Вклад ученых Казани в развитие математики

   Содержание

1. Введение

 

2. Чеботарёв
• Теория Галуа и алгебраический числа
• Проблема резольвент
• Проблемы распределения корней
• Теория групп
• Теория алгебраических функций

 

3.   Лобачевский

• Неевклидова геометрия

 

4.  Ибрагимов

• Введение в теорию марковских цепей
• Классификация состояний марковских цепей
• Примеры использования

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   Математика- одна из важнейших наук в современном  мире. История математики знает множество не только зарубежных учёных, но и учёных России. Это- Левенштейн В. И. внесший в 1965 году  понятие дистанции редактирования, так же это и уроженец города Тула, Артамонов В. А.- Автор более 100 научных работ по универсальной алгебре, ассоциативной алгебре и некоммутативной алгебраической геометрии. Первооткрыватель клонов полилинейных операций и мультиоператорных алгебр, но и не малый вклад внесли учёные Казани.

   Цель  работы рассказать о казанских математиках  и показать на сколько важны их достижения. 

Чеботарёв. 

 

Николай Григорьевич Чеботарев родился 15 июня 1894 г. в семье юриста в г. Каменец-Подольский. Еще гимназистом младших классов он стал увлеченно заниматься математикой, обнаружив при этом склонность к самостоятельному творчеству. В 1912 г. Николай Григорьевич поступил в Киевский университет, где основательно изучил теорию Галуа, методы которой на протяжении всей своей жизни он так успешно применял к решению почти всех интересовавших его задач. На втором курсе он принимал активное участие в математическом семинаре под руководством профессора Д.А.Граве, выступал с докладами и продолжал самостоятельное изучение теории аналитических и алгебраических функций, я также теории алгебраических чисел и получил великолепный самостоятельный результат - доказал арифметическую теорему монодромии: " композит всех групп инерции нормального поля есть группа Галуа этого поля". В 1915 г. Киевский университет в связи с войной был эвакуирован в Саратов, где Чеботарев продолжал интенсивно заниматься математикой в тесном общении с Борисом Николаевичем Делоне, одним из выдающихся учеников Д.Д.Граве, впоследствии членом-корреспондентом АН СССР. Б.Н.Делоне ввел Чеботарева в курс современных проблем теории алгебраических чисел, по которым Николай Григорьевич впоследствии получил фундаментальные результаты. В 1916 г. Чеботарев был оставлен при университете " для приготовления к профессорскому званию" под руководством Д.А.Граве. В 1918 г., после сдачи магистерских экзаменов, был избран приват-доцентом университета и, кроме основной работы, занимался преподавательской деятельностью в средних учебных заведениях Киева. 1918-1921 гг. Николай Григорьевич называл киевским периодом, в течение которого он написал несколько работ, опубликованных значительно позднее. В 1921 г. Чеботарев переехал к своим родителям в Одессу, где он успешно занимался математикой и получил блестящие результаты, принесшие ему мировую известность, поставив его в ряд с классиками мировой математики. Диапазон научных интересов Николая Григорьевича был очень широк. Он занимался исследования ми конкретных, трудных задач классической математики из самых различных ее разделов. В 1927 г. Чеботарев был приглашен и избран по конкурсу профессором кафедры математики в Казанском университете н в 1928 г. приступил к своим обязанностям, которые исполнял без перерыва до 2 июля 1947 г., когда после тяжелой операции он скончался. В Казани Николай Григорьевич продолжает интенсивно работать: издает книги и учебные пособия, создает Казанскую алгебраическую школу. 
 

Теория  Галуа и алгебраический числа.

Главный результат  в теории Галуа, полученный Чеботаревым, состоит в решении проблемы Фробениуса об определении плотности множества простых чисел, при надлежащих заданному классу автофизмов группы Галуа нормального расширения поля рациональных чисел.

Еще в древности, во времена Евклида, была поставлена задача найти закон распределения простых чисел в натуральном ряде 1, 2. 3, 4, 5, То что простых чисел бесконечное множество, доказывается просто и было известно Евклиду, но закономерность их расположения не удавалось установить на протяжении более двух тысяч лет, несмотря на усилия выдающихся математиков. Так как натуральный ряд чисел 1. 2. 3,.. является арифметической прогрессией с разностью, равной единице, то получается, что в этой прогрессии лежит бесконечное множество простых чисел, а именно, все простые числа. Если взять арифметическую прогрессию общего вида mx+a,где наибольший общий делитель (m,a) неравен 1, то такая прогрессия не содержит ни одного простого числа. Остается случай, когда s=1.В 1937 Г. Дирихле доказал одну из глубоких теорем теории чисел: "В прогрессии mx+а, где (m,а)=1. лежит бесконечно много простых чисел". При решении этой задачи Дирихле ввел понятие плотности множеств простых чисел. Плотность множества всех простых чисел равна единице откуда следует, что плотность любого подмножества простых чисел не превосходит единицы. Дирихле доказал, что в прогрессиях простые числа распределены с одинаковой плотностью и указал численное значение этой плотности.

Фробениус поставил следующую задачу: определить плотность  множества простых чисел, принадлежащих  заданному классу подстановок произвольного нормального расширения поля рациональных чисел. Эту задачу Фробениусу решить не удалось, он решил другую, более частную: нашел плотность множества простых чисел принадлежащих другую, болеелегкую: нашел плотность множества простых чисел принадлежащих к отделу группы Галуа.

Но теорема  Фробениуса не является обобщением теоремы  Дирихле на любые поля алгебраических чисел. В 1922 г. Чеботарев решил проблему Фробениуса, доказав более общую  теорему.

Теорема Чеботарева является обобщением теоремы Дирихле на поля алгебраических чисел. При решении проблемы Фробениуса Николай Григорьевич применил созданный им метод присоединения к нормальному полю К поля деления круга W-метод, сыгравший выдающуюся роль в прогрессе теории алгебраических чисел. Этот метод в 1927 г. позволил Э.Артину доказать свой закон взаимности, что давало возможность отобразить арифметические свойства поля К в его группу Галуа аналогично основной теореме теории Галуа. отражающей алгебраические свойства поля К в группу Галуа. После доказательства артиновского закона взаимности теория полей классов была перестроена коренным образом. Работа Н.Г.Чеботарева впервые была опубликована в 1923 г. в Известиях Российской академии наук и в переводе на немецкий язык в журнале "Math.Ann." в 1925 г. и сразу же привлекла внимание математиков как советских, так и зарубежных, занявшихся улучшением и упрощением доказательства теоремы Чеботарева. Насколько важное значение имеет закон о плотностях простых чисел, доказанный Николаем Григорьевичем. можно судить по тому, что и в настоящее время пределы его применения все более расширяются; он применяется в проблеме построения полей с заданной группой Галуа, в теории абелевых l-адических представлений полей, в современном изложении теории Галуа и теории полей классов. Подробный комментарий к работе Чеботарева о плотности дан И.Р.Шафаревичем (см.: Чеботарев Н.Г. Собр. соч., т. 3).В области теории алгебраических чисел Чеботаревым написано свыше десяти работ, которые по служили отправной точкой для исследований молодых математиков.

Отметим хорошо известную классическую задачу древности, поставленную еще Гиппократом и  привлекавшую внимание крупнейших математиков  на протяжении двух с половиной тысяч  лет, задачу о кадрировании круговых луночек при помощи циркуля и линейки. Основная роль в решении этой задачи принадлежит Чеботареву. который решил ее благодаря синтезу результатов Дедекинда. Оре и других. В 1934 г. Николай Григорьевич решил задачу для случая, когда отношение угловых мер дуг, ограничивающих луночку, соизмеримо и равно m/n, где m,n- взаимно простые и оба нечетные, а в 1947 г. его ученик А.В.Дороднов исследовал вторую половина задачи, когда одно из чисел m,n - четное. Так была решена геометрическая задача методом современной алгебры. 
 

Проблема резольвент.

Пусть дано алгебраическое уравнение степени n с коэффициентами зависящими от k параметров. Проблема резольвент Клейна состояла в том, чтобы найти такое преобразование Чирнгаузена, при котором коэффициенты резольвенты зависели бы от возможно меньшего числа параметров. В 1900 г. Д.Гильберт обобщил эту проблему.

Н.Г. Чеботарев, занимаясь проблемой резольвент Клейна - Гильберта, опубликовал ряд работ; в которых среди различных результатов содержится и такой: для того, чтобы уравнение имело k-параметрическую резольвенту Клейна, необходимо и достаточно, чтобы его группа Галуа была подгруппой группы Ли, допускающей представление в k-мерном пространстве. В 1943 г. Николай Григорьевич занимается проблемой резольвент Гильберта, вводя в исследование задачи предложенное им новое понятие критического многообразия.

Результаты  работ Чеботарева по проблеме резольвент были высоко оценены специалистами  и Советским правительством, за совокупность работ ему была присуждена Сталинская премия первой степени.

Проблемы  распределения корней.

Еще в Одессе Николай Григорьевич распространил  теорию исключения переменных для многочленов  целые трансцендентные функции  и применил свой метод к нахождению критериев однолистности аналитических  функций. Эта проблема привела его к постановке целого ряда новых проблем о продолжаемости полиномов. Содержание проблемы состоит в следующем: дан многочлен и множество M; требуется дописать к многочлене старшие так, чтобы все корни нового многочлена лежали в множестве M. Если это возможно, то многочлен называется M-продолжаемым.

В 1936 г. ученик Чеботарева, в то время его аспирант, Л.И.Гаврилов решил проблему К-продолжаемости, где К-окружность единичного радиуса с центром в начале координат. Оказалось, что всякий многочлен К-продолжаем.

Проблемой R-продолжаемых многочленов, где R - вещественная ось, успешно занимался другой аспирант Чеботарева - Н.Н.Мейман. Эта проблема оказалась весьма трудной, так как необходимые и достаточные условия для R-продолжаемости выражаются бесконечным множеством неравенств, налагаемых на коэффициенты многочлена. Однако Мейман нашел алгоритм, при помощи которого конечным числом действий задача может быть решена. За эту работу, поданную как кандидатская диссертация, Н. Н. Мейман по лучил сразу ученую степень доктора физико-математических наук Осталась нерешенной проблема H-продолжаемости, где H - левая полуплоскость. По-видимому, она весьма трудна. Ее возникновение было вызвано приложен иен к решению инженерных задач при конструировании паровых турбин.

Теория  групп.

Проблема теории резольвент тесно связана с теорией  групп Ли. Занимаясь резольвентами, Николай Григорьевич заинтересовался  теорией групп Ли и получил  в этой области ряд результатов. Так, в 1938 г, он предложил доказательство гипотезы Картана, высказанной в 1894 г. о том, что " подгруппы наибольшего порядка простых групп Ли суть регулярные подгруппы&quot. Эта теорема позволяет заключить, что проблема резольвент Клейка дает худшее приведение числа параметров, чем проблема резольвент Гильберта. По теории групп Ли Чеботарев опубликовал восемь работ.

В 1940 г. Николай  Григорьевич издает книгу "Теория групп Ли", являющуюся первой книгой на русском языке по группам Ли. Книга сразу получила признание  у математиков и физиков, применяющих  в своих исследованиях методы теории групп Ли. В этой области математики Чеботареву особенно посчастливилось, он имеет двух учеников, которые внесли в науку вклад огромного значения.

При работе над  проблемой резольвент Н.Г.Чеботарев  встретился с вопросом об "одевании" конечных групп группами Ли, что привело к задаче о представлении алгебр Ли матрицами. Эту тему он дал своему аспиранту И.Д.Адо.

В 1935 г. И. Д. Адо  решил задачу, доказав Теорему (Адо). Эта работа была подана как кандидатская диссертация, но ученый совет присудил за нее сразу ученую степень доктора физико-математических наук, и она принесла двадцатипятилетнему И.Д.Адо мировую известность. Полученный результат вошел в современные монографии по теории алгебр Ли и называется теоремой Адо.

Второй ученик В.В.Морозов в 1938 г. решил проблему перечисления всех примитивных представлений неполупростых групп Ли, а в 1943 г. в своей докторской диссертации разыскал все неполупростые максимальные подгруппы простых групп Ли и в дальнейшем опубликовал ряд работ, результаты которых также вошли в монографии по алгебрам Ли. Кроме плодотворной научной и педагогической деятельности. Э. В. Морозов принял на себя труд по продолжению деятельности Казанской алгебраической школы, которую он возглавлял на протяжении двадцати восьми лет, заведуя кафедрой алгебры после Н. Г. Чеботарева.

Теория  алгебраических функций.

Задачами из теории алгебраических функций Н.Г.Чеботарев  интересовался, будучи еще студентом  второго курса университета. Первая задача, которую он поставил перед  собой - обосновать при помощи теории Галуа инвариантные свойства полей алгебраических функций. В 1948 г. опубликована книга "Теория алгебраических функций & quot. Б которой поставлена проблема перечисления всех подполей поля алгебраических функций, являющаяся аналогом основной теоремы теории Галуа для полей алгебраических чисел (Чеботарев подчеркивал, что, насколько ему известно, эта задача никем не ставилась, по-видимому, она весьма трудна). Известно, что каждому полю алгебраических функций рода g от одной независимой переменной можно СОПОСТАВИТЬ v- функцию от аргументов. Возникает вопрос, можно ли исходя от заданной v-функции от h аргументов придти к полю алгебраических функций рода h? Этой задачей занимался Пуанкаре и дал эскиз доказательства для любого h. Николай Григорьевич провел полное доказательство и предложил свой способ узнавать, когда выполняются условия разрешимости задачи. 

Алгебраическая функция, функция, удовлетворяющая алгебраическому уравнению. Алгебраическая функция принадлежит к числу важнейших функций, изучаемых в математике. Из них многочлены и частные многочлены например, 
 
 
 
  называются рациональными, а прочие Алгебраические функции - иррациональными. Простейшими примерами последних могут служить Алгебраические функции, выражаемые с помощью радикалов например, 
 
 
 
  Однако существуют Алгебраическая функция, которые невозможно выразить через радикалы [например, функция у = f (х), удовлетворяющая уравнению: y⁵ + 3ух⁴ + x⁵ = 0]. Примерами неалгебраических, т. н. трансцендентных функций, встречающихся в школьном курсе алгебры, являются: степенная x^a (если a - иррациональное число), показательная а^х, логарифмическая и т. д. Общая теория Алгебраическая функция представляет обширную математическую дисциплину, имеющую важные связи с теорией аналитических функций (Алгебраическая функция составляют специальный класс аналитических функций), алгеброй и алгебраической геометрией. Самая общая Алгебраическая функция многих переменных u = f(x, у, z, ...) определяется как функция, удовлетворяющая уравнению вида: 
 
Р_о(х, у, z, ...)uⁿ + P₁(x, y, z, ...)u^n-1 + … +P_n(x, y, z, ...) = 0,          (1) 
 
где Р₀, Р₁, ..., P_n - какие-либо многочлены относительно х, у, z,... . Всё выражение, стоящее в левой части, представляет некоторый многочлен относительно х, у, z,... и n. Его можно считать неприводимым, т. е. не разлагающимся в произведение многочленов более низких степеней; кроме того, многочлен P₀ можно считать не равным тождественно нулю. Если n = 1, то u представляет рациональную функцию (u = -P₁/P₀), частным случаем которой - целой рациональной функцией - является многочлен (если P₀ = const ¹ 0). При n > 1 получается иррациональная функция; если n = 2, то она выражается через многочлены с помощью квадратного корня; если n = 3 или n = 4, то для u получается выражение, содержащее квадратные и кубические корни. 
 
  При n ³ 5 число каких бы то ни было корней из многочленов. Иррациональная Алгебраическая функция всегда многозначна, а именно (при наших обозначениях и предположениях) является n-значной аналитической функцией переменных х, у, z,...