Елементи теорії корисності для визначення типів людей з ставленням до ризику

ВСТУП

Функціонуючи в умовах ринку, суб’єкт господарювання в  кожний момент часу поставлений в  умови коли від нього вимагається  прийняти певне рішення: розробити  шлях досягнення певної мети. І оскільки детермінованих ситуацій в економіці  практично не існує, такий підприємець  не може на 100% бути впевненим, що обраний  ним шлях приведе до поставленої  мети, тобто підприємець постійно стикається із ситуацією невизначеності.

Проблема раціонального  вибору є однією з головних економічних  задач. Її постійно розв’язують основні  суб’єкти економіки — виробники та споживачі. Виробники намагаються найвигідніше вкласти капітал у виробництво товарів, які приносять дохід. Споживачі бажають придбати продукцію з високою споживчою цінністю та за прийнятною ціною. Кожна з цих задач розв’язується в умовах ризику. Результати рішень залежать від випадкових величин, які характеризуються імовірнісними функціями розподілу. Для того, щоб порівнювати їх ефективність, необхідно вміти порівнювати функції розподілу ефективності. Для задач прийняття рішень в умовах ризику та невизначеності принцип оптимальності вибору часто описується за допомогою функції корисності.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Елементи теорії корисності для визначення типів  людей з ставленням до ризику.

Корисність виражає ступінь задоволення особи від споживання товару або виконання будь-якої дії. В економічному аналізі корисність часто застосовується для того, щоб описати пріоритет при ранжуванні наборів споживчих товарів та послуг. Основним припущенням економічної теорії є припущення про те, що людина завжди робить раціональний вибір.

Поняття функції корисності дозволяє зіставити споживчий ефект  від купівлі (продажу) різних, навіть фізично несумісних, товарів (ефект  від купівлі однієї сорочки й  однієї книги). Корисність розглядається  як певним чином узагальнені втрати чи виграші, коли всі цінності приведені  до однієї шкали.

Корисність вимірюють  в довільних одиницях, що називаються  одиницями корисності, які можна  пов’язати з іншими одиницями, наприклад, грошовими. Цей зв’язок і визначає величину корисності для особи, яка  приймає рішення. Людина завжди обирає той варіант, корисність якого з  її точки зору максимальна.

Корисність W — певне число, яке приписується індивідом кожному можливому результату. Корисність виражає ступінь задоволення, яке одержує суб’єкт у результаті споживання товару або послуги.

Функція корисності (функція  Неймана-Моргенштерна) U/W — показує корисність, яку приписує особа, яка приймає рішення (ОПР), кожному можливому результату залежно від ставлення до ризику.

Очікувана корисність події  — сума добутків імовірностей виникнення даної події (рi) на значення корисності (Wi) її:

 

Вибір ОПР (особи, яка приймає  рішення) в умовах ризику формалізується за допомогою поняття втрати, при  цьому ОПР виявляє свої індивідуальні смаки й схильність до ризику. Рішення її може бути знайдене на основі наступного алгоритму:

— привласнюються довільні значення корисності виграшу для кращого й гіршого наслідків, причому гіршому із наслідків ставиться у відповідність менше значення корисності;

— гравцеві надається вибір: одержати певну гарантовану суму W, що знаходиться в інтервалі  між гіршим (s) і кращим (S) значеннями виграшів s < W < S; взяти участь у  грі (лотереї), тобто одержати з імовірністю (1-р) найбільшу грошову суму S і  з імовірністю р одержати найменшу грошову суму s, при цьому імовірність варто змінювати (зменшувати або підвищувати) доти, доки ОПР не стане байдужою до вибору між гарантованою сумою й грою.

Функція корисності має вигляд:

 

Безумовний грошовий еквівалент (БГЕ) — максимальна сума грошей, яку ОПР готовий заплатити за участь у грі (лотереї), або мінімальна сума грошей, за якої він готовий відмовитися від гри.

Очікувана грошова оцінка (ОГО) — середній виграш у грі.

Висновок. Якщо БГЕ = ОГО ⇒ ОПР — об’єктивіст. Якщо БГЕОГО⇒ ОПР — суб’єктивіст (якщо БГЕ>ОГО⇒ ОПР — схильний до ризику; якщо БГЕ<ОГО⇒ ОПР — не схильний до ризику).

Аксіоми раціональної поведінки наведено у праці Дж. Фон Неймана та О. Моргенштерна. За умови виконання цих аксіом автори довели теорему про існування деякої функції, що регулює раціональний вибір, — функції корисності.

Аксіома 1 (повноти). Коли підприємець стикається з двома будь-якими рядами подій, він завжди може сказати, який йому більше до вподоби, або йому байдуже, який із рядів подій вибрати. Ця аксіома записується у вигляді:

• X ≥ Y (X більше до вподоби, ніж Y, або байдуже);
• X ≈ Y (X і Y рівноцінні);
• X > Y (X більше до вподоби, ніж Y).

Завдяки аксіомі повноти  споживач наділяється здатністю  класифікувати (розрізняти) ряди подій, тобто вмінням порівнювати всі  альтернативи.

Аксіома 2 (транзитивності). Перевага серед різних рядів подій послідовна, тобто, якщо ряд X > Y, Y > Z, то X > Z. Завдяки аксіомі транзитивності виключається мінливість смаків споживача.

Припустимо, що споживач віддає перевагу ряду подій f над рядом d, а ряду d над рядом b, ряду b над рядом подій f.

Отже, щоб господарювання було раціональне, підприємець повинен мати усталений  смак, інакше він ніколи не зможе  зробити правильний вибір.

Аксіома 3 (неперервності). В умовах аксіоми транзитивності відносно альтернатив X, Y, Z припустимо, що з імовірністю 1 індивід може одержати Y, з імовірністю p — X, а з ймовірністю (1 – p) — Z. Тоді існує таке p, за якого ці дві лотереї для індивіда рівноцінні.

Аксіома 4 (незалежності). Нехай існують блага або товари X і Y, які, на думку індивіда, однакові, та дві лотереї, які відрізняються лише тим, що одна містить X, а друга — Y, тоді ці дві лотереї для індивіда однакові.

Аксіома 5 (нерівних імовірностей). Якщо індивіду запропонувати дві лотереї, які дають однаковий виграш з різною ймовірністю, то він обирає ту, ймовірність виграшу якої більша.

Аксіома 6 (складеної лотереї). Коли призом однієї лотереї є білет іншої лотереї, то індивід приймає рішення лише з міркувань ймовірностей виграшу кінцевого призу.

Для визначення корисності використовують поняття лотереї. Для  цього експерту пропонують порівняти  дві альтернативи:

1. значення показника X;
2. лотерею: отримати з імовірністю або з ймовірністю — .

Величину ймовірності  змінюють поступово до такої величини від 0 до 1, доки, на думку експерта, значення показника і лотерея стануть еквівалентними. Тобто всі можливі результати розміщують за зростанням. Корисність найгіршого результату оцінюється як 0, а найкращого — 1 (або як 100): .

Для того щоб оцінити проміжний  результат, особі пропонують взяти  участь у лотереї. Значення , за якого особа відмовиться від гарантованого результату на користь участі у лотереї, беруть для розрахунку корисності: . Тобто із множини значень відомого показника експерт повинен розрахувати два: і — найбільш пріоритетне і найменш пріоритетне, для яких не гірше за , а не гірше за .

Корисність варіанту визначається ймовірністю — за якої експерту байдуже що обирати: гарантовано або лотерею , де і — вектори, найбільш і найменш приоритетні у порівнянні з . Наприклад, маємо два варіанти:

1. отримати гарантовано 100 грн;
2. узяти участь у лотереї: або одержати 50 грн з імовірністю 0,4, або отримати 150 грн з відповідною ймовірністю 0,6.

Для кожної людини буде своє значення ймовірності, за якої їй байдуже, що обирати: гроші гарантовано або  участь у лотереї. Ймовірність перетворюють на корисність, помножуючи на 100, якщо корисність визначається за 100-бальною шкалою, або помножуючи на 10, коли за 10-бальною.

Нехай лотерея  приводить до виграшів (подій) із відповідними ймовірностями і відповідними корисностями .

Математичне сподівання виграшу, тобто  очікуваний виграш знаходять за формулою:

. 

Математичне сподівання корисності, тобто очікувану корисність знаходять  за формулою:

. 

Корисність результатів збігається з математичним сподіванням корисності результатів.

Взаємозв’язок ризику із функціями  корисності визначається поняттям детермінованого  еквіваленту. Детермінований еквівалент лотереї — це гарантована сума , отримання якої еквівалентно участі у лотереї і гарантує особі таку саму корисність, як і участь у ризикованій справі, тобто

.

Особу, що приймає рішення, називають несхильною до ризику, якщо для неї більш пріоритетною є  можливість отримати гарантовано сподіваний виграш у лотереї, ніж приймати в  ній участь.

З попереднього відомо, що корисність лотереї збігається з математичним сподіванням корисності її випадкових результатів.

Отже, умова несхильності до ризику приймає вид

U(M[x(w)])>M[U(x(w))],    

де М( ) – символ (оператор) математичного сподівання,

     х – випадкова  величина, що залежить від елементарної  події w,

тобто корисність сподіваного доходу більше сподіваної корисності. ОПР не схильна до ризику тоді і тільки тоді, коли її функція корисності увігнута.

Для функції корисності можна  розрахувати премію за ризик в лотереї (p(х)) як різницю між очікуваним виграшем і детермінованим еквівалентом:

. 

За своїм фізичним змістом  премія за ризик (надбавка за ризик) — це сума в одиницях виміру показника X, якою суб’єкт управління згоден поступитися із середнього виграшу, щоб уникнути ризику, пов’язаного з лотереєю, і отримати гарантований доход без ризику.

За своєю суттю премія за ризик (надбавка за ризик) – це сума (в одиницях виміру критерію х), якою суб’єкт керування (особа, що приймає  рішення) згоден знехтувати (поступитися  нею) з середнього виграшу (тобто  ця сума менша, ніж математичне сподівання виграшу), за те, щоб уникнути ризику, пов’язаного з лотереєю.

Якщо особа, що приймає  рішення зіштовхується з несприятливою  для неї лотереєю (тобто лотереєю, що менш пріоритетна ніж стан, в  якому вона у даний час знаходиться), то природно виникає питання, скільки вона заплатила б (в одиницях виміру критерію х) за те, щоб не брати участі у цій лотереї (уникнути її).

Страхова сума (CC) — це величина детермінованого еквівалента з протилежним знаком:

. 

Умова схильності до ризику набуває такого вигляду:

, 

тобто корисність сподіваного доходу менше сподіваної корисності. ОПР  схильна до ризику тоді і тільки тоді, коли її функція корисності опукла, а графік розгорнутий дзвоном  униз. Премія за ризик у випадку  схильності до ризику показує, скільки  коштів інвестор може додатково отримати або втратити, ризикуючи.

Умова байдужості до ризику набуває такого вигляду:

. 

Для зростаючих функцій корисності премією  (х) за ризик в лотереї L є різниця між сподіваним виграшем та детермінованим еквівалентом

(х) = М[x(w)]- .

Страховою сумою (СС) називають  величину детермінованого еквівалента  з протилежним знаком, тобто 

СС(х)= -

= -U^-1(M[U(x(w))]),      

Позначимо U (X) — корисність грошової суми x з точки зору індивіда.

Принцип Неймана — Моргенштерна. Індивід буде робити так, щоб максимізувати очікуване значення корисності.

На рис. 1 показано, як графічно можна зобразити ставлення особи до ризику. Крива, що задає рівень корисності (на осі ординат), котрий може бути досягнутий за відповідним рівнем доходу (відкладеного в графіку на осі абсцис). ОПР несхильний до ризику тоді і тільки тоді, коли U′′(x) < 0. Ця крива ілюструє несхильність особи до ризику.

Рис. 1. Функція корисності особи, що несхильна до ризику

 

Головна властивість графіка  — опуклість, тобто приріст корисності грошей зменшується зі збільшенням  їхньої кількості.

ОПР схильний до ризику тоді і тільки тоді, коли функція корисності має вигляд U′′(x) > 0 (рис. 2).

 

Рис.2. Функція корисності особи, що схильна до ризику

 

ОПР байдужа до ризику тоді і тільки тоді, коли її функція корисності лінійна, а графік — пряма. Премія за ризик у випадку байдужості до ризику завжди дорівнює нулю.

 

 

 

Задача 1

Виробнича програма ремонтного цеху автобази – Х виробів за рік (рівномірно розподілено за місяцями). На один виріб витрачається матеріалу  А - кг, матеріалу Б - кг, матеріалу В - кг. Ціна матеріалів за 1 кг на початок року відповідно. Через шість місяців прогнозуються зміни внутрішнього і зовнішнього середовища фірми (фактори ризику). Зростуть матеріальні витрати на виріб А на кг, зменшаться витрати матеріалу В на кг. Також ціна на 1 кг сировини Б зросте на грн., а на 1 кг сировини А зменшиться на 5 грн.