Анализ электрических цепей

I₅ = I₁₁ – I₂₂.

      Таким образом, по известным контурным токам легко найти действительные токи всех ветвей. Следовательно, решение системы уравнений (1) относительно контурных токов отвечает целям анализа электрической цепи.

      Для решения системы уравнений (1) определим  понятия контурных сопротивлений – R₁₁, R₂₂, контурных Э.Д.С. – Е₁₁, Е₂₂ и взаимных сопротивлений – R₁₂, R₂₁:

R₁₁ = R₁ + R₂ + R₅,                  R₂₂ = R₃ + R₄ +R₅;

 Е₁₁ = Е₁ + Е₅,                                    Е₂₂ = Е₄ −Е₅.

     Теперь  уравнения системы (1) полностью соответствуют  параметрам схемы рис. 1.3.1, а. Значение взаимных сопротивлений контуров в (2) определено с обратным знаком. Это обусловлено необходимостью привести канонические уравнения (2) в соответствие с уравнениями, составленными по второму закону Кирхгофа. Взаимное сопротивление контуров, не имеющих общих ветвей, равно нулю. Решая эту систему уравнений, можно найти контурные токи, а по ним искомые токи ветвей: I₁, I₂, I₃, I₄, I₅.

      Если  бы схема содержала три контура, как на рис. 1.3.1, б, то система канонических уравнений имела бы вид:

.

      Таким образом, метод контурных токов более экономен по вычислительной работе. Он позволяет формализовать процесс анализа и упрощает применение ЭВМ к анализу сложных электрических цепей. 

1.4  Анализ электрических цепей методом междуузлового напряжения  

     В реальных электрических цепях часто  источники и приемники электрической энергии включаются параллельно. Схемы таких цепей имеют только два узла. Если напряжение между узлами известно, то определение токов в ветвях цепи сводится к применению закона Ома. Этот факт и положен в основу метода. На первом этапе определяют междуузловое напряжение, а затем, применяя закон Ома, вычисляют токи ветвей.

      Пусть анализу подлежит схема рис. 1.4.1, а. Схема содержит активные и пассивные ветви, соединенные параллельно. Определим токи всех ветвей цепи, применив метод междуузлового напряжения.

      Формулу для междуузлового напряжения можно  получить, используя принцип суперпозиции. Следуя этому принципу, сначала определим  напряжение, создаваемое между узлами одним источником тока и одним источником Э.Д.С. Полученные выражения распространим на общий случай, когда в цепи действует m источников Э.Д.С. и к источников тока.

          Обозначим сложные  потенциальные узлы схемы индексами  А и В. Напряжение U^I_АВ между узлами А и В, создаваемое только источником тока I, определим по схеме рис. 1.4.1, б. Согласно первому закону Кирхгофа, ток источника I равен сумме токов всех ветвей:

                 (1)

где:g_i – проводимость i-ой ветви (кроме ветви с источником тока).

      Отсюда

                 (2)

Рис. 1.4.1

      Напряжение  между узлами А и В, создаваемое только источником Э.Д.С. Е_1, найдем по схеме рис.1.4.1, в. Заменим в схеме рис.1.4.1, в источник Э.Д.С. Е₁ эквивалентным источником тока. Схема примет вид рис.1.4.1, г. Теперь напряжение , создаваемое источником Э.Д.С. Е_1, можно определить по (2):

               (3)

      Напряжение  от действия источника Э.Д.С. Е₂ найдем аналогично (3):

                                           (4)

      Результирующее  напряжение U_АВ, определим как сумму от воздейст-вия источников I, Е₁ и Е₂. Значения знаменателей в выражениях (2.13), (2.14), (2.15) одинаковы. Поэтому

      Если  схема содержит к источников тока и m источников Э.Д.С., то напряжение U_АВ между узлами равно алгебраической сумме напряжений, создаваемых источниками тока и источниками Э.Д.С., т. е.

                                             (5)

      В выражении (5) произведения g_i,∙E_i и I_i берут со знаком плюс, когда направления Е_i и I_i противоположны выбранному условно – положи тельному направлению напряжения U_АВ, и со знаком минус, когда эти направления совпадают.

      Зная  междуузловое напряжение U_АВ, легко найти токи, как в пассивных, так и в активных ветвях цепи рис. 1.4.1, а:

   
 

  1.5  Анализ электрических цепей методом эквивалентного активного двуполюсника 

      В случаях, когда интересуются электрическим состоянием одной ветви, полезен метод эквивалентного генератора (метод активного эквивалентного двухполюсника). Обоснованием данного метода является теорема об активном эквивалентном двухполюснике. Теорема утверждает, что любую, сколь угодно сложную электрическую цепь или ее часть, можно представить активным эквивалентным двухполюсником с параметрами Е_экв и R_экв. Режим работы ветви, присоединенной к двухполюснику, при этом не изменится.

      Рассмотрим  данный метод на примере схемы рис. 1.5.1,а. Предположим, что в этой цепи нас интересуют напряжение и ток только одной ветви – R₃. Тогда всю схему, кроме ветви R₃, представим активным двухполюсником (рис. 1.5.1, б). К зажимам двухполюсника а и б присоединим ветвь R₃.

      Параметры двухполюсника R_экв и Е_экв определяются составом и топологией схемы цепи рис. 1.5.1, а. Поэтому режим работы ветви R₃ не изменился. Но теперь для определения тока в ней достаточно применить закон Ома:

                                                    (1)

      В этом и заключается преимущество рассматриваемого метода.

_{Рис. 1.5.1}

      Для решения (1) необходимо определить значения Е_экв и R_экв. Значение Е_экв определяют исходя из того, что напряжение U_хх на разомкнутых зажимах источника равно значению его Э.Д.С. – Е_экв.

      Разомкнем зажимы а, б. Схема рис. 1.5.1, а примет вид рис. 1.5.2, а. Напряжение между разомкнутыми узлами а, б – U_хх = Е_экв. Схема рис. 1.5.2, а позволяет определить это напряжение, используя принцип суперпозиции. Для этого последовательно определяем напряжение узла а, затем узла б, а затем вычисляем разность напряжений.

Рис. 1.5.2 

      Напряжение  узла а:

U_а = I₁ ∙ R₂ = E ∙ R₂/(R₁ + R₂).

      Напряжение  узла б:

U_б = I ∙ R₄.

      Тогда

      Эквивалентное сопротивление активного двухполюсника – R_экв находится также относительно разомкнутых зажимов а, б. Однако дополнительно требуется исключить источники электрической энергии. Правила исключения источников заключаются в следующем.

      При исключении источника Э.Д.С. полагают, что напряжение на его зажимах и внутреннее сопротивление равны нулю. Поэтому зажимы источника Э.Д.С. замыкают накоротко.

      При исключении источника тока полагают, что ток источника равен нулю, а внутреннее сопротивление –  бесконечности. Поэтому зажимы источника тока разрываются.

      После исключения источников электрической  энергии схема рис. 1.5.2, а приходит к виду рис. 1.5.2, б (полагаем, что между узлами а, б сохраняется режим холостого хода). Теперь очевидно, что эквивалентное сопротивление активного двухполюсника – R_экв определится выражением:

.

      Подставляя  выражения, полученные для Е_экв и R_экв в (2.17), получим:

      Таким образом, метод активного эквивалентного двухполюсника существенно упрощает процесс анализа, но требует определенных навыков в преобразовании топологии схемы к удобному и наглядному виду.

      В данной курсовой работе имеем схему  с одним источником энергии, поэтому применение метода контурных токов считаю нерациональным. Так же нам не подойдет и метод активного эквивалентного двуполюсника, т.к. нас интересуют токи во всех ветвях, а ни одной в отдельности, и метод междуузловых напряжений. Применение законов Кирхгофа приводит к неоправданно сложному решению. Следовательно, наиболее подходящим методом для решения данной задачи является метод эквивалентных преобразований. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Решение.

    Для составления системы уравнений Кирхгофа в интегро-дифференциальной и комплексной форме, обозначим на схеме условно принятые положительные направления сил токов ветвей и направления обхода контуров: 

    Схема 2 

    

 

    Составим  систему N уравнений по законам Кирхгофа. N=(n-1)+k , где n- число сложных потенциальных узлов, а k- число независимых контуров. Следовательно, надо составить 2 уравнения по первому закону Кирхгофа и 3 – по второму. В общем виде в интегро-дифференциальной форме система будет иметь вид: 

      
 
 

    В комплексной форме: 

      

    Так как в данной схеме содержится только один источник энергии, то будем анализировать её методом эквивалентных преобразований.

    Представим  сопротивление каждой ветви в  комплексной форме:        

      Z_i = R_i + jX_i.

    Тогда схема примет вид: 

    Схема 3

    

 

    Где

       

    В схеме 3 Z₄ и Z₅ соединены параллельно, т.е. их можно заменить эквивалентным сопротивлением Z₄₅. 

    

    В результате схема примет вид: 
 

    Схема 4

    

 

    В схеме 4 элементы Z₃ и Z₄₅ соединены последовательно, значит их также можно заменить эквивалентным сопротивлением Z₃₄₅.

      

    В результате получим: 

    Схема 5 

    

 

    В схеме 5 элементы Z₃₄₅ и Z₂ соединены параллельно. Так же заменим их эквивалентным сопротивлением Z₂₅: 

    

    Схема при этом примет вид:

    Схема 6