Волновая функция в квантовой механике

НОУ ВПО « Северо-Кавказский институт бизнеса, инженерных и информационных технологий »

      Реферат 

«Волновая функция в квантовой  механике»

Содержание.

1.История квантовой механики………………………. 3

2. Волновая   функция………………………………….. 6

3. Волновая Y-функция……………………………….. 16

4. Редукция волновой Y-функции………………….... 18

5. Расщепление волнового пакета……………………. 21

Список используемой литературы…………………… 24

1. История квантовой механики

В 1900 году Макс Планк, исследуя различные эмпирические формулы для излучения, смог интуитивно угадать закон излучения абсолютно чёрного тела. Для того чтобы как-то теоретически обосновать этот закон, Планк предположил, что энергия излучается квантами (порциями). При этом энергия каждого кванта равна: e = hn, где n – частота излучения, а h » 6,63×10 -34 Дж× с – новая постоянная величина, имеющая размерность действия и названная впоследствии постоянной Планка. В связи с этим 1900 год считается годом рождения квантовой механики. В настоящее время выражение для энергии фотона обычно пишется в виде: e = ћw, где w - так называемая циклическая частота, она равна w = 2pn, а величина ћ = h/2p  - также называется постоянной Планка.

Следующий шаг в развитии квантовой механики был сделан в 1905 году Альбертом Эйнштейном. Изучая закон излучения Планка, Эйнштейн пришёл к выводу, что электромагнитное излучение не только излучается квантами, но также переносится и поглощается квантами. Иначе говоря, свет представляет собой поток частиц – фотонов. Используя это предположение, Эйнштейн смог очень просто объяснить и количественно описать такое необычное для того времени явление как фотоэффект. Суть фотоэффекта состоит в том, что свет, падающий на какой-либо металл, выбивает электроны из его поверхности. Этот эффект был случайно открыт Герцем в 1887 году, когда он исследовал электромагнитные волны, предсказанные теорией Максвелла. Как показали эксперименты, кинетическая энергия выбитых электронов не зависит от интенсивности падающего на металл излучения, но возрастает с увеличением частоты излучения. Это свойство фотоэффекта не объяснимо в рамках классической электродинамики, но оно легко объяснимо, если предположить, что свет представляет собой поток частиц. Вот уравнение, которое было предложено Эйнштейном для объяснения фотоэффекта:

K = ћw -W ,                                                              (1)

Здесь ћw - энергия падающего на металл фотона, К – кинетическая энергия выбитого электрона, а W - работа выхода, то есть минимальная  энергия, необходимая для выбивания электрона за пределы поверхности металла (она зависит от типа металла и состояния его поверхности).

Можно отметить, что ещё Исаак Ньютон считал, что свет представляет собой поток частиц. Из-за авторитета Ньютона это предположение довольно долго существовало в физике. Но в девятнадцатом веке было экспериментально установлено, что свет имеет волновую природу. Кроме того, из полученных Максвеллом электродинамических уравнений следовало, что колебания электромагнитного поля должны распространяться в пустоте со скоростью света. И вскоре электромагнитные волны были экспериментально обнаружены Герцем. Поэтому в начале двадцатого века никто из учёных не сомневался в том, что свет имеет волновую природу. И никто, даже Планк, не принял всерьёз гипотезу Эйнштейна о том, что свет состоит из частиц. Отрицательное отношение физиков изменилось лишь в 1922 году, после открытия эффекта Комптона (изменения длины волны рентгеновских лучей, обусловленное упругим рассеянием фотонов на электронах).

В 1909 году Эрнст Резерфорд провёл ряд опытов по рассеянию a-частиц очень тонкой золотой фольгой. Эти знаменитые эксперименты дали основание Резерфорду высказать следующее предположение об устройстве атома. Атом состоит из очень маленького положительно заряженного ядра (примерно 10-14 м), в котором сосредоточена практически вся масса атома, и это ядро окружено облаком из отрицательно заряженных электронов (примерно 10-10 м). Открытие Резерфорда поставило перед физиками новую проблему: почему атомы стабильны? Дело в том, что с точки зрения классической электродинамики электроны, вращаясь вокруг ядра, должны были бы непрерывно излучать электромагнитные волны.

Излучая, электроны теряли бы свою энергию, что должно было бы привести, в конце концов, к их падению на ядро. Таким образом, согласно классической электродинамике, атом был бы неустойчивым, что ни в какой степени не соответствует действительности [3,с.13].

В 1913 году Нильс Бор для объяснения феномена устойчивости атомов предложил модель атома, основанную на следующих постулатах.

1) Электрон движется вокруг ядра по круговой орбите под действием кулоновской силы и в соответствии с законами Ньютона.

2) Электрон может двигаться только по такой орбите, на которой момент импульса электрона L равен целому числу, умноженному на постоянную Планка:

L = m V r  =  n ћ,       n = 1, 2, 3, 4 …                                    (2)

Здесь m – масса электрона, V – скорость с которой он движется по орбите, а r – радиус орбиты.

3) Двигаясь по такой орбите, электрон не излучает.

4) При переходе электрона с орбиты с порядковым номером k на орбиту с номером l (k > l) излучается фотон с частотой w:

                                                                   (3)

Здесь Ek - энергия электрона на орбите k, а El  - его энергия на орбите l.

Модель атома, предложенная Бором, хорошо объясняла свойства и спектр атома водорода, а также водородоподобных атомов (то есть атомов, у которых на внешней электронной оболочке находится только один электрон). Но постулаты, лежащие в основе этой модели, не имели никакого теоретического обоснования, и, кроме того, противоречили законам классической электродинамики. Поэтому большинство физиков отнеслось к новой модели скептически.

Следующий важный шаг в становлении квантовой механики был сделан в 1923 году Луи де Бройлем. Исходя из того, что световые волны имеют корпускулярную природу, а также предполагая симметрию в природе, он предположил, что и частицы, например электрон, должны проявлять волновые свойства. Например, фотон обладает энергией e = ћw и импульсом p = e/c = ћw/c. С другой стороны, с фотоном связан некоторый волновой процесс с длиной волны l, равной l = c/n = 2p c /w = 2p ћ /p. Поэтому Луи де Бройль предположил, что не только с фотоном, но и с любой частицей, имеющей импульс p, связан некоторый волновой процесс с длиной волны l. При этом:

                                                                        (4)

И уже через два года гипотеза де Бройля была экспериментально подтверждена в опытах по дифракции электронов. Исходя из того, что электрон обладает волновыми свойствами, де Бройль очень просто объяснил существование стационарных орбит в боровской модели атома. Стационарная орбита – это такая орбита, на которой укладывается целое число волн. То есть электрон, вращаясь вокруг ядра, образует как бы стоячую волну. Гипотеза де Бройля, устанавливающая связь между частицами и волновыми процессами, поражала своей простотой и новизной подхода к решению противоречия волна-частица. Эта идея была настолько нова, что, несмотря на экспериментальное подтверждение, которое последовало очень быстро, потребовалось определённое время, чтобы она получила всеобщее признание среди физиков.

Основываясь на идеях де Бройля, в 1926 году Эрвин Шрёдингер написал своё знаменитое волновое уравнение, описывающее движение частицы в поле U(x,y,z):

                        (5)

Здесь m – масса частицы, i – мнимая единица, а Y(x,y,z,t) – шрёдингеровская волновая комплексная функция (амплитуда волны де Бройля).  Вероятность обнаружить частицу в малой части объёма dV = dxdydz в момент времени t равна dW = |Y(x,y,z,t)|2dxdydz. То есть плотность вероятности пропорциональна квадрату модуля волновой функции. При этом: òòò |Y(x,y,z,t)|2dxdydz = 1. Можно отметить, что вероятность обнаружить частицу в какой-нибудь данной точке пространства всегда равна нулю, потому что объём точки равен нулю. Поэтому имеет смысл говорить только о плотности вероятности нахождения частицы в данной точке.

Если Y-функция известна в начальный момент времени, то из уравнения Шрёдингера можно найти Y-функцию в последующие моменты времени. И в принципе это уравнение способно объяснить все атомные явления, кроме тех, которые связаны с магнетизмом и теорией относительности. Оно может быть применимо и для системы, состоящей из многих частиц. Волновую Y-функцию, которая отлична от нуля только в некоторой небольшой области пространства, иногда называют волновым пакетом.

Наконец, в 1927 году Вернер Гейзенберг, пытаясь устранить противоречие “волна-частица”, сформулировал принцип неопределённости (соотношение неопределённостей). Этот принцип выражает фундаментальный предел возможности одновременного измерения положения частицы и её импульса:

Dx×Dpx ³ ћ/2.                                                              (6)

Здесь Dx – неопределённость в положении частицы, а Dpx – неопределённость в проекции её импульса вдоль оси x. Не сразу стало ясно, что именно выражает это соотношение. Только ли принципиальную невозможность получить более полное знание о движении частицы или же объективную неопределённость в её движении. Аналогично соотношению (6) Гейзенберг установил соотношение для неопределённости в измерении энергии частицы DЕ и промежутка времени Dt, в течение которого производится данное измерение:

Dt×DЕ ³ ћ/2                                                                     

2.Волновая функция

С развитием квантовой механики в физике появилось множество новых, непривычных понятий и идей. Одно из таких понятий – волновая функция, которая в квантовой теории служит для описания объектов и, тем самым, заменяет совокупность «привычных» параметров: координата, скорость, энергия и т.д.  

  Волновая функция это функция состояния, пси-функция, или амплитуда вероятности представлена как комплексная функция, используемая в квантовой механике для вероятностного описания состояния квантовомеханической системы. В широком смысле — то же самое, что и вектор состояния.

Вариант названия «амплитуда вероятности» связан со статистической интерпретацией волновой функции: вероятность нахождения частицы или физической системы в данном состоянии равна квадрату абсолютного значения амплитуды вероятности этого состояния. Что это означает?

В качестве функции ψ берётся квадрат модуля сопряженного комплексной функции.

Напомню.

Комплексная функция — функция, которую можно представить в виде f(x) = u(x) + iv(x), где i — это «мнимая» единица, а u и v — действительные функции. Функция u(x) называется действительной частью функции f(x), а iv(x) — её мнимой частью.

Функция f*(x) = u(x) – iv(x) называется комплексно сопряжённой функции f(x) = u(x) + iv(x)

Произведение функции на её комплексно сопряжённую называется квадратом модуля функции. Квадрат модуля функции всегда положителен и обозначается как Ψ. |f(x)|2 = f(x) f*(x) = u(x)2 + v(x)2

Вот это и есть база функции Шрёдингера. Дальше пойдут решения и вариации.

Волновая функция Ψ(х1,х2, …хn) зависит от координат (или обобщённых координат) системы и формируется таким образом, чтобы квадрат её модуля Ψ(х1,х2, …хn)2 представлял собой плотность вероятности обнаружить систему в положении, описываемом координатами х1 = x01, x2 = x02, …, xn = xon

Набор координат, которые выступают в роли аргументов функции, представляет собой полный набор физических величин, которые можно измерить в системе. В квантовой механике возможно выбрать несколько полных наборов величин, поэтому волновая функция одного и того же состояния может быть записана от разных аргументов. Выбранный для записи волновой функции полный набор определяет представление волновой функции. Так, возможны координатное представление, импульсное представление, в квантовой теории поля используется вторичное квантование и представление чисел заполнения или представление Фока и другие.

Если волновая функция, например, электрона в атоме, задана в координатном представлении, то квадрат модуля волновой функции представляет собой плотность

вероятности обнаружить электрон в той или иной точке пространства. Если эта же волновая функция задана в импульсном представлении, то квадрат её модуля представляет собой плотность вероятности обнаружить тот или иной импульс.

Для волновых функций справедлив принцип суперпозиции, заключающийся в том, что если система может пребывать в состояниях, описываемых волновыми функциями Ψ1 и Ψ2 , то она может пребывать и в состоянии, описываемом волновой функцией ΨΣ = c1 Ψ1 + c2 Ψ2 при любых комплексных c1 и c2.

Волновая функция представляет собой наиболее полное возможное описание квантово- механической системы, за исключением, быть может, матрицы плотности, предложенной Л.Д.Ландау, с помощью которой можно описывать системы систем, что невозможно при использовании волновой функции (в случае обычной системы матрица плотности есть тот же квадрат модуля волновой функции) скоростей всех её частиц и это описание позволяло описать всё будущее и прошлое системы, то в квантовой механике некоторые параметры описать принципиально невозможно. Согласно квантовой механике, описание системы заканчивается на уровне волновой функции (и матрицы плотности) и только на уровне волновой функции (и матрицы плотности) возможно, описать будущее и прошлое системы. Более подробное описание системы, например, с точностью до указания местоположений и скоростей всех её частиц — невозможно, и значения этих параметров оказываются более или менее случайными.