Комплексті сандар арқылы синусоидалы токты есептеу

stify">     

     

 
                                сурет – 1.2.2

     Егер  І_1m ,  І_2m және І_mвекторлары координата бас нүктесінің айналасында ω – бұрыштық жылдамдықпен айналатын болса, онда  векторлардың бір – бірімен салыстырғандағы еш өзгерусіз қалатынына көңіл аударумыз қажет.

     Векторлық диограмма деп бір уақыт бойынша  бірдей жиілікпен синусоида заңымен  өзгеретін, фазаларына байланысты бір  – бірімен салыстырғанда, дұрыс  бағытталулары сақтала отырып  салынған комплекстік жазықтықтағы векторлардың жиынтығын айтамыз. Электр тізбегінің бөлігі арқылы синусоидалық токтар жүргенде ток көзінің энергиясын тұтыну процесі жүріп жатады. Энергияның келіп тұру жылдамдығы қуатпен сипатталады. 
 

 

1.3  Комплекстік  сандарға амалдар  қолдану

     Тізбектегі  айнымалы токтарды есептеуде комплекстік  сандармен әр түрлі жұмыстарды орындауға  тура келеді. Мысалы, тізбектің бөлігіндегі  кедергілер немесе тізбек тұтасымен  – бұл бір комплекс , яни ток, кернеу э.қ.к – комплекстер және тағы басқа Ом заңы бойынша токты  табу үшін э.қ.к – і комплекс кедергі  комплексне бөлу керек.

     Математикада  блетініміздей комплекстік сандарды мынадай түрде жазамды: алгебралық  а+jb, көрсеткіштікce^jφжәне тригонометриялық сcosφ+ ic sinφ.

     Екі және одан да  көп комплекстік  сандарды қосу алгебралық түрде жазу арқылы жүргізіледі. Мұнда олардың  нақты бөлігі бір бөлек, жорамал  бөлігі бір бөлек қосындаланады.

( а₁ + jb₁ )  +  (а₂ + jb₂ ) + ( а₃ - jb₃  )=

                          =   (a₁ + a₂ + a₃) + j( b₁ +  b₂ - b₃ ).

     Комплекстік сандарды көбейту және бөлуді дәрежелік  трде жазып, жргізген орынды. Айталық  c₂e^jφ₂ – комплексіне бөлу керек болсын дейік. Сонда бөлуді орындағанда қортындысында коиплекс алынады: 

c₂e^jφ₂ =c₂e^jφ₂

 Қортынды  комплекстік c₃ – модулі әлгі c₁ мен c₂ – нің бөліндісіне б, аргументік φ₃ =φ₁ –φ₂  айырымына тең болады.

     Жоғарыдағы  c₁  және c₂ - комплекстерінің бір – біріне  көбейтетін болсақ,  онда қорытқы комплекс

c₄e^jφ₄ =c₁e^jφ₁c₂e^jφ₂ =c₁e^{j( φ}₁^+φ₂ ⁾ . 

     Электр  тізбектерімен есептеулер жүргізгенде  комплестің алгебралық түрде жазылумен  көрсеткіштік түріне немесе керсінше көрсеткіштіктен алгебралық түрге  көшіруге тура келеді.

     Айталық , а+jb=ce^jφ комплекстік саны берілсін. Мұндағы с= √а²  + b² , tg= b/а , а= с соsφ, b =сsіnφ.

     Көрсеткіштік  түрдегі комплексті жазуда қате жібермеу үшін, әуелі берілген алгебралық  түрдегі комплексті комплекстік  жазықтықта сапалы бейнелеу ұсынылады. Бұл , әрине, +1 өсімен вектордың  арасындағы φ – бұрышын дұрыс салуға мүмкіндік  береді. Демек, +1 өсіне сағат тілінің  жүрісі бағытына қарсы салынған бұрыш  оң , ал сағат тілі  бағытында салынған бұрыш теріс болады.

 

      1.4Синусоидалық токтың  комплекстік мәндері  үшін Ом және  Кирхгорф заңдары. 

     R, Lжәне С элементтерін тізбектей қосу.  Мұнда u = u_R + u_L  +u_c  теңдеуін мынадай түрде жазамыз: 

u =Ri +L(di/dt)  + 1/Cʃ i d t. 

     Кирхгорфың  теңдеуіндегі параметрлерR, L және С тізбектің қысқыштарындағы     u =Usin (wt+ѱ)  кернеу берілген болсын , ал іздейтініміз тек і – тогы деп есептейік. Бұл жерде синусоидалық токтың орныққан режимін қарастырып отырғандықтан, бұл дифференциялдық теңдеудің шешуін мына түрдегі синусоидалық функция береді. 

i =I_msin (wt+ѱ - φ);    

мұндағы   I_mжәне (ѱ - φ) – әзірге белгісіз токтың амплитудасы және  бастапқы фазасы .

     Синусоидалық  токты есептеу үшін біз практикада жиі қолданылатын есептеудің символдық  немесе комплекстік әдісі деп  талатын әдісті қолданамыз. 

     Демек, бұл жрде біз есептеудің символдық  әдісінің мәні , дифференциялық болып  табылатын синусоидалық  токтың лездік мәні үшін құрылған теңдеуден, токпен э.қ,к –нің комплекстері үшін құрылған аогебралық теғдеулерге  өту  екенінеске сала кеткенініміз  дұрыс. Орныққан процесс үшін, Кирхгорфтың заңдары бойынша , құрылған теңдеудебұл өтуде токтың лездік мәні  і – ді   I_m- токтың комплекстік амплитудасы мен ; кедергісі R  болатын резонанстардағы кернеудің лездік мәні R I_m-комплексмен ; токтан 90^€ - қа озып отыратын индуктиптік катушкадағы   u_L = Ldi/dt    лездік мәнінI_mjwL – комплексмен; токтан 90^€ - қа қалып отыратын  конденсатордағы       u_c   = 1/Cʃ i d t - kернеудің  лездік мәнін I_m  (-j/ w C)   - комплексімен  э.қ.к –нің лездік мәнін E_m -комплекстік ауыстырайық.Конденсатордағы кернеудің амплитудасы ток амплитудасын Х_с =1/wC   -ға көбейткендегі көбейтәндіге тең болады. Конденсатордағы кернеудің токтан  90º- қа қалып қоюы – j көбейткішінің болуымен түсіндіріледі.

Теңдеуді  комсплекстік түрде жазайық ; 

I_m R + I_m jwL + I_m  (-j/ w C)=U_m  ( 1.3.1) 

I_m –ді сыртқа шығарамыз: 

I_m ( R + jwL  - j/ w C)=U_m.              ( 1.3.2) 

  Демек  , 1.3 – суретіндегі схема үшін 

I_m =U_m/(R +jwL - j/ w C).         (1.3.3) 

     Бұл өрнек токтың комплекстік амплитудасы I_m- ді кернеудің комплекстік амплитудасы U_m  және тізбектің R, L және  1/wC – кедергілері арқылы табуға мүмкіндік береді.

     Бұл әдісті символдық әдіс деп аталуы ток пен кенеуді олардың комплекстерімен  немесе символдарымен ауыстырдан шыққан . СоныменRI_m–бұл і R –кернеуінің комплексі немесе символы ; jwLI_m–бұл   u_L = Ldi/dt–кернеуінің комплексі немесе символы ;   (-j / wC) I_m -  бұл конденсатордағы кернеудің түсуіu_c   = 1/Cʃ i d t –дің комплекс немесе символы.

     Теңдеудегі  R – jwL –(j/ wC) көбейткішінің өлшемі кедергінікідей комплекстік болып саналады, сондықтан  оны кедергінің комплексі деп  атайды және Z әріпімен белгіленеді. 

Z= z e ^jφ= R + jwL – j/ wC.              (1.3.4) 

     Барлық  комплекстер секілді Z  -  ті де дәрежелік түрінде жазуға болады. Комплекстік кедергінің модулін  z арқылы белгілеу қабылдаған , яғни z =|Z|

Z –тің  жоғарғы жағыннан қойылмайды, себебі  нүкте уақыттың синусоидалық  функциясыменижазылатын комплекстік  шамаларға ғана қойылады.

     Z дәрежелік  және алгебралық  түрде жазылған. Енді осы шамаы  тригонометриялық түрде жазсақ  былай болар еді.

Z = z cosφ + jz sinφ     (1.3.4`) 

Мұндағы z= |Z|  - комплекстік сандардың модулі, ал φ – комплекстік Z санының аргументі. Бұл шамалар былай анықталады:

z = √R² + X² ; φ = arctg(X/R).(1.3.5) 

     Бұл комплекстік амплитудасы үшін Ом заңы болып табылады. Теңдеудің екі  жақ бөлігі де √2 – ге бөліп, комплекстің  әсерлік мәндері үшін  Ом заңын  аламыз.

U = Z I.   (1.3.6) 

     Біз жоғарыда келтірілген теңдеуі синусоидалық ток тізбегі үшін жағылған Ом заңы  болып табылады.

     Жалпы жағдайда , Z тің нақты бөлігі R және жорамал бөлігі jХ болады:

Z =R +jX = R + j (X_L - X_C ) .     (1.3.7) 

Мұндағы R – активтік кедергі , Х – реактивті  кедергі.

1.3 суретіндегі  схема үшін реактивті кедергі 

X =wL –  1/ wC. 

Z –  комплекстік кедергіге кері шаманы  комплекстік өткізгішті деп   атайды. Y –әріпімен белгілейді:

            Y = 1 /Z = g –jb = ye ^–jφ.       (1.3.8) 

     Комплекстік өткізгіштің  бірлігі  -См(Ом^-1 ). Оның нақты бөлігін g , ал жорамал бөлігін b арқылы белгілейді.

Сонда

1/Z = 1/(R+ jX) =( R – jX )/ (R² + X²) = R / (R² + X²) –j X / (R² + X²) =g –j b,  

Демек,

              g = R / (R² + X²); b = X / (R² + X²); y = √g² + b² .(1.3.9)

     Егер  Х оң болса , онда b – да оң болады . Х теріс болса онда b –да теріс  болады.

     Жоғарыда  айтылғандарды ескеріп , енді , біз 1.8 теңдеуіндегі Y – векторының комплекстік  кедергінің геометриялық инперперенция  енекін және   Z – векторы секілді  белгіленетін көреміз. Комплекстік  кедергінің геометриялық инперперенция, комплекстік  кедергінің алгебралық түрде 1.7 жазылуынан дәрежелік 1.4 және тригонометриялық 1.4` түріне көшруді  жеңәлдетеді.

     Комплекстік өткізгішті пайдалансақ , Ом заңы былай  жазылады:

I = U Y    (1.3.10)

немесе

I =Ug – jUb = I_a -I_{r .}

мұндағы І_а  токтың активтік құраушысы; І_r -токтың реактивті құраушысы ;  U –кедергісі  Z – ке тең тізбектің бөлігіндегі кернеу.

     Токтың  комплекстік амплитудасы 1.5 теңдеуі  негізінде мынадай өрнек жазамыз :

I_m = U_m / Z = U_m e^{j (ψ - φ)}/z

мұндағы  (ψ - φ) –токтың бастапқы фазасы. Демек , ізделініп отырған ток тригонометриялық түрде былай жазылады:

i = I_m (I_me^jwt) = U_m sin(wt + ψ - φ).

 

                                                   Есептің қойылымы 

1-есеп. Мына комплекстерді көрсеткіштік  түрге айналдырыңыз: 3+ 2j;

Шешуі: a + bj = c e ^{j φ}     ,  c = √ a² + b² , tgφ = b/a;

a = 3; b = 2 болғандықтан  c = √9 +4 = 3,6tg φ= 2/3;

3 + 2j =3,6 e^{j 33º40`}:                  

 

 

2-есеп . Мына комплекстерді көрсеткіштік  түрге айналдырыңыз:  4 – 5 j; 

          Шешуі:a = 4 ,  b = 5  болғандықтан       c = √ 16 +25 = 6,4 

                    4 – 5 j = 6,4 e ^{j 51º20`}:

 

 

3-есеп . Э.қ.к – нің оң бағыттарын схемада бағыттама сызықтарымен көрсетілген.  e ₁ = 120√2 sin wt B, e ₃ = 100√2 cos (wt -120º)B; R =2 ;1/ wC₂ =10;

wL₃ =5;

Э.қ.к  комплекстік түрде жазамыз: E₁ =120; E₃= 100 e^{-j 30º}.

Y₁ = 1/Z₁= 1/2=0.5,  Y₂ = 1/Z₂ = 1/ (-10j) = 0.1j ;Y₃ = 1/Z₃ = 1/(-5j) = -0.2j.

φ_a =(120 *0.5 +100 e^{-j 30º}0.2 e^{-j 90º})/ 0.5 +0.1j -0.2j =104e^{-j 8º}B;

I₁ = (E₁ - φ _a)/ Z₁ =( 120 - 104e^{-j 8º}) /2 =11.17e^{-j 40º25}

I₂ = -φ /Z₂= 104e^{-j 8º}/ 10e^{-j 90 º}=10.4e^-j98ºA;

I₃ = (E₃ - φ _a)/ Z₃ = (100 e^{-j 30º} - 104e^{-j 8º}/ 5j) = 7.82e^{-j 155º30}; 
 

 

Қорытынды

     Мен бұл курстық жұмыста комплексті сандар арқылы синусоидалы токты  есептеуді шығардым. Осы есепті шығара отырып көптеген мүмкіншіліктерді пайдалана  отырып, өзімнің курстық жобамның тақырыбын ашатын есептеуді орындап  және сол арқылы қорытынды нәтижеге қол жеткізе алдым. Бәрі де өзім оәлағандай болып шықты.

     Қоғамның  дамуындағы электр электр энергиясының рөлі мен маңызы елеулі орын алатындығы көпшiлікке мəлім. Электр энергиясы  өмірдің барлық салаларын-ында соншалықты кең таратылуының басты себебінің  бірі – электромагниттік энергияны  өте аз шығынмен алыс кашықтыққа беру жəне оны энергияның басқа да түрлеріне: механикалық, жарық, жылу, химиялық жəне т. б. түрлендіру ыңғайлы.