Закон больших чисел. Предельные теоремы

УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ

«БАРАНОВИЧСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

 

 

 

 

Кафедра физико-математических дисциплин

 

 

 

 

 

 

Реферат

на  тему:

 

 

 

 

 

«ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ»

 

 

 

 

 

Исполнитель:

студентка группы БА-21ФЭПа

Дрозд Юлия Игоревна

 

Проверила:

преподаватель

Цебрук Людмила  Алексеевна

 

 

 

 

 

Барановичи 2012

 

Содержание

Введение         3

1. Неравенство Чебышева       4
2. Теорема Чебышева               6
3. Теорема Бернулли                8
4. Понятие о центральной предельной теореме  10

Список литературы       14

 

Введение

 

При изучении теории вероятностей приходится использовать понятия случайного события и случайной величины. При этом предсказать заранее результат испытания, в котором может появиться или не появиться то или иное событие или какое-либо определенное значение случайной величины, невозможно, так как исход испытания зависит от многих случайных причин, не поддающихся учету.

Однако  при неоднократном повторении испытаний  могут наблюдаться определенные закономерности. Эти закономерности, свойственные массовым случайным явлениям, и изучает теория вероятностей. Следует отметить, что математические законы теории вероятностей получены в результате абстрагирования реальных ситуаций, в которых наблюдаются случайные массовые явления.

При изучении результатов наблюдений над реальными  случайными массовыми явлениями  также имеют место некоторые закономерности. Следует обратить внимание на то, что они обладают свойством устойчивости. Суть этого свойства состоит в том, что конкретные особенности каждого отдельного случайного явления почти не сказываются на среднем результате большой массы подобных явлений, а характеристики случайных событий и случайных величин, наблюдаемых в испытаниях, при неограниченном увеличении числа испытаний становятся практически не случайными.

Теоремы закона больших чисел устанавливают  зависимость между случайностью и необходимостью.

Закон больших  чисел― это обобщенное название нескольких теорем, из которых следует, что при неограниченном увеличении числа испытаний средние величины стремятся к некоторым постоянным.

 
 

1. Неравенство Чебышева

 

Неравенство Чебышёва (неравенство Бьенеме—Чебышева) в теории вероятностей — неравенство, дающее оценку вероятности отклонений значений случайной величины от её математического ожидания через её дисперсию.

Формулировка

Для случайной  величины ξ = ξ(ω) с конечными математическим ожиданием Eξ и дисперсией Dξ неравенство Чебышёва имеет вид: для любого   вероятность события

не превосходит  , или

В таком  виде неравенство было независимым  образом открыто И.Бьенеме (I.Bienayme) (1853) и П.Л.Чебьшёвым (1867), используется при отсеве грубых погрешностей. В современной литературе это неравенство чаще называют неравенством Чебышёва, возможно и потому, что с именем П.Л.Чебышёва связано использование его при доказательстве обобщения закона больших чисел (теоремы Чебышёва).

Об однотипных неравенствах

Неравенство Чебышёва служит представителем класса однотипных неравенств, простейшее из которых утверждает, что для неотрицательной случайной величины ξ с конечным математическим ожиданием Eξ

Это неравенство  иногда называется неравенством Маркова, из него вытекают неравенства для произвольных случайных величин, зависящие от моментов:

(при r = 2 — само неравенство Чебышёва), а также ещё более общее неравенство

для неотрицательной  четной неубывающей при положительных  значениях x функции f(x). Последнее неравенство указывает путь получения новых неравенств того же типа, например экспоненциального неравенства:

Обычно  все эти неравенства относят  к чебышёвскому типу и даже называют неравенствами Чебышёва.

 

2. Теорема Чебышева

Теорема Чебышева: При достаточно большом  числе независимых случайных  величин Х1, Х2, Х3, ..., Хn, дисперсия  каждой из которых не превышает одного и того же постоянного числа В, для произвольного сколько угодно малого числа  e справедливо неравенство

Из теоремы  следует, что среднее арифметическое случайных величин при возрастании их числа проявляет свойство устойчивости, т. е. стремится по вероятности к неслучайной величине, которой является среднее арифметическое математических ожиданий этих величин, т.е. вероятность отклонения по абсолютной величине среднего арифметического случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий меньше чем на e при неограниченном возрастании n стремится к 1, т.е. становится практически достоверным событием. 

Рассмотрим  частный случай теоремы Чебышева:

Пусть при n испытаниях наблюдаются n значений случайной величины X, имеющей математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X). Полученные значения можно рассматривать как случайные величины Х1, Х2, Х3, ..., Хn,. Это следует понимать так. Серия из п испытаний проводится неоднократно. Поэтому в результате i-го испытания, i=l, 2, 3, ..., п, в каждой серии испытаний появится то или иное значение случайной величины X, не известное заранее. Следовательно, i-e значение xi случайной величины, полученное в i-м испытании, изменяется случайным образом, если переходить от одной серии испытаний к другой. Таким образом, каждое значение xi можно считать случайной величиной Xi .

Предположим, что испытания удовлетворяют  следующим требованиям:

1) испытания  независимы. Это означает, что результаты Х1, Х2, Х3, ..., Хn испытаний—независимые случайные величины;

2) испытания  проводятся в одинаковых условиях—это  означает, с точки зрения теории  вероятностей, что каждая из случайных  величин Х1, Х2, Х3, ..., Хn имеет такой же закон распределения, что и исходная величина X, поэтому, MXi=MX и DXi=DX, i=1, 2, .... п.

Учитывая  вышеуказанные условия, получим

Переходя  к пределу, имеем

Из последнего равенства следует, что среднее  арифметическое случайной величины Х обладает свойством устойчивости.

Теорема Чебышева имеет большое практическое применение. Она позволяет, используя  среднее арифметическое, получить представление  о величине математического ожидания, и наоборот. Так, измеряя какой-либо параметр с помощью прибора, не дающего  систематической погрешности, можно  получить достаточно большое число  результатов измерений, среднее  арифметическое которых по теореме  Чебышева будет практически мало отличаться от истинного значения параметра.

Пример. Пусть в результате 100 независимых  испытаний получены случайные величины Х1, Х2, …, Х100  с равными математическими ожиданиями М(Х)= 10 и равными дисперсиями D(X)= 1. Оценить вероятность того, что среднее арифметическое случайных величин отклоняется по абсолютной величине от М(Х) меньше чем на 1/2.

Решение:  Имеет место частный случай теоремы Чебышева. Применяя соответствующее неравенство для оценки вероятности, получим:

 

3. Теорема Бернулли

Теорема Бернулли: Если вероятность события  А в каждом из п независимых  испытаний постоянна и равна  р, то при достаточно большом п  для произвольного e >0 справедливо неравенство

Переходя  к пределу, имеем

 

 

Теорема Бернулли устанавливает связь между  вероятностью появления события  и его относительной частотой появления и позволяет при  этом предсказать, какой примерно будет  эта частота в п испытаниях. Из теоремы видно, что отношение т/п обладает свойством устойчивости при неограниченном росте числа испытаний. 

Иногда (при решении практических задач) требуется оценить вероятность  того, что отклонение числа т появления события в п испытаниях от ожидаемого результата пр не превысит определенного числа e. Для данной оценки неравенство переписывают в виде

Пример1. Монету подбрасывают 1000 раз. Оценить  вероятность отклонения частоты  появления герба от вероятности  его появления меньше чем на 0,1.

Решение:

Вероятность появления герба р= 0,5, тогда q = 1- 0,5= 0,5; n= 1000, e =0,1. Используем теорему Бернулли: 

 

 

Расшифруем  неравенство  

Раскрывая модуль и решая неравенство относительно m получим: 400<m<600. Итак, вероятность отклонения частоты появления герба от вероятности его появления равна вероятности того, что герб выпадет от 400 до 600 раз из 1000 и равна 39/40.

Пример2. В урне 100 белых и 100 черных шаров. Вынули с возвращением 50 шаров. Оценить  вероятность того, что белых шаров  среди вынутых окажется более 15 и  менее 35.

Решение:

Используем  теорему Бернулли в виде:

Вероятность достать белый шар при каждом испытании равна р=100/200=0,5, тогда q =0,5. Для вычисления e раскроем модуль и получим

Учитывая  данные задачи, получим систему уравнений, решая которую найдем e:

откуда e =10.

Подставим значения и оценим вероятность

 

 

 

 

 

 

4. Понятие о центральной предельной теореме

В конце 19 века в теории вероятностей возникло направление исследований, которое получило название: предельные теоремы теории вероятностей. В этом направлении, начало которого было положено нашими соотечественниками П.Л.Чебышевым, А.А.Марковым, А.М.Ляпуновым, по сей день ведутся интенсивные исследования. Предельные теоремы теории вероятностей можно разбить на две большие группы.

1.   Одна группа теорем составляет "закон больших чисел". Закон больших чисел формулирует условия, при которых совокупное действие большого числа случайных факторов приводит к результату почти не зависящему от случая (т.е. практически постоянный результат)

2.   Вторая группа теорем связана с выяснением вопроса о распределении сумм большого числа случайных величин. В этих теоремах выясняется, какие законы распределения может иметь сумма случайных величин, если число слагаемых неограниченно увеличивается, и какие условия при этом нужно наложить на сами величины. В частности, центральная предельная теорема посвящена установлению сумм, при которых возникает нормальный закон распределения.

Центральная предельная теорема

Первый вариант этой теоремы  был доказан в 1912 г. А.М.Ляпуновым. В настоящее время имеется несколько формулировок этой теоремы, различающихся условиями, которые накладываются на случайные величины. Мы приведём простейший вариант центральной предельной теоремы для одинаково распределённых независимых случайных величин.

Пусть   последовательность одинаково распределённых случайных величин с математическими ожиданиями   и дисперсиями  .

ТЕОРЕМА. Если случайные величины   независимы и  , то при достаточно большом n закон распределения суммы   будет сколь угодно близок к нормальному закону распределения  .

Так как в условиях теоремы случайные  величины независимы, то

т.е. в условиях теоремы сумма   имеет закон распределения близкий к  .Так' как  na и   с ростом п, возрастают, то удобнее рассматривать не просто суммы  , а нормированные суммы  . Такие суммы при   имеют закон распределения  .

Мы не приводим доказательства теоремы  потому, что оно требует введения многих дополнительных понятий и  утверждений. Было потрачено немало усилий, чтобы ослабить условия, налагаемые на случайные величины в центральной  предельной теореме. В частности, оказалось, что утверждение теоремы остаётся в силе и для слабо зависимых случайных величин. Как уже отмечалось, существует много вариантов и соответственно формулировок центральной предельной теоремы, но во всех этих вариантах суть условий одна: Если случайная величина может быть представлена в виде суммы большого числа независимых (или слабо зависимых) случайных величин, каждая из которых мала по сравнению с суммой, то эта сумма имеет закон распределения близкий к нормальному.

Пример 1. Наглядной иллюстрацией действия центральной предельной теоремы  является рассеивание снарядов при  артиллерийской стрельбе. На траекторию снаряда действует большое количество независимых факторов, влияние каждого из которых невелико. Этими факторами являются отклонения в размере заряда, в размере и весе снаряда, сила и направление ветра на разных высотах, плотность воздушных вихрей, зависящая от температуры и влажности воздуха, и т.д.