Комплексті сандар арқылы синусоидалы токты есептеу

 

                                   Инженерлік - экономикалық факультет 

                        

                      Курстық   жұмыс 

Тақырыбы:   « Комплексті сандар арқылы синусоидалы токты есептеу » 

         

                                                                           

 

 

 

Кіріспе 

     Қоғамның  дамуындағы электр электр энергиясының рөлі мен маңызы елеулі орын алатындығы көпшiлікке мəлім. Электр энергиясыөмірдің барлық салаларынында соншалықты кең  таратылуының бастысебебінің бірі - электромагниттік энергияны өте аз шығынмен алысқашықтыққа беру жəне оны энергияның басқа да түрлеріне:механикалық, жарық, жылу, химиялық жəне т. б. түрлендіру ыңғайлы.

     Электр  энергиясы кез-келген қуаты бар  қабылдағыштарға оңай тар- алады. Байланыс техникаларындағы, автоматикадағы жəне есептеу тех-никаларындағы қолданылатын қондырғылардың пайдаланатынқуатының өлшемдері ваттың үлестерімен есептелінсе, электрлікқондырғыларда (қозғалтқыштарда, жылытқыш қондырғыларда) қуаттыңөлшемдері мыңдаған жəне он мыңдаған килловатты көрсетеді.

     „Электротехника жəне электроника негіздері” курсының пəнi дeп, тіз-бектер мен өpicтepдeгi өтетін электромагниттік процестерді сандықжəне сапалық жағынан оқып үйренуді айтады. Физика жəне жоғарыматематика курстарына негізделген бұл курс, осы заманғыэлектротехникалық құрылымдардың, əр түрлі кең кластарынақолданылатын инженерлік есептеулер жəне талдау əдістеріне толыболады. Сонымен қатар „Электротехника  жəне электроника негіздері”курсы  өндіріске қажетті болашақ мамандардың  электротехникаданғылыми көз-қарастарының қалыптасып жетілуінде аса маңыздырөл атқарады.

     Электр  тізбектерін есептеуді eкi əдіспен  баяндап жеткізугеболады: бipiншi əдіс бойынша, есептеу жұмыстары синусоидалықтоқтың электр тізбектерінің теориясы бойынша  баяндалады. Ал екіншібойынша, əуелі  есептеу əдіci резистивтік тізбектер (тұрақты тоқтізбектері) қатысты  қарастырылады да, сонан соң бұл  əдістерсинусоидалық тоқ тізбектеріне ауысады. Сонымен катар қолдануоблысы  кең, ауқымды тұрақты тоқ тізбектерінің  есептеулерін жургізудің нəтижесінде, студенттердің бойында оларға қажетті  білікдағдылары қалыптасады.

     ”Электротехника жəне электроника негіздері” курсын оқыпүйренудің барысында студенттердің  біліктілігін қалыптастыру, яғниолардың  негізгі заңдарын оқып үйренуде, есептеулерде талдау əдістерінқолдануды үйренуі  көзделеді. Тəжірибелік зерттеулерді электртізбектерде жүретін нақты  кұбылыстар мен процестерге қолданудыүйрету  арқылы жүзеге асырады. Бұл жерде, сол  көп санды əдістер ментəсілдерден ең қарапайым, негізгі мақсатқа жеткізетіндерін ғана, инженерлік біліктілікпен дəл таңдай білуі керектігі көзделген. Демек,студент өзінің мамандығына сай ”Электротехника жəне электрониканегіздері” курсынан теориялық жəне тəжірибелік біліктіліктерді

ойдағыдай жеткілікті дəрежеде бойына сіңіруі  тиіс.Оқу құралының мақсаты студенттердің  мамандығы бойыншаарнайы пəндерді оқып, оны іс жүзінде ұйымдастыру  үшін”Электротехника жəне электроника  негіздері” пəні бойынша өзіндік    жұмыстарды  жасауға көмек көрсету  болып табылады.

     Бұл жұмысың тнегізгі мақсаттары - пəнді  тек теориялықжағынан оқып үйренуді ғана емес, сонымен қатар ондаэлектромагниттік құбылыстар мен электрлік процестердің қолдануаймақтарын тəжірибелік  тұрғыдан қарастыру мəселелері анықталған. Пəнді оқытудағы басты міндеттердің бірі: студендентердің”Электротехника жəне электроника негіздері” курсын оқып үйренулері, яғни білім жəне біліктерді терең жəне саналы түрде бойларына

сіңірулері. Білім негіздері мынадай мəселерді  қамтиды: есептеулердіңнəт-ижелерін талдаудың  əдістерін игеру. 
 

 
1.1 Синусоидалық токтарды комплекстік жазықтықта кескіндеу 

     Синусоидалы (айнымалы) тоқ деп синус заңдылығымен өзгеретінтоқты айтады: i = I_msinα.

     Айнымалы  тоқтың тұрақты тоққа қарағанда  ерекшелігі, оны алыс қашық-тықтарға қарапайым айнымалы тоқ генератор  құрылғысы менқажетке пайдаланғанда  сенімділігі жоғары қозғалтқыштары бар трансформаторлық қосалқы станцияларды пайдалана отырып тарата алады.

     Электрмагниттік ЭҚК шамасы магнит индукциясынан  В, сымныңактивті ұзындығынан l, өткізгішті қиып өтетін магнит күштіксызықтардың жылдамдығынан V жəне магнит индукциясының векторымен жылдам-дықтың векторының бағыттарының арасындағы синусбұрышынан тəуелді болады. Электр магнитті ЭҚК келесі формуламенанықталады:

e = B ⋅l ⋅V ⋅sin α.

     Электр  магниттік индукцияның ЭҚК αтəуелділігінқарастырамыз:

α = 0, − е = 0;

α = 90o , − е = max; e_m= B ⋅l ⋅V ⋅sin 90o = B ⋅l ⋅V = E_m;

α =180o , − е = 0;

α = 270o , − е = max; e_m= B ⋅l ⋅V ⋅sin 270o = −B ⋅l ⋅V = −E_m;

α = 360o , − е = 0 . 

     E_m=B* l* V деп белгілейотырып, электр магниттік индукцияныЭҚКанық-тау формуласы төмендегідей болып анықталады:

e = E_msinα.

     Комплекс  сандарды кескіндеуге болатын комплекстік  жазықтық бейнеленген.

     Комплекстік санның нақты және жорамал бөлігі болады.комплекстік жазықтықтың  абсцисса өсі бойына комплекстік  санның нақты бөлігін, ал ординатаға жорамал санның бөлігін салады. Нақты  мәндер өсіне +1-ді, ал жорамал мәндер өсіне +j –ді (+j=-1) саламыз.

   Математика курсынан белгілі  Эйгер өрнегі бойынша: 

e^jα=cosα+jsinα.         (1) 

     Комплекс  жазықтықтағы e^jα - комплекстік саны векторды бейнелейді, ол бірге тең және заттық мәндер өсімен (+1 өсімен) α бұрыш жазайды. Альфа бұрышы +1 өсінен сағат тілі бағытына қарсы бағытта саналады. Функцияның модулі:

     Мұндағыe^jα- функциясының +1 өсіне проекциясы  cosα –ға ,ал +jөсіне проекциясы sinα- ға тең болады. Егер e^jα– функциясының орнына I_me^jα- ныалсақ онда 

I_m e^jα =I_mcosα+jI_msinα. 

     Комплекстік жазықтықта бұл функция, e^jα - функциясы сияқты, +1 өсіне α –бұрышымен бейнеленеді, бірақ вектордың ұзындығы I_mесе көп болады. 

I_me^jα(wt+ѱ)=I_mcos (wt+ѱ)+jI_msin (wt+ѱ). (2)

     Мұндағы   I_mcos (wt+ѱ)  қосылғыш I _m e^jα(wt+ѱ)– дің нақты бөлігін (Re)  құрайды, сондықтан  

I_mcos (wt+ѱ) = Re I _m e^jα(wt+ѱ) 

ал   I_msin (wt+ѱ) функциясы I _m e^jα(wt+ѱ)өрнегінң жорамал бөлігі                        (I_m) болып табылады, демек 

i =I_msin (wt+ѱ) =ImI _m e^jα(wt+ѱ).    (4) 

     Сонымен синусоидамен өзгеретін және і- тогын     I _m e^jα(wt+ѱ)түрінде, немесе діл осы сияқты, бірақ  I _m e^jα(wt+ѱ) айналу векторының +j өсіне проекциясы түрінде көрсетуге болады.

     Комплекстік жазықыұтарда, бірдейлік үшін, уақытқа  байланысты синусоидалық түрде өзгеретін  вектордың (wt= 0 болатын уақыт кезендегі) шамасы қабылданған. Сонда вектор мынадай  болады: 

I _m e^jα(wt+ѱ)=I _m e^jα =I _m . 

     Мұндағы I _m - модулі I _m - ге тең, комплекстік шама; ѱ бастапқы фазаға тең, комплекстік жазықтықтың +1 өсіне   I _m векторын жасайтын бұрыш.

     I _m - шамасы і – тогының комплекстік амплитуасы.Комплекстікамплитудакомплекстік жазықтықта,  wt= 0 болған уақыт кезеніңдегі і- тогын бейнелейді. І –тогының немесе U – кернеудегі үстіне қойылған нүкте бұл шамалардың уақытқа байланысты синусоида заңымен өзгеретінін көрсетеді.

     Осы айтқанымызға түсініктеме берейік. Айталық, і = 8sin(wt+20)A болсын. Осы токты  комплекстік амплитуда өрнегі түрінде  жазайық. Бұл жағлайда        I _m = 8 A, ѱ=20΄ A. Демек, I _m e^{j 20΄}. Айта.лық, комплекстік амплитудаI _m = 25e^{j 20΄}A болсын дейік. Енді осы токтың лездік мәні үшін қрнек жазайық. Комплекстік амплитудадан оның лездік мәніне көшу үшін I _m– ді  e^jwt-е көбейтеміз де, алынған көбейтіндінің жорамал бөлігін алдындағы коэффициентті аламыз: 

i = I_m25e^{-j 30΄}e^jwt=I _m 25e^j(wt-30΄)=25sin(wt-30΄). 
 

 

1.2   Комплекстік  жазықтықтағы синусоидалық  финкцияларға                  қосу және алу  амалдарын қолдану. 

     Жиіліктері  бірдей екі токтың ( і₂ және і₂ ) қосу керек болсын дейік. Сонда олардың қосындылары сондай жиілікті токты береді:

                                  і =  і₁ + і₂ 

i₁ =I_1msin (wt+ѱ) ;i ₂=I_2msin (wt+ѱ) ; 

i =I_msin (wt+ѱ);   (1.2.1) 

     Демек, і- тогының  I_m - амплитудасы, ѱ – бастапқы  фазасын анықтау қажет. Осыған сәйкес комплекстік жазықтықта  -тогын І_1m = І_1me^jѱ₁ ,  ал і₂ –тогын   І_2m = І_2me^jѱ₂ векториар түрінде бейнелейміз.І_1m және  І_2m - векторларының геометрриялық қосындылары І_m = І_me^jѱ қосынды,  токтың комплекстік амплитудасын береді. Токтың І_m - амплитудасы қосынды вектордың   ұзындығы, ал бастапқы  ѱ - фазасыосы вектор мен +1 өсінің арасындағы бұрыш ретінде анықталады .

     Екі токтың айырымын анықтау үшін, комплекстік  жазықтықта қосу операциясын емес, қайта, тиісті вектордың айырымын анықтау  операциясын жүргізу керек.