Кинетическая и потенциальная энергия

. (21.1)

Вместе с тем по теореме  о кинетической энергии работа тех  же сил равна изменению кинетической энергии:

. (21.2)

Из сравнения равенств (21.1) и (21.2) видно, что изменение кинетической энергии тел в замкнутой системе  равно по абсолютному значению изменению  потенциальной энергии системы  тел и противоположно ему по знаку:

или

. (21.3)

Из равенства (21.3) следует, что сумма кинетической и потенциальной энергии тел, составляющих замкнутую систему и взаимодействующих между собой силами тяготения и силами упру гости, остается постоянной. Это утверждение называется законом сохранения энергии в механических процессах.

                                                                9   

Сумма кинетической и потенциальной  энергии тел называется полной механической энергией.   

Для полной механической энергии  закон сохранения энергии имеет  следующее выражение: полная механическая энергия замкнутой системы тел, взаимодействующих силами тяготения и упругости, остается неизменной.   

Основное содержание закона сохранения энергии заключается  не только в установлении факта сохранения полной механической энергии, но и в  установлении возможности взаимных превращений кинетической и потенциальной  энергии тел в равной количественной мере при взаимодействии тел.   

Закон сохранения энергии  раскрывает физический смысл понятия  работы.   

Работа сил тяготения  и сил упругости, с одной стороны, равна увеличению кинетической энергии, а с другой стороны, — уменьшению потенциальной энергии тел.   

Следовательно, работа равна энергии, превратившейся из одного вида в другой.   

Закон сохранения полной механической энергии в процессах с участием сил упругости и гравитационных сил является одним из основных законов  механики. Знание этого закона упрощает решение многих задач, имеющих большое  значение в практической жизни.   

Рассмотрим такой пример. Для получения электроэнергии широко используется энергия рек. С этой целью строят плотины, перегораживающие реки. Под действием силы тяжести  вода из водохранилища за плотиной движется вниз по колодцу ускоренно  и приобретает некоторую кинетическую энергию. При столкновении быстро движущегося  потока воды с лопатками гидравлической турбины происходит преобразование кинетической энергии поступательного  движения воды в кинетическую энергию  вращения ротора турбины, а затем  с помощью электрического генератора в электрическую энергию.   

Для расчетов производства электроэнергии гидроэлектростанцией прежде всего необходимо уметь определять кинетическую энергию потока воды, направляющегося на лопатки турбины.

                                                               10

Так как вода не падает на лопатки турбины вертикально  сверху вниз, а движется по колодцам сложной формы,

то расчеты изменения  скорости воды на каждом участке ее движения с учетом действия сил тяжести  и сил упругости были бы очень  сложными.

 

 Однако в таких расчетах  нет необходимости. Так как  на воду действуют 

только силы тяжести и  силы упругости, изменение ее кинетической энергии  при любой траектории движения равно изменению ее потенциальной энергии  , взятому с противоположным знаком:

.

Изменение потенциальной  энергии воды массой   при уменьшении ее высоты над поверхностью Земли на  определяется соотношением

.

Силы упругости при  движении воды в колодцах работы не совершают, так как их направление  в любой точке перпендикулярно  вектору перемещения. Поэтому изменение  кинетической энергии   воды равно изменению ее потенциальной энергии в поле силы тяжести:

.

Превращения энергии. Механическая энергия сохраняется не при любых взаимодействиях тел. Закон сохранения механической энергии не выполняется, если между телами действуют силы трения.   

Автомобиль, двигавшийся  по горизонтальному участку дороги, после выключения двигателя проходит некоторый путь и под действием  сил трения останавливается. Кинетическая энергия поступательного движения автомобиля стала равной нулю, а  потенциальная энергия не увеличилась. Не означает ли это, что кинетическая энергия автомобиля исчезла бесследно?    

Опыт показывает, что механическое движение никогда не исчезает бесследно  и никогда оно не возникает  само собой. Во время торможения автомобиля произошло нагревание тормозных  колодок, шин автомобиля

                                                                11

 и асфальта. Следовательно,  в результате действия сил  трения кинетическая энергия  автомобиля не исчезла, а превратилась  во внутреннюю энергию теплового  движения молекул. 

При любых физических взаимодействиях  энергия не возникает и не исчезает, а только превращается из одной формы  в другую.Этот экспериментально установленный  факт называется законом сохранения и превращения энергии.

Простые механизмы. Помощниками человека на протяжении тысячелетий были такие простые механизмы, как наклонная плоскость, рычаг и колесо. Принцип наклонной плоскости использовали еще строители египетских пирамид. Например, при строительстве пирамиды Хеопса каменные блоки массой 2,5 т поднимались на высоту до 147 м.   

Наклонная плоскость применяется  для того, чтобы тело большой массы  можно было перемещать действием  силы, значительно меньшей веса тела.    

Выбрав ось ОХ параллельной наклонной плоскости, найдем (рис. 70), что для равномерного перемещения тела массой  вверх по наклонной плоскости под углом   к горизонтальной плоскости нужно приложить силу  , равную по модулю:

.

Если силами трения можно  пренебречь, то отношение модуля силы  , обеспечивающей движение тела по наклонной плоскости, к модулю силы тяжести   равно

                                                                 12

.

Мы получили, что при  отсутствии трения применение наклонной  плоскости позволяет уменьшить  значение силы, необходимой для перемещения  тела по наклонной плоскости, во столько  раз, во сколько высота   наклонной плоскости меньше ее длины  .   

Однако выигрыша в работе наклонная плоскость не дает, так  как путь   увеличивается во столько раз, во сколько уменьшается модуль

 

 действующей силы  :

.

Точно такая же работа совершается  при вертикальном подъеме тела на высоту  .   

Этот результат является следствием закона сохранения механической энергии, так как работа силы тяжести  не зависит от формы пути и равна  изменению потенциальной энергии  тела.   

Для подъема тяжелых предметов  человек с давних пор научился применять рычаги.   

Рычаг находится в равновесии, если момент сил, вращающих его в  направлении по часовой стрелке, равен по абсолютному значению моменту  сил, вращающих рычаг в противоположном  направлении. Если направления векторов сил   и  перпендикулярны кратчайшим прямым, соединяющим точки приложения сил и ось вращения, и лежат в одной плоскости, то условие равенства моментов сил принимает вид

,

где   и   — расстояние от точек приложения сил до точки опоры рычага, т. е. оси вращения (рис. 71).

 

 

                                                                 13

Если  , то рычаг может обеспечить выигрыш в силе в   раз:

.

 

Получение с помощью рычага выигрыша в силе не означает выигрыша в работе. При повороте рычага вокруг точки опоры на угол   сила   совершает работу

,

сила   совершает работу

.

Так как  , то работа  , совершенная силой  , равна работе  , совершенной силой  :

.

Равенство работ   и   есть следствие закона сохранения механической энергии. Во сколько раз рычаг дает выигрыш в силе, во столько раз дает проигрыш в расстоянии.   

Рычаг является элементом  многих современных орудий труда: от ножниц и плоскогубцев до рукоятки ручного тормоза автомобиля и  стрелы подъемного крана.   

Небольшое колесо, укрепленное  на неподвижной оси, используется в 

                                                                  14

качестве блока. Блок позволяет изменять направление действия силы.

 Плечи сил, приложенных  к разным точкам неподвижного  блока, одинаковы, поэтому неподвижный  блок не дает выигрыша в  силе (рис. 72, а).

При подъеме груза весом   с помощью подвижного блока получается выигрыш в силе в два раза, так как плечо ОА силы  в два раза меньше плеча ОВ силы   натяжения троса (рис. 72, б). При вытягивании троса на длину   груз поднимается лишь на высоту  ; следовательно, и подвижный блок не дает выигрыша в работе.   

При рассмотрении действия любых простых механизмов можно  убедиться, что ни один из них не дает выигрыша в работе. Любая сложная  машина, являющаяся комбинацией взаимодействующих  между собой рычагов, колес и  других деталей, не может дать выигрыша в работе. Этот вывод является следствием закона сохранения и превращения  энергии.   

Механизмы и инструменты  облегчают труд человека, преобразуя движение и изменяя приложенные  силы. Но ни один механизм не может совершить  большую работу, чем совершают  внешние силы для приведения его  в действие.

Энергетические машины. В своей практической жизни человек постоянно

                                                                 15

 сталкивается с необходимостью  превращений различных видов  энергии. Преобразование энергии  происходит при строительстве  дома и добыче каменного угля, обработке почвы и уборке урожая, изготовлении различных деталей  на станках и поездке на  автомобиле.

Устройства, предназначенные  для преобразования энергии, называются энергетическими машинами.   

Энергетическими машинами являются паровая машина, двигатель внутреннего  сгорания, турбина, электрический генератор, электродвигатель. Паровая машина и  двигатель внутреннего сгорания преобразуют внутреннюю энергию  горючего в механическую энергию, электрический  генератор преобразует механическую энергию в электрическую, электродвигатель преобразует электрическую энергию  в механическую.

Коэффициент полезного действия. Каждый вид энергии может превратиться полностью в любой другой вид энергии. Однако во всех реальных энергетических машинах, кроме преобразований энергии, для которых применяются эти машины, происходят превращения энергии, которые называют потерями энергии.     

Чем меньше потерь энергии, тем совершеннее машина. Степень  совершенства машины характеризуется  коэффициентом полезного действия (КПД).   

Коэффициентом полезного  действия  — греческая буква («эта») машины называется отношение полезной используемой энергии   к энергии  , подводимой к данной машине:

.

 

 

 

 

 

 

                                                                16

3.История открытия кинетической и потенциальной энергии

 

На первых этапах физики открывали отдельные следствия  закона сохранения энергии, не подозревая о существовании общего закона.  
Первым следствием был закон рычага, который можно сформулировать так: произведение силы на расстояние, пройденное точкой приложения силы, есть величина постоянная. Это было известно еще Архимеду. Зная закон сохранения энергии в форме «количество полученной энергии равно затраченной работе», легко свести к нему закон рычага. Действительно, работа вычисляется как произведение силы на перемещение. Если это произведение постоянно, то, увеличивая путь, мы можем на столько же уменьшить силу и наоборот.  
Далее целесообразно обратиться к следующему открытию Галилея. Во время своих опытов с падением тел по наклонной плоскости Галилей обнаружил, что скорость, которую имеет тело у основания наклонной плоскости, не зависит от угла ее наклона, следовательно, от длины пути, а зависит лишь от высоты, с которой падает тело.  
Это поразительное открытие заинтересовало Галилея, и. он поставил задачу исследовать, существует ли независимость скорости от длины пути для криволинейных форм пути. С этой целью он изобрел маятник, получивший его имя (см. методическое замечание).  
Следующий шаг к открытию закона сохранения механической энергии сделал Гюйгенс. Он впервые поставил задачу исследовать законы механического движения системы тел. Изучение колебаний сложных маятников привело его к следующему заключению: «Если какие-нибудь тяжелые тела приходят в движение вследствие действия на них силы тяжести, то их общий центр тяжести не может подняться выше того уровня, на котором он находился в начале движения».  
Важность этого результата была быстро осознана учеными. Немецкий философ и математик Готфрид Лейбниц (1646— 1716) обратил внимание на то, что из законов свободного падения следовала пропорциональность высоты, которой достигает колеблющееся тело при неизменной массе, квадрату его скорости. Поскольку при колебании без трения; высота, с которой падает тело, равна высоте поднятия, то, следовательно, сохраняется произведение  ". Лейбниц назвал это произведение «живой силой» и развил далее мысль о том, что Вселенная обладает сохраняющимся запасом

                                                                17

«живых сил».

Откуда произошел термин «живая сила»? Непосредственный опыт показывал, что сила может быть вызвана покоящимся телом, например сжатой пружиной, телом, которое давит на опору и т. д. С другой стороны, силовое действие может быть произведено движущимся телом. Естественно было в первом статическом случае говорить просто осиле (мертвой), а во втором, чтобы  подчеркнуть ее принадлежность к  движению, изменению, о силе живой.  
Следует заметить, что в некоторых курсах теоретической механики до сих пор сохраняется этот термин, и закон сохранения механической энергии фигурирует под именем «теоремы о живых силах».  
Сохранение «живой силы» было установлено в опытах Гюйгенса с соударением шаров. В знаменитой 11-й теореме о соударениях тел Гюйгенс писал: «При ударе двух тел сумма произведений их масс на квадраты их скоростей одинакова до удара и после него».  
Особое внимание уделили принципу сохранения живых сил Иоганн и Даниил Бернулли. В сочинении 1750 г. Даниил Бернулли рассматривает общий случай системы частиц, между которыми действует сила тяготения, и показывает, что независимо от путей, по которым перемещаются частицы, сумма их «живых сил» остается постоянной. «Природа,— заключает он,— никогда не изменяет великому закону сохранения живых сил».  
Еще более глубокое представление мы находим в сочинении Иоганна Бернулли «Рассуждение о законах передачи движения». Он подчеркивает, что живая сила сохраняется вечно, .что этот всеобщий закон природы действителен и в том случае, когда на первый взгляд наблюдаются отклонения от него. «Если, например,— пишет Бернулли,— тела не абсолютно упруги, то кажется, что при сжатии их, не сопровождающемся возвратом к начальному состоянию, часть живых сил утрачивается. Но мы должны себе представить, что это сжатие соответствует сгибанию упругой пружины, которой препятствуют разогнуться, так что она не отдает тех живых сил, которые были ей сообщены, но сохраняет их в себе».  
Здесь ясное предчувствие перехода кинетической энергии в потенциальную энергию упругой деформации и внутреннюю энергию тела. Однако до четкого представления о потенциальной энергии и строгой формулировки закона сохранения механической энергии физике пришлось пройти более 100 лет. Понятие потенциальной энергии в четкой форме появилось в 1847 г. в