Маятник көмегімен қатты денелердің айналмалы қозғалысы зерттеу

М нүктесінің толық инерция күші, оның нормаль және жанама құрамдас бөліктерінің геометриялық қосындысына тең екені анық.

 

Нормаль және жанама құрамдас бөліктері өзара перпендикуляр  болғандығын ескерсек, онда инерцияның толық күші:

 

 

Айналмалы қозғалыстың  жұмысы мен қуаты

 

    Қозғалмайтын осьті айнала қозғалу машиналар детальдардың қозалысында көптеп кездеседі. Айналмалы қозғалысты тудырушы себеп , F күшінің  оське қатысты түсірілген айналу моменті болып табылады,

 

      7-сурет

және ол мына фомуламен анықталады

      Дененің аз бұрышқа  d бұрылуы  кезінде, нүкте С₁ жағдайынан  С₂ жағдайына орын ауыстырғанда, жұмыс F күшінің арқасында атқарылады. Күш түсірілген нүктенің толық орын ауыстыруы радиусы R доғаның ұзындығына тең:

d = Rds

F күші үнемі s орын ауыстыруының жанамасы бойымен бағытталғандықтан, оның атқарылған жұмысы күш пен орын ауыстырудың көбейтіндісі арқылы анықталады:

 

 

Күштің оның радиусына  көбейтіндісі айналу моменті болады, демек:

 

 

 Осыны ескеріп, соңында dW = Мd екенін табамыз.  Интегралдағанда алатынымыз:

 

 

Айналу моментінің жұмысы момент пен бұрылу бұрышының көбейтіндісіне тең.

 

Айналмалы қозғалыстағы қуатты анықтаймыз: 

 

 

Дененің айналмалы қозғалыстағы қуаты айналу моментімен (момент парының) бұрыштық жылдамдықтың көбейтіндісіне тең.

 

Қуаттың өрнегіне  (айн/мин)   айналу жиілігі арқылы шығарылған бұрыштық жылдамдықтың мәнін қосақ,

      Сонда алатынымыз               

 

 

Осыдан

 

Двигательдің  берілген қуаты бойынша,оның дамытатын  максимальды айналу моментін. айналу жиілігін өзгерту арқылы реттеуге болады. Айналу жиілігін азайта отырып, айналу моментін ұлғайтуға болады, керісінше  айналу жиілігін көбейте отырып,  айналу моментін  кішірейтеді.

Кейбір біртекті денелердің инерция моменті

 

Кез келген дененің инерция  моменті

 

 

Инерция моментінің өлшем  бірліктері:

 

[J] = [m] [r²] = кг*м²

 

Айналу осьтеріне қатысты кейбір қарапайым денелердің инерция моментінің формулаларын (қорытындысыз) келтірейік:

 

1. Біртекті стержень үшін, стерженнің осіне перпендикуляр,  оның шетінен өтетін z осіне қатысты (8 а-сурет),

 

Мұндағы  m — стержннің массасы; l — стержннің ұзындығы.

Z0 осіне қатысты біртекті  стержень үшін, (8 а-сурет),

 

оның ауырлық центрі арқылы өтетін 

 

8-сурет

 

       Айналу осі массалар центрі арқылы өтпегенде, инерция моментін анықтау үшін Гюйгенс-Штейнер формуласын пайдаланамыз. Ауырлық центрі арқылы өтпейтін кез келген оське қатысты дененің инерция моменті осы дененің ауырлық центрі арқылы өтетін осіне қатысты инерция моментін дене массасы мен осы остер арасындағы арақашықтықтың көбейтіндісіне қосқанға тең.

Дәлелдеу: Айналмалы қозғалыстың  толық энергиясы үшін массалар центрі және ОО¹ осі арқылы өтетін ості айнала қозғалыс кезінде гі энергияның қосындысынан шығады, яғни

 

                                    W_{айн =} J₀ω²/2 +mV²/2

 

мұндағы m- массалар центріндегі  жіңішке шыбықтың массасы, J₀- массалар центрі арқылы өтетін оське қатысты инерция моменті.

    Айналмалы  екі қозғалыстың бұрыштық жылдамдықтары  бірдей, демек, 

  W_{айн =} J₀ω²/2 + m ω²a²/2     немесе       W_{айн =} (J₀  + m a²) ω² /2

мұндағы а- ОО¹ осінен массалар центріне  (біздің жағдайымызда l /2 ) дейінгі қашықтық. Соңғы өрнектен массалар центрінен өтпейтін дененің оське қатысты инерция моменті

                                        J₀ = J₀ + ma²

 

Осы теңдеу Гюйгенс-Штейнер теоремасын береді.

a= l /2 болғандықтан,

                          J₀ = J₀ + ml²/4 = ml²/12 + ml²/4= ml²/3

                                                       

1. Радиусы R шеңбер  бойымен айналатын материялдық  нүктенің инерция моменті (9 а-сурет)

                                             J₀ = mR²

 

2. Жұқа сақинаның (құрсаудың) моменті (9 ә-сурет)

 

                                           J₀ = mR²

 

3. Тұтас дөңгелектің (цилиндр) инерция моменті (9 б-сурет)

 

                                      J₀ = mR² /2

 

4. Тұтас шардың инерция  моменті J₀ =2/5 mR²  (9 в-сурет)

 

9-сурет

 

            

 

 

 

            Құрылғының сипаттамасы және өлшеу тәсілдері

 

       Маятник дегеніміз  жіңішке стерженьге қозғалыссыз орнатылған  диск. Стерженнің дискіден симметриялы екі ұшыннан жіптер байланып, штативке ілінеді. Маятниктің айналмалы қозғалысы кезінде, екі жағынан стерженьге жіптер оралып, тарқалып, дискіні жоғары-төмен айналмалы қозғалтады. Егер жіпті оське орап, дискіні белгілі биіктіктен көтеріп қоя берсе, ол ауырлық күшінің әсерінен айналмалы қозғалып, төмен түседі.

      Төменгі нүктеде,  жіптің толық ұзындығында, маятниктің  төменге қарай ілгермелі қозғалысы  тоқтайды. Айналып тұрған стерженнің  инерциясы салдарынан жіптер  оған оралып, маятниктің өз осінде  айналуын біртіндеп баяулатып,  жоғары көтереді. Тербелмелі қозғалыстың ең жоғарғы нүктесіне жеткенде цикл қайтадан жаңарады. Құрылғының схемасы 10-ші суретте көрсетілген.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10- сурет

 

1. Штатив, 2-горизонталь консоль, 3- электромагнит, 4-маятник, 5-датчик

                   

Маятникке әсер ететін күштерді қарастырамыз. (11- сурет)

 

 

 

 

 

 

 

11 – сурет

 

     Ондай күштер - жүйенің массалар центріне түсетін ауырлық күші mg, және стерженнің жіппен жанасқан жеріне түсетін жіптің          екі керілу күші. Ньютонның екінші заңына сәйкес былай жазуымызға болады:

                                ma=mg - 2T                                       (1)

 

мұндағы a маятниктің  массалар центрінің үдеуі. Маятник ілгермелі қозғалып ғана қоймай, айналмалы да қозғалады. Екі жіптің керілу күшінің қосынды моменті ( d-стержень диаметрі) симметриялы осьтің бойымен айналу кезінде маятникке бұрыштық үдеу (−dε) береді

                                   M=2*Td/2                                     (2)  

 

Қатты дененің айналмалы  қозғалысының динамикадағы негізгі  заңы бойынша

 

                                           M=εJ                                       (3)

 

 Мұндағы, J - маятниктің инерция моменті. Жүйедегі жіптер сырғанамайтындықтан, оның созылу коэффициенті өте аз (жіптерді созылмайды деп есептеуге болады). Мұндай шарттар орындалғанда сызықтық үдеудің бұрыштық үдеумен aε байланысы кинематикалық түрде былай жазылады 

a=εd/2                                          (4)

(2) және (4) теңдеулерін  қолдана отырып, мына түрде (3) қайта жазамыз: Td=J2a/d мен (5) бірге шеше отыра, мынадай өрнекті аламыз:

a=g/1+4J/m                           (6)

J шамасы қозғалыс  барысында өзгермегендіктен, маятник қозғалысының үдеуі тұрақты болады. Бастапқы жылдамдығы нольге тең, теңүдемелі қозғалыстың mdht уақытта жүрілген қашықтық:

h=at²/2                                   (7)

(6) мен (7) өрнектерден  маятниктің  инерция моментінің  шамасын анықтауға болады:

J=md²/4*(gt²/2h - 1)                (8)

Маятниктің төмен үдемелі  қозғалысы жіптің толық ұзындығына дейін жалғасады. Траекторияның  төменгі нүктесінде,  сызықтық жылдамдық секірмелі қарама-қарсы бағытқа ауысады, өйткені жіптер стерженьге оралып, маятник жоғары үдеумен теңкемімелі қозғалады. 

Құрылғы кронштейнге  бекітілген вертикаль тұрғы ретінде  жасалады.  Тұрғыға горизонталь  консоль бекітіліп, маятникті жоғарғы нүктеде ұстап тұратын электромагнит орнасастырылады. При нажатии кнопки "Қосу"түймешесін босқан кезде, маятник төмен қозғалысын бастайды. Төменгі нүктеде датчик орналасады. Төменгі нүктеде  маятник жарықдиодының ағынын жабады.  Бұл ағын  фотодетекторге келіп түседі де, датчиктің сигналы өлшеуіш блокқа тіркеледі. Осылай, өлшеуіш блокқа, жарық ағыны жабылғандықтан, тоқтау импульсі жетеді. Маятникті төмен жіберген импульс пен оның тоқтауы арасындағы импульс компьютермен қадағаланып отырады.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пайданылған әдебиеттер:

 

1. Стрелков С.П. «Механика». –  М.: Наука, 1975, § 58

2. Савельев  И.В. «Курс общей физики». –1987, т.1. § 38 – 43.

3. Б.М.Яворский, Ю.А.Селезнев «Справочное руководство по физике» М.: Наука, 1979  3- бөлім

4. «Элементарный  учебник физики» под редакцией  академика Г.С. Ландсберга, т.1. § 77,78

5. kk.wikipedia.org/wiki/ 

6. Орысша-қазақша түсіндірме сөздік: Физика / Жалпы редакциясын басқарған э.ғ.д,, профессор Е. Арын – Павлодар: С. Торайғыров атындағы Павлодар мемлекеттік университеті, 2006.