В результате последовательного  решения п частных задач на условный максимум определяют две последовательности функций:{Z_k^*(S_k-1)}  - условные максимумы и соответствующие им {x_k^*(S_k)}  - условные оптимальные управления. Указанные последовательности функций в дискретных задачах получают в табличной форме, а в непрерывных моделях - аналитически. После выполнения первого этапа (условной оптимизациии) приступают ко второму этапу - безусловной оптимизации.

         Если начальное  состояние S₀^* задано (S₀=S^*₀) , то непосредственно

         определяют максимум целевой функции

         Z₁^*(S₀) = Z_max .

         ,а затем - искомое  безусловное оптимальное управление  по цепочке

 S₀^*  –> x₀^* –> S₁^*  –> x₁^*  –> S₂^* ….. –> x_n^*  –> S_n^*   .                  (2)

         В рассмотренных  рекуррентных соотношениях предписывают начинать вычисления с последнего этапа и затем передвигаться назад до этапа 1. Такой метод вычислений известен как алгоритм обратной прогонки. Если расчеты осуществляются в естественном порядке следования этапов, то такой метод вычислений известен как алгоритм прямой прогонки.

         Приведем рекуррентные соотношения для этого случая. Уравнения состояний для прямого хода удобно записывать в виде

         S_k-1=T(S_k,x_k), k=1..n.

         Введем в рассмотрение условные максимумы показателя эффективности  за k шагов, от 1-го до k-го включительно, - величину  . Повторив приведенные рассуждения, придем к следующей системе уравнений Беллмана:

         Z₁^*(S₁)=max{f₁(S₁,x₁)},

           Z_k^*(S_k-1)=max{f_k(S_k,x_k)}+ Z_k+1^*(S_k-1),k=2,..,n    

                         

В результате решения этих уравнений получим последовательности

         Z₁^*(S₁), Z₂^*(S₂),…, Z_n^*(S_n); x₁^*  (S₁^* ), x₂^*  (S₂^* ),…, x_n^*  (S_n^* ) .

Далее определим безусловное оптимальное  управление по цепочке

         S_n^* –> x_n^*–> S_n-1^* –> x_n-1  ^* … S₁^* –> x₁^*–> S₀^* .

 

3 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ЗАМЕНЫ ЛИТЕЙНОГО ОБОРУДОВАНИЯ

 

           3.1 Математическая постановка задачи

         Пусть М = 729468 рублей – стоимость нового литейного оборудования, которое  эксплуатируется в течении t лет, причем  срок эксплуатации  1 ≤ t ≤ 6;

         При этом затраты на содержание в течение года, зависят от возраста литейного оборудования t C(t) = 0,2M*(t + 1);

         От t также зависит L(t) = M*2^-t – ликвидационная стоимость литейного  оборудования;

                   S_k – параметр состояния; 

         Z^*_k(t) – условные оптимальные затраты.

         Постановка задачи следующая.

         Литейное оборудование Ashland ст.ЛС-59 эксплуатируется в течении 6 лет, потом  продается.  Необходимо в начале каждого года принять решение сохранить оборудование или заменить его новым. Стоимость нового оборудования  M=729468руб. (v=2000д/ч). После t лет эксплуатации оборудование можно продать за L(t)=M·2^-tруб,(ликвидационная стоимость). Затраты на содержание в течении года зависят от возраста t оборудования и равны С(t)=0,2M(t+1).Определить оптимальную стратегию эксплуатации оборудования, чтобы суммарные затраты с учетом начальной покупки и последующей продажей были минимальны. 

         3.2 Вычислительная  схема задачи динамического   программирования

         Способ деления  управления на шаги естественный, по годам, t=6. Параметр состояния – возраст оборудования. P₀=0 – оборудование новое в начале первого года эксплуатации. Управление на каждом шаге зависит от двух переменных Х^С и Х^З.

         Уравнение состояний  зависит от управления:

S_k =     t + 1, если X_k = X^c;

            1, если X_k = X^з;

k = 1, 2, 3, 4, 5.

         Показатель  эффективности  k-го шага:

f_k = (X_k, t) =     145893*(t + 1), если X_k = X^c;

                        875361 – 729468*2^-t, если X_k = X^з;

k = 1, 2, 3, 4, 5.

         Пусть Z^*_k(t) – условные оптимальные затраты на эксплуатацию литейного оборудования, начиная с k-го шага до конца, при условии, что к началу k-го шага литейное оборудование имеет возраст t лет. Запишем для функций Z^*_k(t) уравнения Беллмана, заменив задачу максимизации на задачу минимизации.

Z^*_k(t)  =min    145893*(t + 1) + Z^*_k+1(t + 1), если X_k = X^c;

                       875361 – 729468*2^-t  + Z^*_k+1(1),  если X_k = X^з.

         Из определения  функций Z^*_k(t) следует Z_min = Z^*₁(0) .

         Условный оптимальный доход от продажи L(t) = M*2^-t, 1 ≤ t ≤ 6        

         Перемещение  на графике  в зависимости от принятого управления на k-ом шаге показано на рисунке 1 . 

       
 

Рисунок 1 – График зависимости от принятого  управления

         При  X^c С(t) = 145893*(t + 1), 1 ≤ t ≤ 6

         При  X^з C(t) = 875361 – 729468*2^-t , 1 ≤ t ≤ 6

 

         Проведем условную оптимизацию.

         Для проведения условной оптимизации воспользуемся графом состояний. 

           Строим  граф состояния: 

         На оси абцисс будем откладывать номер шага k, на  оси ординат –возраст t машины. Точка (k-1,t) на  плоскости соответствует началу k-го   года эксплуатации. Надо выбрать такую траекторию, при  которой затраты на эксплуатацию машины окажутся минимальными. Над каждым отрезком, соединяющим точки (k-1,t) и (k,t+1),запишем соответствующие управлению X^c затраты, а  над  отрезком ,соединяющим точки (k-1,t) и (k,t), запишем затраты , соответствующие управлению  X^з. Таким образом мы  разметим все отрезки , соединяющие точки на графике , соответствующие переходам из  любого состояния s_k-1 в состояние s_k. Проведем на  размеченном графе условную оптимизацию и получим следующую ситуацию :из каждой точки (состояния) выходит стрелка, указывающая, куда следует перемещаться на данном  шаге, если система оказалась в этой  точке, а в кружках записаны минимальные затраты на  переход из этой точки в конечное состояние.  

                          Рисунок 2 – Размеченный граф состояния

         После проведения условной оптимизации получим в точке (0,0) минимальные затраты в течении 6 лет Z_min=2950000 рублей. Далее строим оптимальную траекторию, перемещаясь из точки P₀(0,0). Получаем набор точек: {(0,0), (1,1), (2,2), (3,1), (4,2), (5,1), (6,2)}, который соответствует оптимальному управлению Х (X^C, X^C,Х^З, X^C, Х^З, X^C). Оптимальный режим эксплуатации состоит в том, чтобы заменять оборудование новым того же вида каждые 2 года. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

         В данном курсовом проекте  представлено решение задачи оптимизации сроков замены литейного оборудования для ОАО ТКЗ «Красный котельщик». Оптимизация сроков замены оборудования имеет огромное практическое применение в наше время, что показано в рассмотренном примере.

     В поставленной задаче необходимо было определить оптимальный срок замены литейного оборудования. Оптимально менять оборудование каждые 2 года. Таким образом, цель данной курсовой работы – оптимизация процесса замены литейного оборудования – была достигнута.  

 

СПИСОК  ЛИТЕРАТУРЫ

1. Карасев А.И., Кремер Н.Ш., Савельева Т.И. Математические методы и модели в планировании.-М.: Экономика, 1987.
2. Хедли Дж. Нелинейное и динамическое программирование.- М.: Мир, 1967.
3. Вентцель Е.С. Элементы динамического программирования.- М.: Наука, 1964.