Формирование портфеля ценных бумаг

Ковариация доходностей  ценных бумаг (s_ij) равна корреляции между ними, умноженной на произведение их стандартных отклонений:

                                                                          (11)

где r_ij – коэффициент корреляции доходностей i-ой и j-ой ценными бумагами;

s_i, s_j – стандартные отклонения доходностей i-ой и j-ой ценных бумаг.

Для i = j ковариация равна дисперсии акции.

     Рассматривая  теоретически предельный случай, при  котором в портфель можно включать бесконечное количество ценных бумаг, дисперсия (мера риска портфеля) асимптотически будет приближаться к среднему значению ковариации.

Графическое представление этого факта представлено на рисунке 2.1.

Рисунок 2.1 – Риск портфеля и диверсификация

     Совокупный  риск портфеля можно разложить на две составные части: рыночный риск, который нельзя исключить и которому подвержены все ценные бумаги практически в равной степени, и собственный риск, который можно избежать при помощи диверсификации. При этом сумма вложенных средств по всем объектам должна быть равна общему объему инвестиционных вложений, т.е. сумма относительных долей в общем объеме должна равняться единице.

     Проблема  заключается в численном определении  относительных долей акций и  облигаций в портфеле, которые  наиболее выгодны для владельца. Марковиц ограничивает решение модели тем, что из всего множества «допустимых» портфелей, т.е. удовлетворяющих ограничениям, необходимо выделить те, которые рискованнее, чем другие. При помощи разработанного Марковицем метода критических линий можно выделить неперспективные портфели. Тем самым остаются только эффективные портфели.

     Отобранные  таким образом портфели объединяют в список, содержащий сведения о  структуре портфеля из отдельных ценных бумаг, а также о доходе и риске портфелей.

     Объяснение  того факта, что инвестор должен рассмотреть только подмножество возможных портфелей, содержится в следующей теореме об эффективном множестве: «Инвестор выберет свой оптимальный портфель из множества портфелей, каждый из которых обеспечивает максимальную ожидаемую доходность для некоторого уровня риска и минимальный риск для некоторого значения ожидаемой доходности». Набор портфелей, удовлетворяющих этим двум условиям, называется эффективным множеством.

     На  рисунке  представлены недопустимые, допустимые и эффективные портфели, а также линия эффективного множества.

Рисунок 2.2 – Допустимое и эффективное  множества

     В модели Марковица допустимыми являются только стандартные портфели (без  коротких позиций). Использую более  техническую терминологию, можно  сказать, что инвестор по каждому активу находится в длинной позиции. Длинная позиция – это обычно покупка актива с намерением его последующей продажи (закрытие позиции). Такая покупка обычно осуществляется при ожидании повышения цены актива в надежде получить доход от разности цен покупки и продажи.

     Из-за недопустимости коротких позиций в  модели Марковица на доли ценных бумаг  в портфели накладывается условие  неотрицательности. Поэтому особенностью этой модели является ограниченность доходности допустимых портфелей, т.к. доходность любого стандартного портфеля не превышает наибольшей доходности активов, из которых он построен.

     Для выбора наиболее приемлемого для  инвестора портфеля ценных бумаг  можно использовать кривые безразличия. В данном случае эти кривые отражают предпочтение инвестора в графической форме. Предположения, сделанные относительно предпочтений, гарантируют, что инвесторы могут указать на предпочтение, отдаваемое одной из альтернатив или на отсутствие различий между ними.

     Если  же рассматривать отношение инвестора  к риску и доходности в графической форме, откладывая по горизонтальной оси риск, мерой которого является среднеквадратическое отклонение (s_p), а по вертикальной оси – вознаграждение, мерой которого является ожидаемая доходность (r_p), то можно получить семейство кривых безразличия.

     Располагая  информацией об ожидаемой доходности и стандартных отклонениях возможных  портфелей ценных бумаг, можно построить  карту кривых безразличия, отражающих предпочтения инвесторов. Карта кривых безразличия – это способ описания предпочтений инвестора к возможному риску полностью или частично потерять вкладываемые в портфель ценных бумаг деньги или получить максимальный доход.

     Различные позиции инвесторов по отношению  к риску можно представить  в виде карт кривых, отражающих полезность вложений в те или иные инвестиционные портфели (рис. 2.3). Каждая из указанных на рисунке 2.3 позиций инвестора к риску характерна тем, что любое уменьшение им риска сказывается на сокращении доходности и стандартном отклонении каждого из портфелей. И поскольку портфеля включает в себя набор различных бумаг, то вполне объяснимым является зависимость его от ожидаемой доходности и стандартного отклонения его от ожидаемой доходности и стандартного отклонения каждой ценной бумаги, входящей в портфель.

     

 
Рисунок 2.3 – Карты кривых безразличия инвесторов

     Инвестор  должен выбирать портфель, лежащий  на кривой безразличия, расположенной  выше и левее всех остальных кривых. В теореме об эффективном множестве  утверждается, что инвестор не должен рассматривать портфели, которые не лежат на левой верхней границе множества достижимости, что является ее логическим следствием. Исходя из этого, оптимальный портфель находится в точке касания одной из кривых безразличия самого эффективного множества. На рисунке 2.4 оптимальный портфель для некоторого инвестора обозначен O^*.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Определение кривой безразличия клиента является нелегкой задачей. На практике ее часто  получают в косвенной или приближенной форме путем оценки уровня толерантности  риска, определяемой как наибольший риск, который инвестор готов принять для данного увеличения ожидаемой доходности.

     Задача  модели заключается в том, чтобы  показать, как поставленные цели достижимы  на практике.

     2.2 Модель Блека

     Модель  Блека аналогична модели Марковица, но в отличие от последней в ней отсутствует условие неотрицательности на доли активов портфеля. Это означает, что инвестор может совершать короткие продажи, т.е. продавать активы, предоставленные ему в виде займа. В этом случае инвестор рассчитывает на снижение курса ценной бумаги и планирует вернуть заем теми же ценными бумагами, но приобретенными по более низкому курсу.

Вследствие отсутствия ограничений на доли активов в портфеле потенциальная прибыль инвестора не ограничена максимальной доходностью одного из активов, входящих в портфель.

     2.3 Индексная модель Шарпа

     В 1960-х годах Уильям Шарп первым провел регрессионный анализ рынка акций  США. Для избежания высокой трудоемкости Шарп предложил индексную модель. Причем он не разработал нового метода составления портфеля, а упростил проблему таким образом, что приближенное решение может быть найдено со значительно меньшими усилиями. Шарп ввел b-фактор, который играет особую роль в современной теории портфеля.

, (12) 

где s_iM – ковариация между темпами роста курса ценной бумаги и темпами роста рынка;

s²_M – дисперсия доходности рынка.

     Показатель  β характеризует степень риска бумаги и показывает, во сколько раз изменение цены бумаги превышает изменение рынка в целом. Если β>1, то данную бумагу можно отнести к инструментам с повышенной степенью риска, т.к. ее цена движется в среднем быстрее рынка. Если β<1, то степень риска этой бумаги относительно низкая, поскольку в течение периода глубины расчета ее цена изменялась медленнее, чем рынок. Если β<0, то в среднем движение этой бумаги было противоположно движению рынка в течение периода глубины расчета.

      В индексной модели Шарпа используется тесная корреляция между изменением курсов отдельных акций. Предполагается, что необходимые входные данные можно приблизительно определить при помощи всего лишь одного базисного фактора и отношений, связывающих его с изменением курсов отдельных акций. Как правило, за такой фактор берется значение какого-либо индекса. Зависимость доходности ценной бумаги от индекса описывается следующей формулой:

       ,          (13)

где r_i – доходность ценной бумаги i за данный период;

   r_I – доходность на рыночный индекс I за этот же период;

  a_iI – коэффициент смещения;

  b _iI – коэффициент наклона;

  e _iI – случайная погрешность.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

      3 ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ

     В данной главе будет разобрана программная часть для моделирования конкретной задачи формирования инвестиционного портфеля и ее решения.

     Так как наша цель – выбор одного из программных средств, которое бы могло реализовать и решить задачу формирования портфеля ценных бумаг, то в данной ситуации этим программным средством выступит приложение MS Excel.

     3.1 АЛГОРИТМ РАБОТЫ ПРОГРАММЫ

     1-й  шаг. Имеется информация о ценах на ценные бумаги (рис.1), значения доходности по ним рассчитывались по формуле:

     Доход = (рис. 2).

     Рис. 1

     Рис. 2

     2-й  шаг. Рассчитывается средний доход по каждой из ценных бумаг – (рис. 3).

     Рис. 3

     3-й  шаг. Находится ковариация годового дохода от ценных бумаг i и j - (рис. 4).

     Рис. 4

     4-й  шаг. Задаются в формах ограничения: на ожидаемый доход ( ) и на сумму средств ( ), которые можно вложить в одну ценную бумагу (рис. 5).

     Рис. 5

     5-й  шаг. Осуществляется оптимизация с помощью надстройки Поиск решения (рис. 6).

     Рис. 6

     Целевая ячейка – это целевая функция, т. е. риск портфеля ( ), которую мы оптимизируем (рис. 7).

     Рис. 7

     Изменяемые  ячейки – доли вложений в каждую бумагу портфеля, которые и являются решением задачи.

     Далее следуют ограничения.

     Первое  ограничение наложено на доли вложений в каждую ценную бумагу, которые  были указаны на четвертом шаге.

     Второе  ограничение означает, что вложение в ценную бумагу не может быть меньше нуля – .

     Третье  ограничение показывает, что сумма  вложений в ценные бумаги должна быть равна единице –  .

     Четвертое ограничение говорит о том, что  ожидаемый доход портфеля (рис. 8) должен быть не меньше той величины, которую мы указали на четвертом шаге.