Законы Кеплера и негэнтропийность вселенной

математическая  терминология почти не была разработана. Поэтому значение

появившейся уже  весной 1616 г. на книжной ярмарке во Франкфурте книги под

названием: «Ausszug auss der uralten Messekunst Archimedis», т. е.

«Извлечения из древнего искусства измерения Архимеда...», состоит не только в

привлечении внимания к возможностям математических методов  широких слоев

населения, но и  в выполненной здесь большой  работе по созданию немецкой

математической  терминологии. Этим самым, а также  изданием нескольких

трактатов астрономического содержания на родном языке (и подготовкой

нескольких  рукописей, оставшихся неизданными) Кеплер внес существенный вклад

в развитие языка  немецкой естественнонаучной литературы.

Книга «Новая стереометрия»  состояла из трех частей. В предисловии  Кеплер

пишет: «Поскольку... винные бочки связаны с кругом, конусом и цилиндром —

фигурами правильными  — тем самым они поддаются  геометрическим измерениям,

принципы которых стоит привести в начале настоящего исследования, как они

установлены Архимедом, конечно лишь настолько, насколько  этого достаточно для

удовлетворения  ума, любящего геометрию, а полные и  во всех частях строгие

доказательства  следует искать в самих книгах Архимеда, если кто не убоится

тернистого  пути их чтения. Впрочем, на некоторых  мостах, которые не затронул

Архимед, нужно  остановиться поподробнее, чтобы и  более ученые люди нашли чем

воспользоваться и чему порадоваться». Таким образом  Кеплер подчеркивает, что

в силу практической направленности своего труда он не задерживается на

положениях  своего великого предшественника, отсылая  более требовательных

читателей к  первоисточникам, но здесь же он говорит  и о том, что выходит за

пределы достигнутого Архимедом.

    

Рис. 6

 

Первая часть  сочинения, озаглавленная «Стереометрия  правильных кривых тел», в

свою очередь  состоит из двух частей, в первой из которых — «Архимедовой

стереометрии» Кеплер приводит 16 теорем, известных  еще Архимеду, но

различие в  подходе Кеплера и подходе Архимеда к решению соответственных задач

становится  заметным с самого начала. Остановимся  на примере с площадью круга.

Произведение  Архимеда «Измерение круга» начинается следующим предложением:

«Всякий круг равен  прямоугольному треугольнику, причем радиус круга равен

одной из прилегающих  к прямому углу сторон, а периметр — основанию

треугольника». Это предложение Архимед доказывает косвенно (методом

исчерпывания), показывая с помощью вписанных  и описанных правильных

многоугольников, что площадь круга будет не больше и не меньше площади

указанного  треугольника.

Кеплер рассуждает так: «Архимед пользуется косвенным  доказательством,

приводящим  к невозможности, о чем многие и многие писали. Мне же кажется, что

смысл этого [доказательства] следующий: окружность круга содержит столько же

частей, сколько  точек, именно, бесконечное число. Каждую из них рассмотрим

как основание  некоторого равнобедренного треугольника со стороной АВ, и

таким образом  в площади круга окажется бесконечное  множество треугольников,

соединенных вершинами  в центре А. Пусть, далее, окружность круга вытянута в

прямую, и пусть  ей равна ВС, а АВ к ней перпендикулярна (см. Рис. 6). Тогда

основания всех этих бесчисленных треугольников, или  секторов, будут

представляться  расположенными друг за другом по прямой ВС; пусть одно из

таких оснований  будет BF, и какое-нибудь равное ему  — DЕ. Соединим точки F,

Е, D с А. Таких  треугольников ABF, АDЕ над прямой ВС получится столько же,

сколько секторов в площади круга, и их основания BF, DЕ и общая высота АВ

будут такие  же, как у секторов; следовательно, все эти треугольники ABF, АDЕ

и т. д. будут  равновелики (между собой) и каждый из них будет равновелик

соответствующему  сектору круга. А значит, и все  вместе эти треугольники,

имеющие основания на линии ВС, т. е. треугольник ABC, всеми ими

составленный, будет равновелик сумме всех секторов круга, т. е. составленной

ими площади  круга. Это самое и имеет в  виду архимедово приведение к

нелепости». Архимед  действительно мог иметь это  в виду. Но учи­тывая, что

между элементарным круговым сектором и элементарным треугольником  имеется то

различие, что  дуга в основании сектора и  радиус круга будут при ко­нечном n

всегда больше соответственных линий элементарного  треугольника, для точности

вывода следует  показать, что разность между площадями круга и треугольника

при увеличении числа делений может стать  действительно меньше любого данного

сколь угодно малого числа (т. е. что эта разность представляет собой

бесконечно  малое). Архимед своими рассуждениями  это показывает, Кеплер —

нет. У Кеплера  хорды окружности переходят в  точки, каждая из которых

продолжает  рассматриваться как основание  некоторого равнобедренного

треугольника. Получается, что площадь круга  рассматривается Кепле­ром как

какая-то сумма  всех радиусов, а треугольника — как совокупность точек всех

прямых, выходящих  из одной из его вершин.

Излагая задачи из сочинений Архимеда, Кеплер не пользуется архимедовыми

методами доказательств, а применяет суммирование бесконечно боль­шого числа

«актуализированных» бесконечно малых. Кеплер говорит, что шар «как бы»

содержит бесконечно много конусов, вершины которых  лежат в центре, а

основания —  на поверхности шара, и находит  таким образом его объем. Вообще

из его неоднократного «как бы» («veluti») видно, что он не стремится дать

точное доказательство, а апеллирует только к наглядности. В некоторых местах

Кеплер отказывается от доказательств Архимеда, называя  их чрезвычайно

глубокими, но трудными для понимания, и вместо них приводит рассуждения,

которые устанавливают «вероятность» того или другого предложения из

соображений индуктивного или интерполяционного характера.

Так Кеплеру  удалось преодолеть недостатки метода исчерпывания древних. Ему,

разумеется, не было известно содержание архимедового «Послания к

Эратосфену», обнаруженного только в 1906 г. Из «Послания» становит­ся ясно,

что и Архимед  пользовался инфинитезимальньми соображениями, довольно близкими

к кеплеровым.

Кеплер, как  его современник Кавальери и  другие более поздние математики XVII

в. (например, Паскаль), часто употреблял выражение «Summa omnium» — «сумма

всех» (сумма  всех радиусов-векторов, сумма всех ординат), которое выполняло

тогда роль нашего термина «интеграл». Кстати, как  известно, знак интеграла

(удлиненная  буква S) был введен Лейбницем  в конце XVII в. именно для

сокращенной записи выражения «Summa omnium».

Во второй половине первой части своей работы — в  «Дополнениях к Архимеду» —

Кеплер показывает, что его способ оказывается очень  удобным для решения

многих новых  задач. Так, в теореме 18, например, он легко устанавливает, что

объем тора равен  объему цилиндра, основанием которого служит меридиональное

сечение тора, а  высотой — длина окружности, описываемой  центром образующего

тор круга. Кеплер доказывает это так: меридиональными  сечениями тор

разбивается на бесконечно большое число кружочков, толщина которых у внешнего

края тора больше, чем у внутреннего, но толщина  кружочка в центральной части

равна среднему арифметическому толщин у краев. Поэтому Кеплер при­нимает, что

объем такого кружочка равен объему цилиндра, высота которого равна толщине

центральной части  кружка, а в основании лежит  образующий тор круг. При этом

тор и цилиндр, о которых говорится в условии  теоремы, разбиваются на равное

число равновеликих частей, этим и доказывается теорема. В следующем, более

сложном примере  определяется объем «яблока». Так  называет Кеплер тело,

образуемое  сегментом, большим, чем полукруг, при  его вращении вокруг хорды.

Остроумным  перераспределением деформированных  без изменения объема долей

«яблока», образованных по одному способу меридиональными сечениями данного

тела вращения, проходящими через его ось, так  называемую хорду сегмента, а по

другому — тонкими  концентрическими цилиндрическими  слоями, имеющими осью

хорду сегмента и развернутыми в прямоугольники, Кеплер получает тело,

представляющее  собой «цилиндрическое копыто»  — цилиндрический сегмент,

основанием  которого является образующий «яблоко» сегмент, а высота равна

длине окружности экватора данного тела вращения.

Рассмотрев  в теоремах 18—22 вопросы о нахождении объемов тора, «яблока» и

«лимона» («лимоном»  названа тело, образуемое вращением  сегмента, меньшего,

чем полуокружность, вокруг хорды), Кеплер находит далее  объемы и других тел,

получаемых  при вращении различным образом  расположенных отрезков дуг

конических  сечений — эллипса, параболы и  гиперболы. Всего сам Кеплер

насчитывает 92 формы таких тел, многим из которых  он приписывает меткие

названия: «айва», «слива», или «олива», «земляника», «груша» и т. д.

Вторая часть  его книги, названная «Специальная стереометрия австрийской

бочки», начинается рассуждением о геометрической форме  бочек. Он указывает,

что в первом приближении бочку можно рассматривать  как цилиндр, или как два

усеченных конуса, сложенных большими основаниями. Более  точно форма бочек

соответствует среднему слою либо лимона, образованного сегментом круга, либо

сливы, образованной частью эллипса, либо параболического  веретена,

остающемуся после  отсечения, равных частей с обеих  сторон.

Далее Кеплер рассматривает  зависимость между объемом бочек и длиной

замеряемого отрезка  и отношения большего диаметра (в  среднем сечении) к

меньшему. Но главный  интерес для нас представляет то, что Кеплер занимается

здесь исследованием  формы конусов, цилиндров, а также  бочек, обладающих

наибольшей  вместимостью при наименьшей затрате на них материала, что приводит

его уже к  задачам другого важнейшего раздела  исчисления бесконечно  малых —

дифференциального  исчисления: к определению максимумов и изопериметрической

задаче. Кеплер правильно отмечает основной признак максимума в том, что, как

он пишет, разница  между самим максимумом и непосредственно  предшествующими

или последующими значениями незаметна.

В третьей части  книги («Употребление всей книги  о бочках») Кеплер дает

практические  рекомендации по измерению объемов бочек, пытается найти способ

для определения  с помощью мерного стержня  «отношения пустой части к остатку

жидкости при  лежащей бочке», но в общем виде решение этой задачи ему не

удается. Хотя инфинитезимальные  работы Кеплера фактически открыли  новую

эпоху, новый период в развитии математики, они не были сначала правильно

оценены многими  его современниками. Некоторые математики резко выступили

против его  «нестрогих» методов определения  объемов, против его метода

суммирования  бесконечно малых. Ученик Виеты шотландец А. Андерсон уже через

год после появления  «Стереометрии» издал специальное сочинение «В защиту Архимеда», где обвинял Кеплера в оскорблении памяти великого ученого. Они не