Закон всемирного тяготения

      На  фоне впечатляющих успехов современной физики, гравитация остается самым загадочным природным явлением. Величие гравитации заключается в том, что ей подчиняется все существующее на свете, начиная от самой вселенной и кончая ее составляющими элементами. Впервые наиболее полно это и было осознанно великим английским ученым Исааком Ньютоном (1643...1727). В 1687 г. Ньютон опубликовал свой знаменитый труд «Математические начала натуральной философии», раскрывший человечеству впервые теории движения планет и основы гравитации. Закон всемирного тяготения Ньютона, который стал первым научным законом, действующий во всей Вселенной гласит: каждые две частицы материи притягивают взаимно друг друга, или тяготеют друг другу, с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорционально квадрату расстояния между ними:

       (1)

      Современники  Ньютона не сразу осознали величие  гравитации. Христиан Гюйгенс, которого сам Ньютон называл великим ученым писал: «Мысль Ньютона о взаимном притяжении, я считаю нелепой и удивляюсь, как человек подобно Ньютона, мог сделать столь трудных исследований вычислений, не имеющих в основании ничего лучшего, чем эта мысль».

      Мысль о том, что небесные тела обладают свойством притягивать, высказывали ранее до Ньютона Николай Кузанский, Леонардо да Винчи, Коперник и Кеплер. «Тяжесть есть взаимная склонность между родственными телами, стремящими слиться, соединиться воедино... В какое место мы ни поместили бы Землю, тяжелые тела вследствие природной им способности будут всегда двигаться к ней... Если бы в каком-нибудь месте мира находились два камня на близком расстоянии друг от друга и вне сферы действия какого бы ни было родственного им тела, то эти камни стремились бы соединиться друг с другом подобно двум магнитам...» – писал в своей книге «Новая астрономия» Кеплер. Гениальные высказывания Кеплера были лишь только началом большого пути, которое стоило еще преодолеть. Из множества исследователей этот трудный путь суждено было пройти Ньютону.

      Триумфальному шествию закона всемирного тяготения  предшествовал нелегкий период его  становления. К идее всемирного тяготения  несколько раньше Ньютона пришел Роберт Гук (1635...1703). Между Гуком и  Ньютоном шел долгий спор о приоритете в открытии закона всемирного тяготения. В отличие от высказываний Гука, Ньютон разработал математическую теорию тяготения и доказал численными методами действие закона тяготения. Взгляды на гравитацию своих предшественников Ньютон отобразил одной формулой (1), которая является математической моделью гравитационного взаимодействия двух материальных тел.

      После смерти Исаака Ньютона (1727 г.) закон  всемирного тяготения подвергся  новым испытаниям. Последним серьезным  возражением против закона всемирного тяготения считают публикацию французского математика и астронома Алексиса-Клода Клеро в 1745 г. Некоторые детали вычисленной им орбиты Луны, по его мнению, требуют исправления закона всемирного тяготения.

      Одной из важнейших проблем А. Клеро  считал теорию движения Луны на основе закона всемирного тяготения Ньютона, точнее – исследование того неравенства, «которое получило у Ньютона наиболее темное развитие, именно, движение лунного перигея». Оригинальный самостоятельный путь исследований А. Клеро приводит к тому же значению, которое получил в свое время сам Ньютон, расходившееся с наблюдаемыми данными почти в два раза. К таким же выводам пришел независимо другой исследователь Жан Лерон Даламбер (1717...1783). Он, как и А. Клеро пришел к выводу, что под действием ньютонова притяжения перигей орбиты Луны должен был завершать одно обращение за 18 лет, а не за 9 лет, как происходит в действительности.

      Независимо  друг от друга А. Клеро и Ж. Даламбер, занимающиеся исследованием в области  ньютоновской механики и теории тяготения, пришли к одинаковому выводу о том, что теория Ньютона не способна объяснить движение перигея Луны и требует внесения поправок. Такой путь подсказал еще сам Ньютон.

      Небольшая поправка А. Клеро формы всемирного закона тяготения Ньютона была представлена в следующем виде:

       (2)

      где M и m – массы двух тел;

      R – расстояние между ними;

      γ – гравитационная постоянная;

      n – n > 2 (например, n = 3, n = 4);

      α – малая величина, подбираемая опытным путем.

      Высказывание  Ж. Даламбера также свидетельствует  о необходимости дополнительного  члена: «Луна притягивается к  Земле еще другой, небольшой по величине силой, действующей не по закону обратной пропорциональности квадратам  расстояний».

      Против  вывода А. Клеро и Ж. Даламбера  выступил известный французский  естествоиспытатель Жорж Бюффон (1707...1783). Он своим авторитетом спас формулу  Ньютона от коррекции, заявив, что  нам предлагают нечто произвольное, вместо того, чтобы воспроизводить истину». По его мнению после первого изменения впоследствии могли бы беспрепятственно возникнуть и последующие члены. «Всякий физический закон лишь потому является законом, что его выражение обладает единственностью и простотой» – заявил Ж. Бюффон.

      До  настоящего времени считают, что Клеро перепроверил свои результаты и обнаружил ошибку. С этой точкой зрения мы не можем согласиться. В рамках своей чисто аналитической модели он действительно исправил противоречия в своей модели, и нетронутой оставил несовершенство в законе всемирного тяготения Ньютона. На наш взгляд А. Клеро не стал противопоставлять себя авторитету самого Ньютона, его последователям и вышел на самостоятельный путь исследования. Он не стал уточнять формулу закона всемирного тяготения и тем самым избежал ожидавших его в будущем возможных острых дискуссий. Как покажет история, данная стратегия оправдала себя. А. Клеро выиграет конкурс объявленный в 1750 г. Петербургской академией, получит восторженные отзывы современников, издаст книгу «Теория движения Луны, выведенная из единственного принципа притяжения, обратно пропорционально квадратам расстояний» в 1752 г. и будет избран член-корреспондентом Петербургской академии наук в 1754 г.

      Все силы А. Клеро были сосредоточены  на выполнение собственной программы исследований: «После долгих размышлений над теорией Ньютона и не достигнув той степени убежденности, которой я ожидал, я решил больше ничего у него не заимствовать и самостоятельно искать определения движения небесных тел, при единственном допущении об их взаимном притяжении». Данный подход позволил ему построить чисто аналитическую модель гравитационного взаимодействия.

      С тех пор прошло 350 лет. Закон всемирного тяготения  в первозданном виде благополучно встретил 2 тысячелите. Сомнения А. Клеро и Ж. Даламбера относительно закона всемирного тяготения Ньютона, на наш взгляд, так и не рассеялись. Последовательность следующих рассуждений приводит нас к неожиданным результатам.

      Рассмотрим  так назыаемый Уточненный закон  всемирного тяготения.

      Два материальных тела М и m притягивают друг друга с одинаковой силой F. Гравитационное поле массы М вызывает ускорение m:

      g = γ · (M / R2).

      Соответственно  масса m вызывает ускорение М:

      g = γ · (m / R2).

      Относительное ускорение двух тел М и m gот равное разности gM – gm, а так как gM и gm направлены в противоположные стороны, то gот равно сумме ускорений gM и gm:

       (3) 
Следовательно, ускорение при относительном движении двух притягивающихся материальных тел M и m мы можем считать, что сила исходит из неподвижного центра и можно исследовать движение только одного тела.

      Поясним это на следующем примере и  на практике проверим адекватность формулы (3) окружающей действительности. На поверхности Земли, то есть на расстоянии 6371,032 км от ее центра, ускорение gЗем = 9,81 м/с2. Ускорение, вызываемое притяжением Земли на расстоянии r = 384400 км до Луны должно уменьшится в 3844002 / 6371,0322 = 3640,38 раз. Ускорение Луны, вызываемое притяжением Земли равно:

      gЗемля-Луна = 9,81 м/с2 / 3640,38 = 0,2695 см/с2.

      Соответственно  на поверхности Луны, на расстоянии r = 1738 км от ее центра, ускорение gЛуна = 1,62 м/с2. Это ускорение, вызываемое притяжением  Луны на расстоянии r = 384400 км до Земли должно уменьшится в 3844002 / 17382 = 48917,83 раз.

      Ускорение Земли, вызываемое притяжением Луны равно:

      gЛуна-Земля  = 1,62 м/с2 / 48917,83 = 0,0033 см/с2.

      Относительное ускорение Луны gот будет равно  сумме ускорений

      gот = gЗемля-Луна + gЛуна-Земля = 0,2695 см/с2 + 0,0033 см/с2 = 0,2728 см/с2.

      Полученное  значение относительного ускорения  Луны gот можно проверить следующим  способом. Предполагая, что Луна движется по окружности вычислим ее действительное ускорение по формуле:

      Gот = V2 / r ,

      где V – скорость движения Луны по орбите;

      r – расстояние от Земли до  Луны.

      Скорость  движения Луны по орбите V можно вычислить  по формуле:

      V = (2πr) / T ,

      где T – звездный период обращения Луны, Т = 27,3 суток;

      r – расстояние от Земли до  Луны (r = 384400 км).

      Вычислим  значение V и Gот:

      V = (2 · 3,14 · 384400 км) / 2358720 сек = 1,02345 км/сек

      Gот = (1,02345 км/сек)2 / 384400 км = 0,2725 см/сек2.

      Расчеты показывают, что Gот = gот и относительная  погрешность этих двух показателей  составляет Gот – gот = 0,2728 см/сек2 – 0,2725 см/сек2 = 0,0003 см/сек2 или 0,12%.

      Численные расчеты gот на реальных данных Земли  и Луны подтверждают адекватность формулы (3) окружающему миру.

      Рассмотрим  теперь движение тела m относительно M. Величина силы F действующая между m и M равна произведению массы m на относительное ускорение gот:

        
(4)

      Формулу (4) можно представить в виде суммы  двух членов:

        
(5)

      Первый  член совпадает с формулой (1) –  закона всемирного тяготения, а в  целом формула (5) напоминает формулу (2), которую в свое время предложил  А. Клеро с целью корректировки  всемирного закона Ньютона.

      Закон всемирного тяготения лежит в основе небесной механики – науки о движении планет. С помощью этого закона с огромной точностью определяются положения небесных тел на небесном своде на многие десятки лет вперед и вычисляются их траектории. Закон всемирного тяготения применяется также в расчетах движения искусственных спутников Земли и межпланетных автоматических аппаратов.

      Возмущения  в движении планет. Планеты не движутся строго по законам Кеплера. Законы Кеплера точно соблюдались бы для движения данной планеты лишь в том случае, когда вокруг Солнца обращалась бы одна эта планета. Но в Солнечной системе планет много, все они притягиваются как Солнцем, так и друг другом. Поэтому возникают возмущения движения планет. В Солнечной системе возмущения невелики, потому что притяжение планеты Солнцем гораздо сильнее притяжения другими планетами. При вычислении видимого положения планет приходится учитывать возмущения. При запуске искусственных небесных тел и при расчете их траекторий пользуются приближенной теорией движения небесных тел – теорией возмущений.

      Открытие  Нептуна. Одним из ярких примеров триумфа закона всемирного тяготения является открытие планеты Нептун. В 1781 г. английский астроном Вильям Гершель открыл планету Уран. Была вычислена ее орбита и составлена таблица положений этой планеты на много лет вперед. Однако проверка этой таблицы, проведенная в 1840 г., показала, что данные ее расходятся с действительностью.

      Ученые  предположили, что отклонение в движении Урана вызвано притяжением неизвестной  планеты, находящейся от Солнца еще дальше, чем Уран. Зная отклонения от расчетной траектории (возмущения движения Урана), англичанин Адаме и француз Леверрье, пользуясь законом всемирного тяготения, вычислили положение этой планеты на небе. Адаме раньше закончил вычисления, но наблюдатели, которым он сообщил свои результаты, не торопились с проверкой. Тем временем Леверрье, закончив вычисления, указал немецкому астроному Галле место, где надо искать неизвестную планету. В первый же вечер, 28 сентября 1846 г., Галле, направив телескоп на указанное место, обнаружил новую планету. Ее назвали Нептуном.