Вклад ученых Казани в развитие математики

Лобачевский.

Николай Иванович Лобачевский (20 ноября (1 декабря) 1792, Нижний Новгород — 12 (24) февраля 1856, Казань), великий русский математик, создатель геометрии Лобачевского, деятель университетского образования и народного просвещения.

Неевклидова геометрия.

   Сохранились студенческие записи лекций Лобачевского (от 1817 года), где им делалась попытка доказать пятый постулат Евклида, но в рукописи учебника «Геометрия» (1823) он уже отказался от этой попытки. В «Обозрениях преподавания чистой математики» за 1822/23 и 1824/25 Лобачевский указал на «до сих пор непобедимую» трудность проблемы параллелизма и на необходимость принимать в геометрии в качестве исходных понятия, непосредственно приобретаемые из природы.

   7 февраля 1826 года Лобачевский представил для напечатания в Записках физико-математического отделения сочинение: «Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных» (на французском языке). Но издание не осуществилось. Рукопись и отзывы не сохранились, однако само сочинение было включено Лобачевским в его труд «О началах геометрии» (1829—1830), напечатанный в журнале «Казанский вестник». Это сочинение стало первой в мировой литературе серьёзной публикацией по неевклидовой геометрии, или геометрии Лобачевского.

Лобачевский считает аксиому параллельности Евклида произвольным ограничением. С его точки зрения, это требование слишком жёсткое, ограничивающее возможности теории, описывающей свойства пространства. В качестве альтернативы предлагает другую аксиому: на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходит более чем одна прямая, не пересекающая данную. Разработанная Лобачевским новая геометрия не включает в себя евклидову геометрию, однако евклидова геометрия может быть из неё получена предельным переходом (при стремлении кривизны пространства к нулю). В самой геометрии Лобачевского кривизна отрицательна.

   Однако  научные идеи Лобачевского не были поняты современниками. Его труд «О началах геометрии», представленный в 1832 году советом университета в Академию наук, получил у М. В. Остроградского отрицательную оценку. Среди коллег его почти никто не поддерживает, растут непонимание и невежественные насмешки.

Венцом травли стал издевательский анонимный пасквиль, появившийся в журнале Ф.Булгарина «Сын отечества» в 1834 году:

Как можно подумать, чтобы г. Лобачевский, ординарный профессор  математики, написал с какой-нибудь серьёзной целью книгу, которая  немного бы принесла чести и последнему школьному учителю? Если не ученость, то по крайней мере здравый смысл должен иметь каждый учитель, а в новой геометрии нередко недостает и сего последнего.

   Но  Лобачевский не сдаётся. В 1835—1838 он публикует в «Учёных записках» статьи о «воображаемой геометрии», а затем выходит наиболее полная из его работ «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных».

   Не  найдя понимания на родине, он пытается найти единомышленников за рубежом. В 1840 году Лобачевский печатает на немецком языке «Геометрические исследования по теории параллельных», где содержится чёткое изложение его основных идей. Один экземпляр получает Гаусс, «король математиков» той поры.

   Как много  позже выяснилось, Гаусс и сам  тайком развивал неевклидову геометрию, однако так и не решился опубликовать что-либо на эту тему. Ознакомившись  с результатами Лобачевского, он выразил свою симпатию к идеям русского учёного косвенно: рекомендовал избрать Лобачевского иностранным членом-корреспондентом Гёттингенского королевского общества. Восторженные отзывы о Лобачевском Гаусс доверил только своим дневникам и самым близким друзьям.

Это избрание состоялось в 1842 году. Однако положения Лобачевского оно не укрепило. Ему осталось работать в родном университете ещё четыре года.

   Лобачевский не был единственным исследователем в этой новой области математики. Венгерский математик Янош Бойяи независимо от Лобачевского в 1832 году опубликовал своё описание неевклидовой геометрии. Но и его работы остались неоценёнными современниками.

   Лобачевский умер непризнанным. Спустя несколько  десятилетий ситуация в науке  коренным образом изменилась. Большую  роль в признании трудов Лобачевского сыграли исследования Э. Бельтрами (1868), Ф. Клейна (1871), А. Пуанкаре (1883) и др. Появление модели Клейна доказало, что геометрия Лобачевского так же непротиворечива, как и евклидова. Осознание того, что у евклидовой геометрии имеется полноценная альтернатива, произвело огромное впечатление на научный мир и придало импульс другим новаторским идеям в математике и физике.

   Ибрагимов

Ибрагимов Ильдар Абдуллович: Действительный член РАН (1997), заведующий лабораторией отделения математического института им. В. А. Стеклова РАН; родился 15 июля 1932 г. в г. Ленинграде; окончил в 1956 г. ЛГУ; главные направления научной деятельности: теория вероятностей, теория стационарных процессов, теория процессов Маркова, теория функции и метрическая теория чисел; женат, имеет двоих детей.

Введение  в теорию марковских цепей

Цепью Маркова  называют такую последовательность случайных событий, в которой  вероятность каждого события  зависит только от состояния, в котором процесс находится в текущий момент и не зависит от более ранних состояний. Конечная дискретная цепь определяется:

1. множеством состояний S = {s₁, …, s_n}, событием является переход из одного состояния в другое в результате случайного испытания
2. вектором начальных вероятностей (начальным распределением) p⁽⁰⁾ = {p⁽⁰⁾(1),…, p⁽⁰⁾(n)}, определяющим вероятности p⁽⁰⁾(i) того, что в начальный момент времени t = 0 процесс находился в состоянии s_i
3. матрицей переходных вероятностей P = {p_ij}, характеризующей вероятность перехода процесса с текущим состоянием s_i в следующее состояние s_j, при этом сумма вероятностей переходов из одного состояния равна 1:

∑_j=1…n  p_ij = 1

Пример матрицы  переходных вероятностей с множеством состояний S = {S₁, …, S₅}, вектором начальных вероятностей p⁽⁰⁾ = {1, 0, 0, 0, 0}:

С помощью вектора начальных вероятностей и матрицы переходов можно вычислить стохастический вектор p⁽ⁿ⁾ — вектор, составленный из вероятностей p⁽ⁿ⁾(i) того, что процесс окажется в состоянии i в момент времени n. Получить p⁽ⁿ⁾ можно с помощью формулы:

p⁽ⁿ⁾ = p⁽⁰⁾×P ⁿ

Векторы p⁽ⁿ⁾ при росте n в некоторых случаях стабилизируются — сходятся к некоторому вероятностному вектору ρ, который можно назвать стационарным распределением цепи. Стационарность проявляется в том, что взяв p⁽⁰⁾ = ρ, мы получим p⁽ⁿ⁾ = ρ для любого n. 
Простейший критерий, который гарантирует сходимость к стационарному распределению, выглядит следующим образом: если все элементы матрицы переходных вероятностей P положительны, то при n, стремящемуся к бесконечности, вектор p⁽ⁿ⁾ стремится к вектору ρ, являющемуся единственным решением системы вида  
p × P = p. 
Также можно показать, что если при каком-нибудь положительном значении n все элементы матрицы P ⁿ положительны, тогда вектор p⁽ⁿ⁾ все-равно будет стабилизироваться.

Марковская цепь изображается в виде графа переходов, вершины которого соответствуют состояниям цепи, а дуги — переходам между ними. Вес дуги (i, j), связывающей вершины s_i и s_j будет равен вероятности p_i(j) перехода из первого состояния во второе. Граф, соответствующий матрице, изображенной выше:

Классификация состояний марковских цепей

При рассмотрении цепей Маркова нас может интересовать поведение системы на коротком отрезке  времени. В таком случае абсолютные вероятности вычисляются с помощью  формул из предыдущего раздела. Однако более важно изучить поведение системы на большом интервале времени, когда число переходов стремится к бесконечности. Далее вводятся определения состояний марковских цепей, которые необходимы для изучения поведения системы в долгосрочной перспективе. 
Марковские цепи классифицируются в зависимости от возможности перехода из одних состояний в другие.  
Группы состояний марковской цепи (подмножества вершин графа переходов), которым соответствуют тупиковые вершины диаграммы порядка графа переходов, называются эргодическими классами цепи. Если рассмотреть граф, изображенный выше, то видно, что в нем 1 эргодический класс M₁ = {S₅}, достижимый из компоненты сильной связности, соответствующей подмножеству вершин M₂ = {S₁, S₂, S₃, S₄}. Состояния, которые находятся в эргодических классах, называются существенными, а остальные — несущественными (хотя такие названия плохо согласуются со здравым смыслом). Поглощающее состояние s_i является частным случаем эргодического класса. Тогда попав в такое состояние, процесс прекратится. Для S_i будет верно p_ii = 1, т.е. в графе переходов из него будет исходить только одно ребро — петля.

Поглощающие марковские цепи используются в качестве временных  моделей программ и вычислительных процессов. При моделировании программы состояния цепи отождествляются с блоками программы, а матрица переходных вероятностей определяет порядок переходов между блоками, зависящий от структуры программы и распределения исходных данных, значения которых влияют на развитие вычислительного процесса. В результате представления программы поглощающей цепью удается вычислить число обращений к блокам программы и время выполнения программы, оцениваемое средними значениями, дисперсиями и при необходимости — распределениями. Используя в дальнейшем эту статистику, можно оптимизировать код программы — применять низкоуровневые методы для ускорения критических частей программы. Подобный метод называется профилированием кода.

Например, в алгоритме  Дейкстры присутствуют следующие состояния  цепи:

• vertex (v), извлечение новой вершины из очереди с приоритетами, переход только в состояние b;
• begin (b), начало цикла перебора исходящих дуг для процедуры ослабления;
• analysis (a), анализ следующей дуги, возможен переход к a, d, или e;
• decrease (d), уменьшение оценки для некоторой вершины графа, переход к a;
• end (e), завершение работы цикла, переход к следующей вершине.

Остается задать вероятности переходом между  вершинами, и можно изучать продолжительности  переходов между вершинами, вероятности  попадания в различные состояния и другие средние характеристики процесса.

Аналогично, вычислительный процесс, который сводится к обращениям за ресурсами системы в порядке, определяемом программой, можно представить  поглощающей марковской цепью, состояния  которой соответствуют использованию ресурсов системы – процессора, памяти и периферийных устройств, переходные вероятности отображают порядок обращения к различным ресурсам. Благодаря этому вычислительный процесс представляется в форме, удобной для анализа его характеристик.

Цепь Маркова  называется неприводимой, если любое состояние S_j может быть достигнуто из любого другого состояния S_i за конечное число переходов. В этом случае все состояния цепи называются сообщающимися, а граф переходов является компонентой сильной связности. Процесс, порождаемый эргодической цепью, начавшись в некотором состоянии, никогда не завершается, а последовательно переходит из одного состояния в другое, попадая в различные состояния с разной частотой, зависящей от переходных вероятностей. Поэтому основная характеристика эргодической цепи –  
вероятности пребывания процесса в состояниях S_j, j = 1,…, n, доля времени, которую процесс проводит в каждом из состояний. Неприводимые цепи используются в качестве моделей надежности систем. Действительно, при отказе ресурса, который процесс использует очень часто, работоспособность всей системы окажется под угрозой. В таком случае дублирование такого критического ресурса может помочь избежать отказов. При этом состояния системы, различающиеся составом исправного и отказавшего оборудования, трактуются как состояния цепи, переходы между которыми связаны с отказами и восстановлением устройств и изменением связей между ними, проводимой для сохранения работоспособности системы. Оценки характеристик неприводимой цепи дают представление о надежности поведения системы в целом. Также такие цепи могут быть моделями взаимодействия устройств с задачами, поступающими на обработку.