Анализ электрических цепей

       
Задание курсовой работы. 

    Схема 1 

    

 

    e(t)=14,1sin314t В 

    

1. Составить систему уравнений Кирхгофа в  интегро-дифференциальной и комплексной  форме.

 
    

2. Определить  токи всех ветвей цепи, предварительно обосновав выбранный метод анализа.

 
    

3. Построить векторную диаграмму напряжений по обозначенным точкам.

 

    R₁=150 Ом

    L₁=1 Гн

    R₂=500 Ом

    R₃=900 Ом

    C₃=2∙10^-5 Ф

    R₄=400 Ом

    L₅=0.8 Гн

 

     Содержание 

    Содержание…………………………………………………………….3 

    Введение………………………………………………………………..4 

    Решение………………………………………………………………..17 

    Заключение……………………………………………………………24 

    Список  использованной литературы………………………………..25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Введение. 

    Реальные  электротехнические устройства и системы имеют сложные схемы. В электрические цепи, кроме основных элементов – источников и приемников электрической энергии, входят различные вспомогательные аппараты и приборы, предназначенные для управления (рубильники, переключатели), регулирования (реостаты, стабилизаторы тока и напряжения), защиты (плавкие предохранители, реле), контроля (амперметры, вольтметры и другие электроизмерительные приборы). Перед специалистами стоят задачи расчета их параметров. Процесс расчета параметров в теории электротехники принято называть «анализом схем». Электрические схемы любой сложности подчиняются законам Ома и Кирхгофа. Однако применение только этих законов часто приводит к неоправданно сложным решениям. Поэтому был разработан ряд методов анализа, адаптированных к топологии электрических цепей и упрощающих процесс расчета их параметров. 

1.  АНАЛИЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ  

 1.1 Анализ электрических цепей применением законов Кирхгофа 

    Суть  анализа электрических цепей  применением законов Кирхгофа заключается в составлении системы из N независимых линейных уравнений, причем

    N = (n - 1) + к,

где: n – число сложных потенциальных узлов, к – число независимых контуров.

По первому  закону Кирхгофа составляется (n - 1) уравнение, по второму закону – к уравнений.

    Схема рис. 1.1.1 содержит 5 ветвей (N=5), 3 cложных потенциальных узла (n = 3) и 3 независимых контура (к=3). Значит, в систему необходимо включить два уравнения по первому закону Кирхгофа (например, для узлов 1 и 2) и три уравнения по второму закону Кирхгофа (для контуров I, II, III).

    

    Рис 1.1.1

    Обозначив на схеме стрелками условно принятые положительные направления токов ветвей и направления обхода контуров и полагая, что индексы токов ветвей совпадают с индексами пассивных приемников электрической энергии, получим систему уравнений вида:

    

.

     Далее необходимо решить систему из пяти уравнений относительно токов. Точность расчетов может быть проверена с помощью уравнения баланса мощностей источников и приемников электрической энергии:

    В левой части уравнения слагаемые  имеют знак плюс, если направления  Э.Д.С. и токов совпадают. В противном случае они имеют знак минус. 

1.2  Анализ электрических цепей методом эквивалентных преобразований 

      Данный  метод применяется, когда в состав электрической цепи входит только один источник Э.Д.С., ток которого определяется общим сопротивлением пассивных приемников электрической энергии – Rэкв. Очевидно, что если известно Rэкв, то цепь можно представить в виде двух последовательно соединенных элементов – источника Э.Д.С. и Rэкв, а определение тока источника сводится к применению закона Ома. Процесс перехода от электрической цепи с произвольной топологией к цепи с Rэкв называется эквивалентным преобразованием. Такое преобразование и положено в основу рассматриваемого метода анализа.

      Различают четыре основных способа соединения: последовательное, параллельное, треугольником и звездой. Рассмотрим сущность эквивалентных преобразований при каждом из названных способов.

      Электрическая схема с последовательным соединением  элементов приведена на рис. 1.2.1, а. Такая цепь имеет только один контур. Через все элементы контура протекает один и тот же ток I. Согласно второму закону Кирхгофа, можно записать

R1 × I + R2 × I +¼+ Rn × I = Rэкв × I,

откуда

      Rэкв = R1 + R2 +¼+ Rn,                                         (1)

I = U / Rэкв.

Рис. 1.2.1

      Таким образом, видим, что схема из n последовательно соединенных резистивных элементов может быть заменена схемой с одним элементом (рис. 1.2.1,б), сопротивление которого определяется по (1).

      Параллельным  называют соединение, при котором  все элементы цепи присоединяются к  двум сложным потенциальным узлам и находятся под воздействием одного и того же напряжения. Схема такой цепи приведена на рис.1.2.2,а. Ток каждой к – ой ветви этой цепи определяется напряжением источника U и проводимостью G_к соответствующей ветви:

      Iк = Gк × U.                                                   (2)

      Определим правило эквивалентной замены разветвленной схемы рис. 1.2.2, а на простейшую схему рис 1.2.2, б:

или в  единицах проводимости

         (3)

Рис. 1.2.2 

      Таким образом, цепь, состоящая из n параллельных резистивных элементов, может быть заменена простейшей цепью, эквивалентное сопротивление которой определяется выражением (3).

      При параллельном соединении двух резистивных  элементов с сопротивлениями  R₁ и R₂ их эквивалентное сопротивление равно:

           (4)

а эквивалентная  проводимость

        (5)

Токи  двух ветвей при их параллельном соединении определяются по правилу деления  токов:

                        (6) 

     Соединение  трех сопротивлений в виде трехлучевой  звезды (рис. 1.2.3, а), называют соединением «звезда», а соединение, при котором элементы образуют стороны треугольника (рис. 1.2.3, б), – «треугольник».

      

      Рис. 1.2.3

      На  рис. 1.2.4, а приведена схема до преобразования. Пунктиром обведен преобразуемый треугольник. На рис. 1.2.4, б приведена та же схема после преобразования. Расчет токов в ней значительно проще.

      При преобразовании треугольника в звезду следует пользоваться выражениями:

           `(7)

Рис. 1.2.4 
 
 

      Суть  метода:

      а) Участки электрической цепи с последовательно и параллельно

соединенными  элементами заменяют одним эквивалентным  элементом. Рядом последовательно выполненных преобразований схему упрощают до элементарного вида.

      б) Применением закона Ома находится ток упрощенной схемы. Его значение определяет ток ветви, ближайшей к источнику Э.Д.С. (ток первой ветви). Это позволяет легко вычислить токи остальных ветвей. 

1.3  Анализ электрических цепей методом контурных токов 

      Метод контурных токов оказывается  полезным, когда схема электри-

ческой  цепи содержит несколько источников электрической энергии. Он позволяет  выполнить анализ такой цепи решением системы из К канонических уравнений, где К равно числу независимых контуров.

      Члены канонических уравнений снабжаются двумя индексами, причем первый индекс соответствует номеру строки, а второй – номеру столбца. Если ввести понятия  контурных токов, контурных сопротивлений и Э.Д.С., а также взаимных сопротивлений, то формально записанное каноническое уравнение соответствует уравнению, составленному по второму закону Кирхгофа.

      Рассмотрим  метод на примере схемы, приведенной  на рис. 1.3.1, а. Схема имеет два независимых контура. Для ее анализа методом контурных токов необходимо составить систему из двух канонических уравнений:

       ,           (1)

где: I₁₁, I₂₂ – контурные токи, Е₁₁, Е₂₂ – контурные Э.Д.С., R11, R22 – контурные сопротивления, R₁₂, R₂₁ – взаимные сопротивления контуров.

          На рис 1.3.1, а направление контурных токов показано стрелками в контурах. Пусть направление этих токов будет одинаковым – по часовой стрелке.

      Сопоставляя контурные токи с токами ветвей, можно показать, что

значение  контурных токов совпадает со значением действительных токов

только  во внешних ветвях:

I₁₁ = I₁,         I₂₂ = I₄.

Рис. 1.3.1

      Токи  смежных ветвей равны разности контурных  токов соседних контуров: