Векторы

 
 
 
 
 
 

 k   

                                                a 

            j    b

      i 

Рис. 8  

   Если хотя  бы один из векторов  и нулевой, то векторное произведение двух векторов считается   равным нулевому вектору: 

= 1. 

  Векторное произведение двух ненулевых векторов и , заданных своими координатами: и    , есть вектор              

, 
 
 

где ,  , - определители второго порядка.

Свойства  векторного произведения: 

 

(p – число) 

  Смешанное (скалярно- векторное) произведение векторов. Пусть Оxyz – прямоугольная декартова система координат с правым базисом (i; j; k). Смешанным произведением трех ненулевых некомпланарных векторов, заданных своими координатами относительно базиса (i; j; k) 

         а = ,    b = ,      с = ,

называется число, абсолютная величина  которого равна объему параллелепипеда с ребрами a, b, c и которое положительно, если упорядоченная тройка векторов ( ,  , ) образует правый базис, и 

 отрицательно, если левый*) (рис. 9).

  k Смешанное произведение 

                                                    векторов

                                                  (a; b; c ) часто обозначается

        j                       .

                                                  Если  векторы ,  , компланарный,

     i                                           то смешанное произведение считается                                 

               с                                 равным нулю:

                

      b

                   а

           c      b                                

                a

         

       

Рис. 9

 

Свойства смешанного произведения: 

. 

  Базисные векторы.

   Рассмотрим  некоторый ненулевой вектор  , направленный вдоль прямой l. Возьмем произвольные точки и , рассмотрим вектор . Оба вектора и направлены вдоль прямой l, и поэтому существует такое число k, что = . В этом случае говорят, что вектор  является базисным вектором прямой. 
 

                  l                        На плоскости базисных векторов должно            

                              быть два.  Базисом плоскости называется пара

        С      ненулевых неколлинеарных векторов и

 

В    

Всякий  вектор  на плоскости  можно разложить по базисным векторам, то есть существуют такие числа x и y, что  .

   Обычно на  плоскости в качестве базисных  векторов принято выбирать векторы и , длины которых равны единице, а направления совпадают с направлениями положительных координатных полуосей. Такие векторы называются координатами векторами или ортами. Так  как координатные векторы отличны от нуля и неколлинеарные, то любой вектор можно разложить по этим векторам : 

. 

Иногда координатные векторы обозначают по-другому: вектор и вектор . 
 
 
 
 
 
 

              y

         C 

          

                  B        

       y           

                         

       

      

         O         x x 
 

В пространстве вектор может быть выражен через три базисных вектора. Тройка ненулевых вектор ,  и образует базис пространства, если эти векторы являются некомпланарными, т. е. , ни один из них не выражается через два других.

Разложение вектора  по базисным векторам , , выглядит так : 

. 

Координатными векторами  в пространстве называются векторы  , которые имеют единичную длину и направления, совпадающие с направлениями положительных координатных полуосей ( рас. прямоугольную систему координат). Иногда эти векторы обозначают . Вектор является единичным вектором оси ординат, вектор   - единичным вектором оси аппликат. 

 

                                                                                                  

     C

            y B 

 

                                         

            

                                              

      

                                      

                                                                                         

  

 z       x   
 
 
 
 

Длина вектора. 

Длиной (модулем или абсолютной величиной) ненулевого  вектора называются длина отрезка АВ. Обозначается . Если вектор – нулевой, то его длина считается равной нулю, т.е. .

Например:

 

Если точки А и В, которые являются началом и концом вектора , имеют на плоскости координаты A(x;y) и B , то:

Если сам вектор имеет на плоскости координаты , то:

Если вектор задан  в пространстве, то: , где - координаты вектора АВ или , где А(x;y;z), В . 

Задача.1

Найти K и B имеют координаты K (-1;7;2); B(2;-3;0). Найти длину вектора ВК.

Решение.

Ответ:  

Задача.2

Найти  абсциссу точки K (x;1), если М (2;3) и длина вектора  КМ равно 2.

Решение.

Ответ: 2

Задача.3

В ромбе АВСD: АВ=5; АС=6, точка О- точка пересечения  диагоналей ромба.

Найти

Решение: 
 

                                             1) Постоем вектор

                                 B                               (по прав.                   

                                                         треугольника)

      

 A O C Таким образом  
 

           D

 2) Найдем длину вектора .

Т.к. диагонали  ромба пересекаются под прямым углом  и в точке пересечения делятся  пополам то треугольник COD- прямоугольный  и OС=АС÷2=6÷2=3

СD=AB=5 (т.к. сторона  ромба)

По теореме Пифагора

Ответ: 4 

Задача.4

Точка C – середина отрезка AB. Найдите координаты точки B, если  известны координаты точек A(-3;4;5) и С (2;-1;4)

 

Решение:

Координаты середины отрезка точки С  , где A и B . Тогда С .

Зная координаты точки C – середины отрезка, получим  систему:

Решенной данной системы является тройка чисел(7; -6;3).  Значит координаты точки B (7; -6;3). 

Ответ: B (7; -6;3) 

Единичный вектор –  это вектор, длина которого равна единице масштаба.  Единичный вектор , направление которого совпадает с направлением некоторого вектора называется ортом этого направления. При этом .  орты, направления которых совпадают с положительными направлениями координатных полуосей , называются координатными векторами.  
 
 
 
 
 
 
 
 

Где применяются векторы  на практике 
 

Ну вот векторное  исчисление используется во всех физических теориях, Физика служит теоретической основой инженерии. Egro, векторы «работают» везде, от строительства домов до запуска ракет.

Векторы применяются  везде. С этим утверждением можно  согласиться.  
Векторное исчисление - векторный анализ .... Не хочется обижать. ( я не имею ввиду именно операции с векторами.) Обычно все бросают векторный анализ, и решают проблемы обычными методами. Радость математиков обычно вызывает удачная подгонка применения векторного анализа для повторного решения задачи, которая уже было решена обычными методами.  
 
На заключительном этапе вычислений, действительно, используют координатную запись. Но векторы исключительно удобны потому, что позволяют записывать законы в компактной форме, при этом максимально проясняя физический смысл формул. Сравните УМ в стандартной векторной записи и распишите их же покоординатно - почувствуйте разницу.  
 
«Тем не менее [Хэвисайд] значительно упростил 20 уравнений Максвелла с 20 переменными, сведя их к двум уравнениям с двумя переменными - векторами электрического и магнитного поля. ... Методы Хевисайда были не менее важны, чем его результаты. Он научил физиков мира оперировать векторами. Над векторами могут выполняться арифметические действия, а также дифференциальные операции. Действия над векторами не всегда просты: векторное произведение двух векторов зависит от порядка их перемножения. У векторного исчисления были и противники. Шотландский физик Питер Тейт, друг Максвелла и Кельвина активно боролся с векторами и пропагандировал кватернионы - четверки чисел. Векторы трудно завоевывали сознание людей, но постепенно они стали так широко применяться в математике и физике, что имена тех, кто их придумал, стерлись из памяти людской.» 
 
 
 

Литература. 

Г.И. Глейзер- История математики в школе. Москва «Просвещение» 1982г.

А. Г. Цыпкин – Справочник по математике для  средних учебных  заведений. Москва  «Наука» главная  редакция физико-математической литературы  1988г.  

www.scietific.ru

Л.С. Атанасян - Геометрия 10-11. Москва «Просвещение» 2007г.

Л.С. Атанасян - Геометрия 7-9. Москва «Просвещение» 2001г.