Нелинейные сопротивления

На рис. 10, б совмещены  графики вольт-амперной характеристики нелинейного резистора и зависимостей I = (U_г -U/R) для трех различных значений сопротивления линейного резистора R и одного и того же значения напряжения задающего источника U_г.

Анализ рис. 10, б показывает, что рабочими точками могут быть точки 1 и 5, соответствующие единственному решению уравнений I =F(U) и  I = (U_г -U)/R. Рабочими точками могут быть также точка 2 или точка 4. Точка 3, расположенная па ниспадающем участке ВАХ, является точкой неустойчивого равновесия. Можно показать, что если зафиксировать сопротивление R, при котором могут существовать три точки пересечения указанных зависимостей, и увеличивать задающее напряжение источника от нуля до величины U_г, то рабочей будет точка 4. Если же задающее напряжение источника от очень большого значения уменьшать до значения U_г, то рабочей будет точка 2.

Итак, в цепи с нелинейным двухполюсником, имеющим многозначную ВАХ задачи нахождения рабочей точки не всегда имеет единственное решение.

Рис.11

Рабочая точка может  быть расположена и на ниспадающем  участке вольт-амперной характеристики, если выбрать сопротивление R и задающее напряжение U_г так, как показано на рис. 1 Заметим, что в рабочей точке, расположенной на ниспадающем участке вольт-амперной характеристики, дифференциальная проводимость и дифференциальное сопротивление нелинейного резистора отрицательны, поскольку малым положительным значениям приращения напряжения (тока) на зажимах нелинейного резистора соответствуют отрицательные значения приращения тока (напряжения).

Метод эквивалентного генератора. Изложенная методика определения рабочей точки в цепи с одним линейным и одним нелинейным резистивными элементами распространяется на резистивные цепи с одним резистивным НЭ и произвольным числом линейных резистивных элементов и источников постоянного напряжения или (и) тока, если воспользоваться теоремой об эквивалентном генераторе. Для этого следует внешнюю по отношению к нелинейному двухполюснику линейную активную цепь (см. рис. 12, а) заменить эквивалентным генератором с задающим напряжением U_эг и внутренним линейным резистивным эквивалентным сопротивлением R₃ (рис. 12, б). Тогда схема анализируемой цепи не будет отличаться от схемы рис. 7, и задача нахождения рабочей точки сводится к рассмотренной выше.

Напряжения и токи в элементах цепи, внешней по отношению  к НЭ, можно найти, воспользовавшись теоремой замещения (см. § 7). Для этого  нелинейный резистивиый элемент  следует заменить источником напряжения (источником тока), напряжение (ток) которого равно (равен) найденному значению напряжения (тока) в рабочей точке. Напряжения и токи в линейной части электрической цепи находят любым методом анализа режима постоянного тока.

Метод, с использованием эквивалентного генератора, является графоаналитическим, поскольку в нем аналитические методы определения параметров эквивалентного генератора и расчета линейной цепи после замены НЭ источником напряжения или тока сочетаются с графическим методом нахождения рабочей точки.

Рис.12

Рис.13 

Пример. Применим метод эквивалентного генератора к схеме рис. 13, а, где U₀₁ ⁼ 14 В, J₀₂ = 10 мА. R₁ = 1 кОм, I_H = 10^- 5 U_H² . Из рисунка следует, что напряжение U_эг - при отключении НЭ равно

U_эг = J₀₂ R₁ + U₀₁= 24 В,

а эквивалентное сопротивление R_Э = R₁ = 1 кОм. В соответствии с ЗНК (рис. 13, б) имеем

I_H = (U_г -U_H)/R= -10^-3U_H + 24 ^. 10^-3.

Построение графиков прямой линии и ВАХ нелинейного элемента показано на рис. 13, б. Пересечение этих кривых дает координаты рабочей точки: I_H = 4 мА и U_H = 20 В.

3. Графические методы  расчета цепей с нелинейными  резистивными четырехполюсниками 

Рассмотрим задачу анализа режима постоянного тока в резистивной электрической цепи с нелинейным четырехполюсником

Рис.14

Пусть входная ВАХ  и семейство выходных ВАХ будут  иметь вид показанный на рис. 15, а и б; управляющим параметром для семейства выходных характеристик четырехполюсника является его входной ток I

Задача нахождения входных  напряжения U₁ = U₁₀ и тока I₁ = I₁₀  сводится к задаче нахождения рабочей точки на входной вольт-амперной характеристике i₁= F₁(u₁). Она решается с помощью графических построений, которые полностью аналогичны рассмотренным в § 2 (рис. 16, а).

Рис.15

Рис.16

Найденному входному току I₁ = I₁₀ соответствует определенная выходная вольт-амперная характеристика i₂= F₂(u₂). Она может быть измерена или, как это обычно, делается, определена по семейству выходных вольт-амперных характеристик четырехполюсника из справочника. Для этого необходимо провести линейное интерполирование двух характеристик семейства с ближайшими значениями параметров I₁< I₁₀   и I₁> I₁₀. На рис. 16, б эта характеристика изображена штриховой линией.

Выходной ток I₂ выходное напряжение U₂ (см. рис. 14) связаны между собой линейной зависимостью I₂ = (U_г2 -U₂)/R₂, которая на рис. 16, б представляет собой прямую, проходящую через точки U₂ = U_г2 на оси абсцисс и I₂ = U_г2/R₂   на оси ординат.

Точка пересечения зависимостей I₂ =(U_г2 -U₂)/R₂ и i₂ = F₂(u₂) при I₁ = I₁₀ и определяет рабочую точку (U₂₀,I₂₀)на выходных характеристиках четырехполюсника.

Дальнейший анализ рассматриваемой  цепи может быть связан с нахождением  напряжений и токов в ветвях входной  и выходной цепей, если до анализа эти цепи были заменены эквивалентными генераторами.

5. Аналитическое представление  вольт-амперных характеристик

Часто необходимо иметь  аналитические выражения для  вольт-амперных характеристик нелинейных элементов. Эти выражения могут лишь приближенно представлять ВАХ, поскольку физические закономерности, которым подчиняются зависимости между напряжениями и токами в электронных и полупроводниковых приборах, не выражаются аналитически.

Задача приближенного  аналитического представления функции, заданной графически или таблицей значений, в заданных пределах изменения ее аргумента (независимой переменной) предполагает, во-первых, выбор аппроксимирующей функции, т. е. функции, с помощью которой приближенно представляется заданная зависимость, и, во-вторых, выбор критерия оценки “близости” этой зависимости и аппроксимирующей ее функция.

В качестве аппроксимирующих функций используются, чаще всего, алгебраические полиномы, некоторые дробные рациональные и трансцендентные функции или  совокупность отрезков прямых линий.

Будем считать, что ВАХ  нелинейного элемента i = F(u) задана графически, т. е. определена в каждой точке интервала U_min £ u £ U_mаx, и представляет собой однозначную непрерывную функцию переменной u . Тогда задача аналитического представления вольт-амперной характеристики может рассматриваться как задача аппроксимации заданной функции x(х) выбранной аппроксимирующей функцией f(x).

О близости аппроксимирующей f(x) и аппроксимируемой x(х) функций или, иными словами, о погрешности аппроксимации, обычно судят по наибольшему абсолютному значению разности между этими функциями в интервале аппроксимации а £ х £b, т. е. по величине

       (10.3)

Часто критерием близости выбирается среднее квадратическое значение разности между указанными функциями в интервале аппроксимации, т. е, величина

    (10.4) 

Иногда под близостью  двух функций f(x) и x(х) понимают совпадение в заданной точке х =Х₀ самих функций и п + 1 их производных.

Наиболее распространенным способом приближения аналитической  функции к заданной является интерполяция (метод выбранных точек), когда добиваются совпадения функцийf(x) и x(х) в выбранных точках (узлах интерполяции) x_k, k = 0, 1, 2, ..., n.

Погрешность аппроксимации  может быть достигнута тем меньшей, чем больше число варьируемых  параметров входит в аппроксимирующую функцию, т. е., например, чем выше степень  аппроксимирующего полинома или чем больше число отрезков прямых содержит аппроксимирующая линейно-ломаная функция. Одновременно с этим, естественно, растет объем вычислении как при решении задачи аппроксимации, так и при последующем анализе нелинейной цепи. Простота этого анализа наряду с особенностями аппроксимируемой функции в пределах интервала аппроксимации служит одним из важнейших критериев при выборе типа аппроксимирующей функции.

В задачах аппроксимации  вольт-амперных характеристик электронных  и полупроводниковых приборов стремиться к высокой точности их воспроизведения, как правило, нет необходимости ввиду значительного разброса характеристик приборов от образца к образцу и существенного влияния на них дестабилизирующих факторов, например, температуры в полупроводниковых приборах. В большинстве случаев достаточно “правильно” воспроизвести общий усредненный характер зависимости i = F(u) в пределах ее рабочего интервала.

Полиномиальная аппроксимация. В качестве аппроксимирующей функции  в задачах аналитического представления вольт-амперных характеристик очень часто используются алгебраические полиномы

f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ...a_nxⁿ           (5)

той или иной степени.

Постоянные a₀,a₁ ,a₂ , ...,a_n представляют собой варьируемые параметры, значения которых выбираются такими, чтобы в интервале аппроксимации а £ х £b свести к минимуму погрешность аппроксимации в соответствии с выбранным критерием близости.

В простейшем случае критерием  близости может служить совпадение значений аппроксимирующей и аппроксимируемой функций в возможно большем числе выбранных точек, расположенных в интервале аппроксимации. Соответствующий метод приближенного воспроизведения функций носит, как мы уже упоминали, название интерполирования, а дискретные точки, в которых требуется точное совпадение функций f(x) и x(х), называются узлами интерполирования. Их число на единицу превышает степень интерполирующего полинома. Действительно, записывая равенство функций f(x_k ) =x(х_k) в каждом из узлов интерполирования x_k, к = 0, 1, 2, ..., n, получим систему из n + 1 линейных уравнений

   (6)

с таким же числом неизвестных  коэффициентов a₀, a₁, a₂ , ..., a_n интерполирующего полинома.

В теории интерполирования функций доказывается, что система  уравнений (6) имеет единственное решение. Единственным, следовательно, будет и решение рассматриваемой задачи интерполирования вольт-амперной характеристики полиномом выбранной степени.

Приведем простейший пример интерполирования в интервале 0 £ х £,5 полиномом первой степени f(x) =a₀+ a₁х функции x(х) =1- е^-х, заданной аналитически. Расположим узлы интерполирования, а их должно быть п + 1 = 2, при x₀ = 0,1 и х₁ = 1,0. Тогда система уравнений относительно искомых коэффициентов а₀ и а₁ будет такой:  а₀ + а₁ ^. 0,1 =1- е^-0,1   и  а₀ + а₁ = 1- е^- Из ее решения следует а₀ = 0,036, а₁ = 0,597 и f(x) = 0,036 + 0,597x. Графики функций f(x) и x(х) приведены на рис. 17. Они показывают, что точность воспроизведения заданной функции невелика. В заданном интервале 0£ х £ 1,5 наибольшая погрешность |f(x) - x(x)| , т. е. max|f(x) - x(x)| находится на одной из границ интервала при х = - 1,5 и составляет 0,158. Ее можно уменьшить, выбрав другие узлы интерполирования и, тем более, повысив степень интерполирующего полинома. Так, графики той же функцииx(х) =1- е^-х и интерполирующего полинома второй степени с узлами интерполирования x₀= 0,15, х₁= 0,6 и х₂ = 1,2 практически совпадают.

   

Рис. 17        Рис.18

Рис.19

На рис. 18 приведен график разности этих функций, из которого следует, что погрешность в том же заданном интервале не превышает 0,026, т. е. уменьшилась по сравнению с линейной интерполяцией в 6 раз.

Одним из эффективных  методов аппроксимации функций, в котором погрешность аппроксимации  контролируется во всем интервале приближения а £ х £b, а не в его дискретных точках, является метод наилучшего равномерного приближения (аппроксимации) функций (приближения по П. Л. Чебышеву). В этом методе параметры аппроксимирующей функции выбираются такими, чтобы в интервале приближения наибольшее по абсолютной величине отклонение функции f(x) от непрерывной функции x(х) было бы минимально возможным, или, используя обозначения (3), чтобы в интервале а £ х £b

   (7)

В рассмотренном выше примере этому критерию удовлетворяет  полином f(x) = 0,071 + 0,518х. Наибольшие его отклонения от функции x(х) =1- е^-х в интервале 0 £ х £1,5 расположены при х = 0, х = х_m =0,658 и х = 1,5 (см. рис. 19), причем, что очень важно, все они равны по абсолютной величине. Легко понять, что любое изменение наклона (a₁)или уровня (a₀) полинома  f(x) , которое ведет к уменьшению экстремального отклонения в двух из трех указанных точек, увеличивает отклонения в оставшейся точке. Таким образом, полином f(x) = 0,071 + 0,518х из всех полиномов первой степени действительно минимизирует абсолютную величину отклонения от функции 1- е^-х в интервале 0 £ х £

В теории аппроксимации  функций доказывается, что наибольшее по абсолютной величине отклонение полинома f(x) степени п от непрерывной функции  x(х) будет минимально возможным, если в интервале приближения а£ х £b разность f(x) - x(х)не меньше, чем  п + 2 раза принимает свои последовательно чередующиеся  предельные наибольшие f(x) - x(х) = L > 0 и наименьшие f(x) - x(х) = -L значения (критерий Чебышева).