Гидродинамика как раздел механики

Введение 

ГИДРОДИНАМИКА (от гидро... и динамика), раздел гидромеханики, изучает движение жидкостей и воздействие их на обтекаемые ими твердые тела. Теоретические методы гидродинамики основаны на решении точных или приближенных уравнений, описывающих физические явления в движущихся жидкости или газе. В экспериментальной гидродинамике возникающие задачи исследуются на моделях, обтекаемых жидкостью или газом, при этом должны соблюдаться условия подобия теории. Результаты гидродинамики используют при проектировании кораблей, самолетов, ракет и др.

       Гидродинамика представляет собой раздел механики сплошных сред, в котором изучается движение несжимаемых жидкостей и взаимодействие несжимаемых жидкостей с твердыми телами, — использует единый подход к изучению жидкостей и газов.

     В механике с большой степенью точности жидкости и газы рассматриваются  как сплошные, непрерывно распределенные в занятой ими части пространства. Плотность же газов от давления зависит  существенно. Из опыта известно, что  сжимаемостью жидкости и газа во многих задачах можно пренебречь и пользоваться единым понятием несжимаемой жидкости — жидкости, плотность которой всюду одинакова и не изменяется со временем.

     Если  в покоящуюся жидкость поместить  тонкую пластинку, то части жидкости, находящиеся по разные стороны от нее, будут действовать на каждый ее элемент ∆S с силами ∆F, которые независимо от того, как пластинка ориентирована, будут равны по модулю и направлены перпендикулярно площадке ∆S, так как наличие касательных сил привело бы частицы жидкости в движение.

     Физическая  величина, определяемая нормальной силой, действующей со стороны жидкости на единицу площади, называется давлением р жидкости:  

P = ∆F/∆S. 

Единица давления — паскаль (Па): 1 Па равен давлению, создаваемому силой 1 Н, равномерно распределенной по нормальной к ней поверхности площадью 1 м² (1 Па=1 Н/м²).

     Давление  при равновесии жидкостей (газов) подчиняется  закону Паскаля*: давление в любом месте покоящейся жидкости одинаково по всем направлениям, причем давление одинаково передается по всему объему, занятому покоящейся жидкостью. 
 
 

1. Коэффициент вязкости. Течение по трубе  
 

Вязкость (внутреннее трение) — это свойство реальных жидкостей оказывать сопротивление перемещению одной части жидкости относительно другой. При перемещении одних слоев реальной жидкости относительно других возникают силы внутреннего трения, направленные по касательной к поверхности слоев. Действие этих сил проявляется в том, что со стороны слоя, движущегося быстрее, на слой, движущийся медленнее, действует ускоряющая сила. Со стороны же слоя, движущегося медленнее, на слой, движущийся быстрее, действует тормозящая сила.

     Идеальная жидкость, т. е. жидкость без трения, является абстракцией. Всем реальным жидкостям и газам в большей или меньшей степени присуща вязкость или внутреннее трение. Вязкость проявляется в том, что возникшее в жидкости или газе движение после прекращения действия причин, его вызвавших, постепенно прекращается.

     Для выяснения закономерностей, которым  подчиняются силы внутреннего трения, рассмотрим следующий опыт. В жидкость погружены две параллельные друг другу пластины, линейные размеры которых значительно превосходят расстояние между ними d. Нижняя пластина удерживается на месте, верхняя приводится в движение относительно нижней с некоторой скоростью v₀. Опыт дает, что для перемещения верхней пластины с постоянной скоростью v₀ необходимо действовать на нее с вполне определенной постоянной по величине силой F. Раз пластина не получает ускорения, значит, действие этой силы уравновешивается равной ей по величине противоположно направленной силой, которая, очевидно, есть сила трения, действующая на пластину при ее движении в жидкости. Обозначим ее F_тр.

     Варьируя  скорость пластины v₀, площадь пластин S и расстояние между ними d, можно получить, что 

                                             (1) 

где  — коэффициент пропорциональности, зависящий от природы и состояния (например, температуры) жидкости и называемый коэффициентом внутреннего трения или коэффициентом вязкости, или просто вязкостью жидкости (газа). 
 

При движении жидкости в круглой трубе скорость равна  нулю у стенок трубы и максимальна  на оси трубы. Полагая течение  ламинарным, найдем  закон   изменения скорости   с   расстоянием   r   от   оси трубы.

     Выделим воображаемый цилиндрический объем жидкости радиуса r и длины l. При стационарном течении в трубе постоянного сечения скорости всех частиц жидкости остаются неизменными. Следовательно, сумма внешних сил, приложенных к любому объему жидкости, равна нулю. На основания рассматриваемого цилиндрического объема действуют силы давления, сумма которых равна .Эта cила действует в направлении движения жидкости. Кроме того, на боковую поверхность цилиндра действует сила трения, равная                                        (имеется в виду значение duldr на расстоянии r от оси трубы). Условие стационарности имеет вид 

(1) 

Скорость убывает  с расстоянием от оси трубы. Следовательно, duldr отрицательна и ldu/drl=—duldr. Учтя это, преобразуем соотношение следующим образом:

 

Разделив переменные, получим уравнение: 

 

Интегрирование  дает, что 

(2) 

Постоянную интегрирования нужно выбрать так, чтобы скорость обращалась в нуль на стенках трубы, т. е. при r=R (R — радиус трубы). Из этого условия 

 

Подстановка значения С в (2) приводит к формуле 

(3) 

Значение скорости на оси трубы равно 

(4) 

С учетом этого  формуле (3) можно придать вид 

(5) 

Таким образом, при ламинарном течении скорость изменяется с расстоянием  от  оси  трубы  по  параболическому  закону. 
 
 

2. Формула Пуазейля. 
 

Метод Пуазейля. Этот метод основан на ламинарном течении жидкости в тонком капилляре. Рассмотрим капилляр радиусом R и длиной /. В жидкости мысленно выделим цилиндрический слой радиусом r и толщиной dr. Сила внутреннего трения , действующая на боковую поверхность этого слоя, 

 

  где dS — боковая поверхность цилиндрического слоя; знак минус означает, что при возрастании радиуса скорость уменьшается.

Для установившегося  течения жидкости сила внутреннего  трения, действующая на боковую поверхность цилиндра, уравновешивается силой давления, действующей на его основание: 

                                

После интегрирования, полагая, что у стенок имеет место прилипание жидкости, т. е. скорость на расстоянии R от оси равна нулю, получаем

Отсюда видно, что скорости частиц жидкости распределяются по параболическому закону, причем вершина параболы лежит на оси  трубы. За время t из трубы вытечет жидкость, объем которой 

 

откуда вязкость 

 
 
 

3. Формула Стокса. 

Формула Стокса. При малых Re, т. е. при небольших скоростях движения (и небольших /), сопротивление среды обусловлено практически только силами трения. Стокс установил, что сила сопротивления в этом случае пропорциональна коэффициенту динамической вязкости , скорости v движения тела относительно жидкости и характерному размеру тела I: (предполагается, что расстояние от тела до границ жидкости, например до стенок сосуда, значительно больше размеров тела). Коэффициент пропорциональности зависит от формы тела. Для шара, если в качестве / взять радиус шара r, коэффициент пропорциональности оказывается равным 6я. Следовательно, сила сопротивления движению шарика в жидкостях при небольших скоростях в соответствии с формулой Стокса равна 

                                    (1) 

Метод Стокса. Этот метод определения вязкости основан  на измерении скорости медленно движущихся в жидкости небольших тел сферической формы.

На шарик, падающий в жидкости вертикально вниз, действуют  три силы: сила тяжести  (р — плотность шарика), сила Архимеда (р' — плотность жидкости) и сила сопротивления, эмпирически установленная Дж. Стоксом: , где r — радиус шарика, v — его скорость. При равномерном движении шарика 

  или      

Откуда 

 

Измерив скорость равномерного движения шарика, можно  определить вязкость жидкости (газа). 
 

4. Закон подобия. 

      Геометрическое, кинематическое, динамическое подобие.

      Этап  изучения зависимости интересующей величины от системы выбранных определяющих факторов может выполняться двумя путями: аналитическим и экспериментальным. Первый путь применим лишь для ограниченного числа задач и при том обычно лишь для упрощенных моделей явлений.

      Другой  путь, экспериментальный, в принципе может учесть многие факторы, но он требует научно обоснованной постановки опытов, планирования эксперимента, ограничения его объема необходимым минимумом и систематизации результатов опытов. При этом должно быть обосновано моделирование явлений.

      Эти задачи позволяет решать так называемая теория подобия, т. е. подобия потоков несжимаемой жидкости.

      Гидродинамическое подобие складывается из трех составляющих: геометрического подобия, кинематического  и динамического.

      Геометрическое  подобие как известно из геометрии, представляет собой пропорциональность сходственных размеров и равенство соответствующих углов. Под геометрическим подобием понимают подобие тех поверхностей, которые ограничивают потоки, т. е. подобие русел (или каналов).

      Отношение двух сходственных размеров подобных русел назовем линейным масштабом и обозначим эту величину через .Эта величина одинакова для подобных русел I и II.  

      

      Кинематическое  подобие означает пропорциональность местных скоростей в сходственных точках и равенство углов, характеризующих направление этих скоростей:  

      

 Где  – масштаб скоростей, одинаковый при кинематическом подобии.

      Так как  (где T – время, – масштаб времени).

      Из  кинематического подобия вытекает геометрическое подобие линий тока. Очевидно, что для кинематического  подобия требуется геометрическое подобие русел.

      Динамическое  подобие – это пропорциональность сил, действующих на сходственные объемы в кинематических подобных потоках и равенство углов, характеризующих направление этих сил.

      В потоках жидкостей обычно действуют  разные силы: силы давления, вязкости (трения), тяжести и др. Соблюдение их пропорциональности означает полное гидродинамическое  подобие. Осуществление на практике полного гидродинамического подобия оказывается весьма затруднительным, поэтому обычно имеют дело с частичным (неполным) подобием, при котором соблюдается пропорциональность лишь основных, главных сил.  
 

      5. Турбулентность.

Турбулентным  называется течение, сопровождающееся интентенсивным перемешиванием жидкости и пульсациями скоростей и давлений. Движение отдельных частиц беспорядочному движению молекул газа. При турбулентном течении векторы скоростей имеют не только осевые, но и нормальные к оси русла составляющие, поэтому наряду с основным продольным перемещением жидкости вдоль русла происходят поперечные перемещения (перемешивание) и вращательное движение отдельных объемов жидкости. Этим и объясняются пульсации скоростей и давления.