Золотое Сечение

     Эти правильные многогранники получили название Платоновых тел. Первое из них - это тетраэдр (1). Его гранями  являются четыре равносторонних треугольника. Тетраэдр имеет наименьшее число граней среди Платоновых тел и является трехмерным аналогом плоского правильного треугольника, который имеет наименьшее число сторон среди правильных многоугольников. Следующее тело - это гексаэдр, называемый также кубом (2). Гексаэдр имеет шесть граней, представляющих собой квадраты. Гранями октаэдра (3) являются правильные треугольники, и их число в октаэдре равно восьми. Следующим по количеству граней является додекаэдр (4). Его гранями являются пентагоны, и их число в додекаэдре равно двенадцати. Замыкает пятерку Платоновых тел икосаэдр (5). Его гранями являются правильные треугольники, и их число равно 20.

     «Теория многогранников, в частности выпуклых многогранников, - одна из самых увлекательных  глав геометрии» - таково мнение русского математика Л. А. Люстернака, много сделавшего именно в этой области математики.

     Прежде  всего, необходимо подчеркнуть, что  геометрия додекаэдра и икосаэдра  связана с «золотой» пропорцией. Действительно, гранями додекаэдра являются пентагоны, то есть правильные пятиугольники, основанные на «золотой» пропорции. Если внимательно посмотреть на икосаэдр, то можно увидеть, что в каждой вершине икосаэдра сходится пять треугольников, внешние стороны которых образуют Пентагон. Уже этих фактов достаточно, чтобы убедиться в том, что «золотая» пропорция играет существенную роль в конструкции этих двух Платоновых тел.

     Но  существуют более глубокие подтверждения  фундаментальной роли, которую играет «золотая» пропорция в икосаэдре  и додекаэдре. Известно, что эти  тела имеют три специфические сферы. Первая (внутренняя) сфера вписана в тело и касается его граней. Обозначим радиус этой внутренней сферы через R . Вторая, или средняя, сфера касается ее ребер. Обозначим радиус этой сферы через R . Наконец, третья (внешняя) сфера описана вокруг тела и проходит через его вершины. Обозначим ее радиус через R . В геометрии доказано, что значения радиусов указанных сфер для додекаэдра и икосаэдра, имеющего ребро единичной длины, выражается через «золотую» пропорцию t.

     Заметим, что отношение радиусов  одинаково  как для икосаэдра, так и для  додекаэдра. Таким образом, если додекаэдр  и икосаэдр имеют одинаковые вписанные  сферы, то их описанные сферы также  равны между собой.

     В геометрии известны и другие соотношения для додекаэдра и икосаэдра, подтверждающие их связь с «золотой» пропорцией. Например, если взять икосаэдр и додекаэдр с длиной ребра, равной единице, и вычислить их внешнюю площадь и объем, то они выражаются через «золотую» пропорцию.

     Таким образом, существует огромное количество соотношений, полученных еще античными  математиками, подтверждающих замечательный  факт, что именно золотая пропорция  является главной пропорцией додекаэдра и икосаэдра, и этот факт является особенно интересным с точки зрения так называемой «додекаэдро-икосаэдрической доктрины». 

     Додекаэдро-икосаэдрическая  доктрина.

     Среди пяти Платоновых тел особую роль играют додекаэдр и икосаэдр.

     Роль  этих совершенных геометрических фигур, основанных на «золотом сечении», в  развитии науки настолько велика, что правомерно говорить о том, что в трудах Платона возникла «додекаэдро-икосаэдрическая доктрина», которая «красной нитью» проходит через всю науку. Еще Сократ высказал предположение, что Земля имеет форму додекаэдра. Затем эта идея была развита в работах Бимона, Пуанкаре и Кислицина и привела к возникновению весьма оригинальных теорий формы Земли, имеющих важные практические приложения в геологии. В XVII в. Иоганн Кеплер, используя «Тела Платона», построил оригинальную геометрическую модель Солнечной Системы («Космический Кубок» Кеплера). 

Загадки египетских пирамид 

Все на свете  страшится времени,

  а время страшится пирамид.

(Арабская  пословица) 

     О египетских пирамидах с восхищением  писал греческий историк Геродот. Первым европейцем, спустившимся в глубь пирамиды, был римский ученый Плиний Старший. Согласно многим описаниям, эти гигантские монолиты имели совсем иной вид, чем в наше время. Они сияли на солнце белой глазурью отполированных известняковых плит на фоне многоколонных прилегающих храмов. Рядом с царскими пирамидами стояли малые пирамиды жен и членов семьи фараонов.

     Среди грандиозных пирамид Египта особое место занимает великая пирамида фараона Хеопса. Она самая крупная  и наиболее хорошо изученная. Чего только не находили в ее пропорциях! Число π  и «золотую» пропорцию, число дней в году, расстояние до Солнца, диаметр Земли и т. п. Однако при расчете этих величин получались неточности, возникали недоразумения, в результате чего подвергались сомнению даже простейшие пропорции в размерах пирамиды и все сообщения о скрытых в геометрии пирамиды математических сведениях объявлялись выдумкой.

     Правильная  четырехугольная пирамида является одной из хорошо изученных геометрических фигур, символизирующих простоту и  гармонию формы, олицетворяющую устойчивость, надежность, устремление вверх.

     Очевидно, размеры пирамиды: площадь ее основания  и высота - не были выбраны случайно, а должны нести какие-то геометрические, математические идеи, информацию об уровне знаний египетских жрецов. Причем следует напомнить, что эти знания составляли тайну и были доступны лишь ограниченному числу лиц, поэтому и в геометрии пирамиды должны быть воплощены не в явной, а в скрытой форме.

     Методической  ошибкой многих исследователей является то, что они использовали размеры пирамид, выраженные в метрической системе мер. Но ведь египтяне пользовались другой системой мер! Из этой системы и следует исходить при анализе размерных отношений в пирамидах.

     Прежде  чем приступить к анализу формы  и размеров пирамиды Хеопса, следует учесть уровень знаний тех времен, психологию создателей пирамиды. У египтян было три единицы длины: локоть (466 мм), равнявшийся семи ладоням (66,5 мм), ладонь, в свою очередь, равнялась четырем пальцам (16,6 мм).

     Трудно  допустить, что строители пирамиды пользовались исходными размерами, выраженными в долях локтя; более очевидно, что основные исходные размеры были определены в целых единицах длины - локтях.

     Рассмотрим  размеры пирамиды Хеопса. Длина стороны  основания пирамиды (L) принята равной 233,16 м. Эта величина отвечает почти точно 500 локтям. Очевидно, размер основания пирамиды при ее строительстве и был определен в 500 локтей.

     Высота  пирамиды (Н) оценивается исследователями  различно от 146,6 до 148,2 м.

     Гениальные  создатели пирамиды Хеопса стремились поразить далеких потомков глубиной своих знаний, и они достигли этого. Следует лишь удивляться высокому знанию и искусству древних математиков и архитекторов Египта, которые смогли воплотить в пирамиде две иррациональные (то есть неизмеримые) величины - π и φ - со столь поразительной точностью, оперируя исходными отношениями целых чисел - стороной основания и высотой пирамиды, выраженных в локтях. 

Плитки  Пенроуза

     В античной науке была широко известна «проблема паркета», которая сводится к плотному заполнению плоскости геометрическими фигурами одного вида. Как известно, такое заполнение может быть осуществлено с помощью треугольников, квадратов и шестиугольников. С помощью пятиугольников (пентагонов) такое заполнение невозможно.

     Рассмотрим  еще раз внимательно правильный пятиугольник, называемый также Пентагоном или пентаграммой, плоскую геометрическую фигуру, основанную на «золотом сечении». 

     Как известно, после проведения в Пентагоне  диагоналей, исходный Пентагон может  быть представлен как совокупность трех типов геометрических фигур. В центре находится новый Пентагон, образуемый точками пересечения диагоналей. Остальная часть Пентагона включает в себя пять равнобедренных треугольников, окрашенных в желтый цвет, и пять равнобедренных треугольников, окрашенных в красный цвет. Желтые треугольники являются «золотыми», так как отношение бедра к основанию равно «золотой» пропорции; они имеют острые углы в 36° при вершине и острые углы в 72° при основании. Красные треугольники также являются «золотыми», так как отношение бедра к основанию равно «золотой» пропорции; они имеют тупой угол в 108° при вершине и острые углы в 36° при основании.

     А теперь соединим два желтых треугольника и два красных треугольника их основаниями. В результате мы получим два «золотых» ромба. Первый из них (желтый) имеет острый угол в 36° и тупой угол в 144°. Левый ромб будем называть тонким ромбом,

а правый ромб - толстым ромбом.

             Английский математик и физик Роджерс Пенроуз использовал «золотые» ромбы для конструирования «золотого» паркета, который был назван плитками Пенроуза. Плитки Пенроуза представляют собой комбинацию толстых и тонких ромбов.

     Важно подчеркнуть, что плитки Пенроуза имеют  «пентагональную» симметрию или  симметрию 5-го порядка, а отношение  числа толстых ромбов к тонким стремится к «золотой» пропорции. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Заключение 

Проанализировав применение «золотого сечения» в искусстве, а также различные научные открытия о существовании «золотой» пропорции в различных областях нашей жизни, можно предположить, что:

      1)     «золотое сечение» является основной  пропорциональностью мира;

      2)  при анализе и возможных численных выводах о чем-либо в живой природе сначала необходимо рассматривать «золотую» пропорцию первоначальных параметров;

     3)при  невозможности выявить «золотую»  пропорцию в числовых данных  можно попробовать «укрупнить»  рассматриваемый процесс, то есть  рассмотреть его как часть более крупного события; при этом появляется возможность использования вторичных пропорций членов геометрической прогрессии со знаменателем φ (1: φ, φ2 , φ3 , φ4 , φ5 , φ6)

     4)при  выявлении наиболее оптимальной  формы чего-либо возможно использование додекаэдро-икосаэдрической доктрины или других «золотых» фигур: прямоугольников, треугольников, спиралей и т. п.

     Следует отметить также, что для наиболее оптимального, гармоничного, естественного  построения чего-либо искусственного (то есть созданного человеком), вероятно, также требуется использование «золотого сечения». В заключение можно привести некоторые научные факты, которые были открыты благодаря «золотому сечению»:

-    пояс  астероидов между Марсом и  Юпитером - по пропорции там должна  находиться еще одна планета;

-    возбуждение  струны в точке, делящей ее  в отношении «золотого деления», не вызовет колебаний струны, то есть это точка компенсации;

-    на  летательных аппаратах с электромагнитными  источниками энергии создаются  прямоугольные ячейки с пропорцией «золотого сечения».

     Иоганну Кеплеру, жившему пять веков назад, принадлежит

высказывание: «Геометрия обладает двумя великими сокровищами. Первое - это теорема Пифагора, второе - деления отрезков в крайнем и среднем отношении».

     Таким образом, моя  гипотеза о применении «золотого сечения» в научной деятельности подтверждается. 
 

Список  используемой литературы

1.     Александров Н.И., Ярандай И.П.  Словарь-справочник по математике, Марийское книжное издательство, Йошкар-Ола, 1976.

2.     Коксетор С.М., Грейтцер С.Л. . Новые встречи с геометрией. М. «Наука», 1978 год.

3.     Савин А.П. Энциклопедический  словарь юного математика, «Педагогика», 1989.

4.     Семенов Е.Е. Изучаем геометрию.  М. «Просвещение», 1987 год.

5.     Скопец З.А. Геометрические миниатюры; М. «Просвещение», 1990 год

6.     Журнал. Математика в школе №3, 1994;  №3, 1995; №8,2004,№4,6,2006;№1,3,4,2001,№4,1997г.

7.     Азевич А.Двадцать уроков гармонии. М.,»Школа-Пресс»,1998г

8.     Бурбаки И.Начала математики.М.;Мир,1965.

9.     Бутусов К.П.Золотое сечение в Солнечной системеМ.,1978

10. Васютинский  Н.Золотая пропорция. М., Молодая  гвардия,1990 г

11. Ковалев Ф.В.Золотое  сечение в живописи. Киев,1989 г