникают преломленная и отраженные волны. В данной работе будет рассмотрена задача о падении плоской волны на границу раздела двух диэлектриков.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 1. Отражение электромагнитной волны

1.1. Отражение падающей  волны

Пусть граница раздела  между двумя полубесконечными однородными  средами совпадает с плоскостью z=0 системы координат. Среды, расположенные сверху и снизу от границы, характеризуются следующими параметрами: - магнитные проницаемости,  - проводимости сред; ε₁ и ε₂ — диэлектрические проницаемости сред, являющиеся действительными величинами. Пусть на эту границу из первой среды падает плоская волна под углом к оси z с частотой ω, волновым вектором k и световым вектором m.

Пусть электрическое  и магнитное поля падающей волны  имеют вид: 

(1.1)

Зависимость поля от времени определяется множителем exp(iωt).

Формулу для магнитного поля мы получим из уравнения Максвелла:

		(1.2)
		(1.3)

Для случаев p-поляризации  и s- поляризации получаем соответственно:

  - для p-поляризации

  - для s-поляризации

Направление магнитного поля волны определяется направлением векторного произведения величин Е и k. Рассмотрим характеристики этой волны - волновой и световой вектора.

Волновой  вектор – вектор k₀, направление которого совпадает с направлением распространения волны. Модуль этого вектора в вакууме равен  k₀ =ω/c. В среде эта величина изменяется в раз: k₁ = , k₂ =

В нашем случае:

k0x=ksinθ0	k0z=ksinθ0
k1z=k1cosθ0	k2z=k1cosθ0

 

Световой  вектор  Е определяет величину и направление переноса светового потока.

Учитывая значения проекций волновых векторов, получаем следующие  выражения для проекций электрического поля:

		(1.4)
		(1.5)
		(1.6)

При распространении  плоской электромагнитной волны  в пространстве, представляющем собой  области с различным значением  параметров ε, μ  и границами раздела  плоскостей, возникают отраженная и  преломленная волны.

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1.1. Отражение и  преломление плоской волны на плоской границе раздела двух сред.

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2. Коэффициенты отражения

Световые и магнитные  вектора этих волн связаны с векторами  падающей волны граничными условиями:

ε1E1z=ε2E2z	µ1H1z=µ2H2z
E1x=E2x	H1x=H2x

 

Практически представляют интерес два случая: когда световой вектор лежит в плоскости падения (р-поляризация), и когда он перпендикулярен ей (s-поляризация).

Тогда для отраженной р-волны поле будет подчиняться уравнениям:

(1.7)

а для s- волны:

(1.8)

Амплитуды этих волн связаны  с амплитудой падающей волны коэффициентами отражения.

,

(1.9)

коэффициентами  преломления (прохождения)

,

(1.10)

Коэффициенты отражения R и преломления Т для заданного значения угла падения зависят от ориентации векторов электромагнитного поля по отношению к плоскости падения. Если вектор Е лежит в этой плоскости, то

		(1.11)
		(1.12)

где Z₁ и Z₂ – характеристическое сопротивление первой и второй среды, углы θ₀  и θ₂ – угол падения и преломления соответственно.

Если вектор Е перпендикулярен плоскости падения, то удобнее использовать расчеты для вектора Н. Следовательно, формулы для коэффициентов падения и преломления будут иметь следующий вид:

(1.13)

 

(1.14)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 1.2а Зависимость  коэффициентов отражения при ε₁< ε₂

 

 

 

 

Рисунок 1.2b Зависимость коэффициентов отражения при ε₁> ε₂

1.3 Поглощение гауссова  пучка

Диэлектрические проницаемости ε₁, и ε₂ могут быть комплексными величинами, т.е. допускается наличие поглощения в обеих средах. Разложим функцию в интеграл Фурье по плоским волнам с постоянными распространения β вдоль границы, тогда поле падающего пучка вблизи последней представится следующим образом:

(1.15)

где

 

Отраженное U_r и преломленное U поля также будем искать в виде интегралов Фурье. Учитывая, что каждая плосковолновая фурье-компонента отражается и преломляется независимо от других, можно сразу записать интегральные выражения для этих полей:

(1.16)

, - френелевские коэффициенты отражения и преломления.

Физический смысл этого  параметра вполне очевиден: его вещественная и мнимая части определяют изменение интенсивности и фазы плоской волны при отражении.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 1.3. Угловая зависимость  энергетических коэффициентов отражения  для p- (пунктирная) и s- (сплошная) сред при поглощении, η=0.1,0.5,1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 2.  Отражение  и преломление гауссова светового  пучка

2.1. Особенности отражения  и преломления пучка

Исследование  особенностей отражения световых пучков с различным профилем углового спектра от плоской границы раздела сред является достаточно важной задачей современной оптики, что связано с деформацией профиля отраженного пучка и его продольным смещением по отношению к падающему пучку. Интерес к данной проблеме обусловлен тем, что измеренные характеристики отраженных световых пучков позволяют оценить свойства отражающей среды или планарной структуры. К настоящему времени детально исследованы особенности отражения световых пучков от границы раздела двух полубесконечных сред, построена теория продольного смещения отраженного пучка, в том числе и отрицательного, однако отсутствует анализ деформации профиля пучка при отражении от слоя ограниченной толщины. При этом модуль коэффициента отражения в области полного отражения и его фаза намного быстрее изменяются с углом падения, чем в случае одной границы раздела. Существование двух границ раздела сред должно вносить дополнительные искажения профиля отраженного пучка и его продольное смещение, поскольку в этом случае необходимо учитывать разделение пучка на две части и сдвиг прошедшей в слой и отразившейся от нижней его границы части пучка.