Векторы

Векторы 

План

Введение 

 Из истории  векторов. 

Основные понятия. 

Равенство  векторов 

Умножение вектора  на число

Угол между векторами. Скалярное произведение векторов. 

Координаты вектора  на плоскости 

Правила действий над  векторами, заданными координатами 

Векторное произведение. 

Координаты вектора  на плоскости 

 Смешанное (скалярно- векторное) произведение векторов. 

Базисные векторы. 

Длина вектора. 

Где применяются  векторы на практике 

Литература.                   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение 

Поводом для выбора темы «Вектор», послужили две причины. Во-первых, это статья, на которую я натолкнулась случайно. В ней было обосновано: « Что же такое вектор? Как ни странно, ответ на этот  вопрос  представляет

известные затруднения. Существуют различные подходы  к  определению понятия вектора; при этом даже если ограничиться лишь наиболее интересным здесь  для нас элементарно-геометрическим подходом к понятию вектора, то и тогда  будут иметься различные взгляды на это понятие…». И этим она меня заинтересовала. Второй причиной послужило то, что в школе на уроках геометрий мне нравилось изучать тему «векторы». 
 

Из  истории векторов. 

 Под векторной величиной или вектором (в широком смысле слова) понимают величину, обладающую направлением, как, например, сила, скорость, ускорение и т.п.

 Величину, не имеющую направления, называют скалярной или скаляром.

Интерес  к векторам и векторному исчислению пробудился у математиков XIX в. в связи с потребностями механики и физики.

 Однако истоки исчисления с направленными отрезками возникли  в далеком прошлом. В Древней Греции пифагорейцы, открыв иррациональные числа, которые нельзя выразить дробями (например: ,  и др.), не решились ввести более широкое толкование числа. Математика того времени попытались свести вопросы арифметики и алгебры к решению задач геометрическим путем. Таким образом, было положено начало геометрической теории отношений Евдокса (408-355 гг. до н. э.), а позднее « геометрической алгебре».  В геометрическом исчислении, изложенном в труде Евклида  «Начала», сложение и вычитание сводилось к сложению и вычитанию отрезков, а умножение – к построению прямоугольников на отрезках, соответствующих по длине множителям.

Впоследствии в XVI – XVII вв. геометрическая алгебра из-за ограниченности своих средств исследования стала тормозом развития науки.

 Однако геометрические исчисления сыграли значительную роль в развитии математики, в том числе и для теории векторов, послужив истоком развития этой теории.

В 1587 г. был опубликован на голландском языке трактат фламандского ученого С. Стевина  «Начала статики». В нем автор, рассматривая сложение сил, приходит к выходу, что для нахождения результата сложения двух сил, действующих под углом , необходимо воспользоваться «параллелограммом сил», при этом для обозначения сил С. Стевин ввел стрелки. Иначе говоря, С. Стевин впервые ввел сложение двух векторов, перпендикулярных друг другу.

Значительно позже  французский математик Луи Пуансо (1777 – 1859) в книге «Элементы статики», вышедшей в 1803 г., разрабатывает теорию векторов, которой пользуется при рассмотрении сил, действующих в различных направлениях.

 Термин «вектор» происходит от латинского слова vector, что означает несущий или ведущий, влекущий, переносящий.

Продолжительное время  вектор рассматривался только как направленный отрезок, один из концов которого называли началом, а второй – его концом. С разработкой теории преобразований вектор стали рассматривать не только как направленный отрезок, но и как  параллельный   перенос, заданный отрезок, но и как параллельный перенос, заданный парой точек – точкой О и не образом O’.

  В  современной математике раздел, в котором излагается учение о действиях с векторами, называют векторной алгеброй, так как эти действия имеют много общих свойств с алгебраическими действиями.

        
 
 
 
 
 
 
 
 

                  
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Основные понятия. 

 Пусть А и В – две различные точки плоскости. Отрезок АВ, у которого точку А считают началом, а точку В – концом, называют вектором АВ и обозначают . О векторе говорят также, что он приложен к точке А. Направление, определяемое лучом АВ, называют направлением вектора , а длина отрезка АВ называется длиной (или модулем) вектора . Модуль вектора обозначается . На чертежах вектор обычно изображают прямолинейной стрелкой с началом в точке А и концом в точке В (рис. 1)

                                 Среди всех векторов с началом  в точке А 

                                имеется один вектор, длина которого                                 

                     В         равна нулю. Считается, что этот вектор 

                                 начинается и кончается в точке А.        

                                 Вектор, начинающийся и кончающийся в

      А                        точке А, называется нулевым вектором и

                    Рис. 1      обозначается . Понятие направления для нулевого вектора не вводится.

Определение пространственного  вектора дословно совпадает с  определением вектора на плоскости, при этом лишь считают, что точки  А и В – две точки пространства.

  Равенство  векторов.  Пусть и - два вектора плоскости (или пространства).  Говорят, что вектор равен вектору , и пишут = , если:

1. длина отрезка АВ равна длине отрезка СD;
2. лучи АВ и СD одинаково направления.

При таком определении равенства векторов множество всех векторов, равных вектору  ,  называют свободным вектором. Свободные векторы обычно обозначают малыми латинскими буквами: a, b, c, x, а их длины – соответственно

  Нулевой вектор обычно обозначают 0.

 Каждый ненулевой свободный вектор а имеет бесконечно много изображений в виде направленных отрезков, отложенных от разных точек плоскости (пространства) , , …, , … так, что длины отрезков , , …, , …, равны длине вектора а, а лучи , , …, , … сонаправлены, и их направление совпадает с направлением вектора а (рис. 2). Нулевой свободный вектор 0 также имеет бесконечно много изображений в виде точек  плоскости.

 Свободный вектор обычно называют просто вектором.

 Множество  равных между собой векторов, принадлежащих

одной прямой, называется скользящим вектором.

Наряду со свободными и скользящими                                                                                                                             

векторами рассматриваются                                                               

связанные векторы, которые                                                                                                     

характеризуются модулем,                                                                           

направлением и положением                                                                                          

начальной точки,                                  

называемой  точкой приложения.                                                                                       

 Два связанных вектора                          

считаются равными, если

они имеют не только равные

модули и одинаковые                           Рис. 2

направления, но и  общую

начальную точку, т. е. равные связанные векторы –  это совпадающие векторы.

Вектор  на плоскости может  быть введен с использованием понятия изометрии  или, точнее говоря, частного случая изометрии  – понятия параллельного переноса.

  Изометрией называется отображение плоскости на себя, при котором сохраняются расстояния между точками.

  Параллельным переносом называется отображение плоскости на себя, при котором все точки плоскости перемещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.

В этих терминах вектором (параллельным переносом), определяемым упорядоченной парой несовпадающих точек (А; В), называется  преобразование плоскости, при котором каждая точка М плоскости отображается на такую точку этой плоскости, что луч сонаправлены с лучом АВ и расстояние равно расстоянию  .

  Любая пара совпадающих точек задает тождественное преобразование (т. е. преобразование, которое любую точку плоскости отображает на себя). Тождественное преобразование называют нулевым вектором и обозначают символом .

  Сложение векторов.  Пусть и – два ненулевых вектора. Отложим вектор   от точки О и обозначим его конец буквой А (рис. 3): = . Отложим от точки А вектор и обозначим его конец буквой В:  = . Вектор с началом в точке О и концом в точке В ( = ) называют суммой вектора и и пишут

                                       .

 О векторе c говорят, что он получен в результате сложения векторов и .                                                                                      

                  А        b        B   C D

          a 

                               c = a + b.                                                 a    

      c

                                                                                            

                                                                                                                        b 

    O       A  B       

      Рис. 3                                                                     Рис.4  

Свойства операции сложения векторов:

  1) свойство нулевого вектора:

; 

  2) ассоциативность:   

       ; 

  3) коммутативность:

        

 Сумма двух неколлинеарных векторов и можно построить по правилу, называемому правилом параллелограмма. Отложим от

точки А векторы  = и = (рис. 4). Через конец вектора проведем прямую, параллельную вектору , а через конец вектора – прямую, параллельную вектору . Пусть С – точка пересечения построенных прямых. Вектор  = – сумма вектора и :

.

 Вектором, противоположным вектору , называют вектор, обозначаемый – , такой, что сумма векторов и – равна нулевому вектору: 

       . 

 Вектор, противоположный вектор , обозначается также : 

                            + = = 0. 

  Ненулевые противоположные векторы имеют равные длины и противоположные направления.