Задачи производства и хранения в формулировке Вагнера – Вайтина с неограниченной и с изменяющей мощностью производства

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Иркутский государственный университет 

 

Задачи  производства и хранения в формулировке

Вагнера – Вайтина с неограниченной и с изменяющей  мощностью производства 
 

 
 
 
 

ИРКУТСК – 2010

Содержание:

Введение. 3

1. Постановка задачи. 5

2. Математическая формулировка моделей. 7

2.1.   Базовые формулировки задачи храниения и производства. 7

2.1.1 ЗПХ-ИПМ. 8

2.1.2 ЗПХ-НПМ. 8

3.1. Задачи производсьва и хранения в формулировки Вагнера-Вайтина. 9

3.1.1 ВВ-НПМ. 9

3.1.2 ВВ-ИПM. 11

4. Анализ результатов. 12

5. Заключение. 13

5. Список используемой литературы 14

6. Приложение 15

 

 Введение

    Производство  – комплексная задача. Некоторые  фирмы изготавливают ограниченное количество видов продукции, другие предлагают широкий ассортимент. Но каждое предприятие использует различные  процессы, механизмы, оборудование, трудовые навыки и материалы. Для получения прибыли компания должна организовать все эти факторы таким образом, чтобы производить нужные товары наивысшего качества в нужное время с минимальными затратами. Это комплексная проблема, и для ее решения потребуется эффективная система планирования и контроля.

    В связи с тем, что потребуется  большой объем данных и множество  расчетов, система планирования и  контроля производства, вероятно, должна быть компьютеризирована. Если не использовать компьютер, то придется тратить слишком  много времени и сил на расчеты вручную, и эффективность работы компании будет поставлена под угрозу. Система планирования и контроля производства, моделируется в виде задач математического программирования. Зачастую необходимо учитывать требование целочисленности используемых переменных. Такие задачи называются задачами целочисленного программирования.

    Под задачей целочисленного программирования (ЦП) понимается задача, в которой некоторые переменные должны принимать целые значения. В том случае, когда ограничения и целевая функция задачи представляют собой линейные зависимости, задачу называют целочисленной задачей линейного программирования. ^[1] . В настоящее время разработано большое количество программных пакетов для решения задач такого типа: Optimization Toolbox, CPLEX, Xpress-MP

    В 2007 году в  США была выпущена книга «Планирование производства смешанным целочисленным программированием», где собраны работы некоторых ученых по планированию производства с помощью смешанного целочисленного программирования, которые и которая стала основным источником информации для курсовой работы.

    Цель  курсовой работы - изучение задач производства и хранения, в формулировке Вагнера-Вайтина  с ограниченной и с постоянной мощностью производства, и дальнейшее проведение вычислительного эксперимента по сравнению времени работы пакета Xpress-MP для каждой из рассматриваемых задач.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Постановка задачи

      Пусть задано    временных периодов   и следующие величины

     стоимость установки оборудования в период t;

     затраты на производство единицы  продукции в период t;

      спрос в период  ,

      затраты на хранение товара, произведенной в период .

     максимально возможный объем  производства в период .

    В задаче необходимо минимизировать затраты на производство и хранение, соблюдая все производственные ограничения, а так же ставится задача удовлетворения спроса в каждом  временном периоде.

    Производительность – это способность производства изготавливать товары и услуги. В конечном счете, она зависит от ресурсов компании – оборудования, рабочей силы и финансовых ресурсов. У каждой компании могут существовать ограничения на различные ресурсы: мощность, запас, время и т.д.

    Производственная  мощность — максимальный возможный выпуск продукции производственной единицы

    Существуют  варианты задач производства и хранения в зависимости от ограничений на мощность производства.

1. Задача с изменяющейся мощностью производства– здесь изменяется, и изменяется на протяжении всех .
2. Задача с постоянной мощностью производства– здесь , т.е. является постоянной для всех .
3. Задача с неограниченной мощностью  – если нет никаких ограничений на производство продукции в каждом из периодов, то, в отсутствие других ограничений на  общую сумму произведенной продукции, в каждый из периодов достаточна, чтобы удовлетворить спрос до последнего периода планирования.

    Рассмотрим  математические формулировки  для  моделей с  неограниченной мощностью  производства и с постоянной мощностью  производства в формулировке Вагнера-Вайтина

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. Математические формулировки моделей

    Математическая  модель описывает исследуемую систему  и позволяет выразить ее эффективность  в виде целевой функции.

2.1. Базовые формулировки задачи производства и хранения.

      2.1.1  Задача производства и хранения с изменяющей мощностью производства

    Для описания математической модели задачи производства и хранения базового вида с изменяющей мощностью (ЗПХИМ) используются следующие переменные:^[3]

      запас товара на складе в конце периода ,

      количество товара, произведенного в период ,

     , если оборудование в периоде  используется  .

     , если установка оборудования  отсутствует,  .

    Тогда базовая модель ЗПХИМ  выглядит следующим образом:

                                     (1)

                                        (2)

                                                   (3)  

                                           (4)

    В данной модели минимизируются издержки производства (1), при следующих ограничениях:

2. уравнение баланса (2) показывает, что запасы, оставшиеся с прошлого периода и объем выпущенной продукции в текущем периоде в сумме будут равны удовлетворенному спросу текущего периода и запасам, оставшимся в конце рассматриваемого периода.
3. ограничение на объем производства (3) в каждом из периодов, С_t-максимально возможный объем производства в период t.
4. Переменные x, s положительно определенны

2.1.2  Задача производства  и хранения с неограниченной мощностью производства

    Базовая модель задачи производства и хранения с неограниченной мощностью  запишется аналогично модели ЗПХИМ,  но только изменится ограничение (3) :

                                    

 

    В данной модели также минимизируются издержки производства (5), при следующих ограничениях:

1. уравнение баланса (6) показывает, что запасы, оставшиеся с прошлого периода и объем выпущенной продукции в текущем периоде в сумме будут равны удовлетворенному спросу текущего периода и запасам, оставшимся в конце рассматриваемого периода.
2. Ограничение (7), показывает, что количество товара произведенного в период t, не превышает спрос в данный период во время использования оборудования.
3. Переменные x, s положительно определенны

 
 

3.1. Модели производства и хранения в формулировке Вагнера-Вайтина

3.1.1. Модель с изменяющей мощностью производства в формулировке Вагнера-Вайтина (ВВ–ИПМ)

    Рассмотрим  ВВ-ИПМ на протяжении всех .             

    Проблема  «Вагнера-Вайтина»  – это проблема «Задачи производства и хранения»  с учетом того, что затраты на производство и хранение переменны  и удовлетворяют следующим условиям:   для , где . Эти условия означают, что производить в следующем периоде будет дешевле, нежели и произвести в текущем и хранить до следующего. Будем говорит, что задача имеет цены Вагнера – Вайтина, если коэффициенты стоимости удовлетворяют следующему неравенству:

    Определение: Проблема BB отличается от  ЗПХ условием, налагаемым на цены: для всех .

    Таким образом, после ввода ограничения  на цены, мы избавляемся от переменной . Покажем переход, используя уравнение баланса можно выразить в виде . Тогда (1) перепишется в следующем виде:

    

    где .

    Так как  для всех t, можно сделать вывод, что если оборудование в периоде используется  .(т.е. ), то запасы будут настолько низки насколько это возможно с удовлетворением спроса, не нарушая ограничения. На основания этого, можно показать, что этого достаточно, чтобы найти минимальную стоимость запасов для решения ВВ-ИМП, где минимальный запас удовлетворяет:

     . Следовательно,  для BB-ИМП ограничение принимает вид ,      

    Итоговая  математическая модель для ВВ-ИМП примет вид:

     ,                                                                  (5)

     ,                                                    (6)

     ,        ,                                                             (7)

    где