Автор: Пользователь скрыл имя, 17 Сентября 2013 в 18:24, лекция
Цель лекции: Ввести понятие n-мерного вектора и операций над ними. Ввести понятие линейной зависимости векторов, базиса и ранга системы векторов
Перечень вопросов, выносимых для рассмотрения:
1. Геометрические векторы и линейные операции над ними.
2. Арифметические векторы. Линейные операции над векторами и их свойства. Понятие n-мерного векторного пространства.
3. Скалярное произведение векторов и его свойства.
1. Пусть дана система из двух векторов и . Если система линейно зависима, то один из векторов, допустим , линейно выражается через другой:
Два вектора, связанные такой зависимостью, как уже сказано, называются коллинеарными. Итак, система из двух векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарны. Заметим, что такое заключение относится не только к R3, но и к любому R n.
2. Пусть система в R 3 состоит из трех векторов , , . Линейная зависимость означает, что один из векторов, скажем , линейно выражается через остальные:
Если считать, что все векторы , , имеют общее начало, то отсюда следует, что все три вектора лежат в одной плоскости.
Определение 4. Три вектора называются компланарными, если они лежат на одной плоскости или на параллельных плоскостях.
Итак, если три вектора в R3 линейно зависимы, то они компланарны. Справедливо и обратное: если векторы , , из R3 компланарны, то они линейно зависимы.
Приведенные выше векторы (1, 6), (1, 2), (0, 2) являются компланарными.
Свойства линейно зависимой системы векторов:
1. Система, состоящая из одного вектора, линейно зависима.
2. Система, содержащая нулевой вектор, всегда линейно зависима.
3. Система, содержащая более
одного вектора, линейно
Пусть A — какая-нибудь система векторов, тогда ее подсистема N называется базисом этой системы, если N линейно независима, и любой вектор системы A есть линейная комбинация векторов из N.
Пусть A . Если N,= { }, то = при некоторых . Линейная комбинация называется разложением вектора по векторам , а числа называются коэффициентами этого разложения.
Эти коэффициенты называются координатами вектора в базисе N.
Теорема 1. Любая система векторов имеет хотя бы один базис. Число элементов в любом базисе данной системы одно и то же. Координаты любого вектора в базисе определяются однозначно.
Теорема 2. В пространстве R n любая система векторов в количестве более п является линейно зависимой.
Определение 5. Максимально независимая подсистема системы векторов A называется ее базисом. Число векторов базиса называется рангом системы векторов.
Теорема 3. Система n векторов является базисом пространства R n, если:
1. Векторы
этой системы линейно
2. Всякий вектор из R n линейно выражается через векторы данной системы.
Базис пространства R n, в котором каждый вектор ортогонален остальным векторам базиса, называется ортогональным, т.е.
Векторы пространства R n образуют ортонормированный базис, если эти векторы попарно ортогональны и модуль каждого из них равен единице, т.е. если
Например, орты (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) образуют ортонормированный базис трехмерного пространства. Любой вектор разлагается по ортам следующим образом:
Пример. Найти разложение вектора = (3,-1,2) по векторам =(2,0,1), =(1,-1,1) и =(1,-1,-2).
Решение. Искомое разложение вектора имеет вид =α +β +γ . Т.к векторы равны, если равны их соответствующие координаты, то это векторное уравнение относительно α, β и γ эквивалентно системе трех линейных уравнений с тремя неизвестными
Данная система имеет единственное решение α=1, β=1, γ=0. Поэтому = + .
Ответ. = + .
1.4 Вопросы для самопроверки.
1. Что называется геометрическим вектором?
2. Понятие суммы двух геометрических векторов и .
3. Понятие разности двух геометрических векторов и .
4. Понятие произведения геометрического вектора на число .
5. Разложение вектора по единичным координатным векторам в трехмерном пространстве.
6. Формула для вычисления модуля геометрического вектора через его координаты.
7. Определение скалярного произведения двух геометрических векторов (через угол между векторами).
8. Какие векторы называются ортогональными, сонаправленными, противоположно направленными?
9. Условие ортогональности двух векторов.
10. Определение арифметического n-мерного вектора.
11. Понятие суммы двух n-мерных векторов (через координаты).
12. Понятие произведения n-мерного вектора на число (через координаты).
13. Понятие n-мерного векторного пространства.
14. Определение скалярного произведения двух арифметических n-мерных векторов (через координаты)
15. Какие вектора называются коллинеарными?
16. Условие коллинеарности векторов через координаты.
17. Как коллинеарность двух векторов связана с их ортогональностью, сонаправленностью, противоположно направленностью?
18. Какие вектора называются компланарными?
19. Что называется базисом системы векторов?
1.5 Решение задач
1 |
Вычислить скалярное произведение векторов и |
||||||||||||||
1.1 |
= (1; 1; 4) и = (3; 4;–2) |
1.2 |
= (3;–2; 3) и = (1; 2; 1) |
||||||||||||
1.3 |
= (–5; 1; 3) и = (2; 2; 2) |
1.4 |
= (1; 2;–5) и = (2; 4; 3) |
||||||||||||
2.1 |
Вычислить значение х, при котором скалярное произведение векторов = (2; х; 4) и = (1; 2; х) равно 8 |
||||||||||||||
2.2 |
Вычислить значение х, при котором скалярное произведение векторов = (–3; –х; 1) и = (–2; 2; х) равно 1 |
||||||||||||||
2.3 |
Вычислить значение х, при котором скалярное произведение векторов = (х; 1; 2) и = (8; 3; –2) равно 15 |
||||||||||||||
2.4 |
Вычислить значение х, при котором скалярное произведение векторов = (-1; 2; –3) и = (х; х; –1) равно 2 |
||||||||||||||
2.5 |
Вычислить значение х, при котором вектора = (2х; 3; 5) и = (1; 2; –х) ортогональны |
||||||||||||||
2.6 |
Вычислить значение х, при котором вектора = (1; х; 3) и = (4; 1; х) ортогональны |
||||||||||||||
2.7 |
Вычислить значение х, при котором вектора = (–5; х; 1) и = (–1; 2; –х) ортогональны |
||||||||||||||
3.1 |
Для вектора вычислить , где – скалярный квадрат |
||||||||||||||
3.2 |
Для вектора вычислить , где – скалярный квадрат |
||||||||||||||
3.3 |
Для векторов и вычислить скалярный квадрат |
||||||||||||||
|
3.4 |
Для векторов и вычислить |
||||||||||||||
|
3.5 |
Для векторов и вычислить |
||||||||||||||
|
4 |
Вычислить скалярное произведение векторов с заданными модулями и углом φ между векторами |
||||||||||||||
4.1 |
4 и 3 , φ = /4 |
4.2 |
0,5 и 2 , φ = /6 |
||||||||||||
4.3 |
2 и 3, φ = /3 |
4.4 |
и 1, φ = 300 |
||||||||||||
4.5 |
5 и 6, φ = 600 |
4.6 |
4 и 5, φ = /3 |
||||||||||||
4.7 |
Вычислить скалярное произведение сонаправленных векторов с модулями и |
||||||||||||||
|
4.8 |
Вычислить скалярное произведение противоположно направленных векторов с модулями и |
||||||||||||||
|
5 |
Найти скалярное произведение: |
||||||||||||||
5.1 |
, если и – единичные сонаправленные векторы |
||||||||||||||
5.2 |
, если и – единичные сонаправленные векторы |
||||||||||||||
5.3 |
, если и – единичные ортогональные векторы |
||||||||||||||
5.4 |
, если и – единичные ортогональные |
||||||||||||||
Найти скалярный квадрат |
|||||||||||||||
5.5 |
, если и – противоположно направленные единичные векторы |
||||||||||||||
5.6 |
, если и – ортогональные единичные векторы |
||||||||||||||
6 |
Найти модуль вектора , если: |
||||||||||||||
|
6.1 |
= , скалярное произведение ( ; )=2 и угол между векторами и равен |
||||||||||||||
|
6.2 |
=8, скалярное произведение ( ; )=12 и угол между векторами и равен |
||||||||||||||
|
6.3 |
вектора и сонаправлены, =6 и скалярное произведение =18 |
||||||||||||||
|
6.4 |
вектора и противоположно направлены, =7 и скалярное произведение = –28 |
||||||||||||||
Вычислить модуль вектора , если: |
|||||||||||||||
|
6.5 |
=2, скалярное произведение ( ; )=4 и угол между векторами и равен /3. |
||||||||||||||
6.6 |
вектора и сонаправлены, =12 и скалярное произведение ( ; )=6. |
||||||||||||||
|
6.7 |
вектора и противоположно направлены, =2 и скалярное произведение ( ; )= –6 |
||||||||||||||
7 |
Вычислить угол (0 ) между векторами и , если: |
||||||||||||||
7.1 |
и скалярное произведение ( ; ) = 6 |
||||||||||||||
7.2 |
и скалярное произведение ( ; ) = . |
||||||||||||||
7.3 |
= 3, = и скалярное произведение ( ; ) = 6 |
||||||||||||||
7.4 |
= 4, = и скалярное произведение ( ; ) = 6. |
||||||||||||||
8 |
Вычислить модуль вектора |
||||||||||||||
8.1 |
= (4; –3) |
8.2 |
= (1; 2; –2) |
8.3 |
= (5; 3; 1; 1) |
||||||||||
8.4 |
= (–4; 2; 4) |
8.5 |
= (6; 2; –3) |
8.6 |
= (4; 4; -2) |
||||||||||
9.1 |
Вычислить положительное значение x, при котором модуль вектора равен 7 |
||||||||||||||
|
9.2 |
Вычислить положительное значение x, при котором модуль вектора равен 3 |
||||||||||||||
9.3 |
Вычислить отрицательное значение x, при котором модуль вектора равен 6 |
||||||||||||||
9.4 |
Вычислить отрицательное значение x, при котором модуль вектора равен 3 |
||||||||||||||
10 |
Найти угол (наименьший неотрицательный) между векторами AB и AC |
||||||||||||||
10.1 |
А(2,-2,3), В(1,-1,2), С(4,-4,5). |
10.2 |
А(-1,2,-2), В(3,4,-5), С(1,1,0). |
||||||||||||
10.3 |
А(-2,-2,0) , В(1,-2,4), С(5,-2,1). |
10.4 |
А(3,3,-1), В(3,2,0), С(4,4,-1). |
||||||||||||
10.5 |
А (-1,-7,-4 ) , В(2,-1,-1), С(4,3,1). |
10.6 |
А(2,-2,6), В(0,0,4), С(6,-6,10). |
||||||||||||
11 |
Написать разложение вектора по векторам , и . |
||||||||||||||
11.1 |
=(0, -1, 2), |
=(1, 0, -1), |
=(-1, 2, 4). |
||||||||||||
11.2 |
=(1, -3, 0), |
=(1, -1, 1), |
=(0, -1, 2). |
||||||||||||
11.3 |
=(3, 1, -1), |
=(0, -3, 1), |
=(1, 1, 1). |
||||||||||||
11.4 |
=(2, 1, 1), |
=(-2, 0, -3), |
=(-1, 2, 1). |
||||||||||||
11.5 |
=(2, 0, 1), |
=(1, 2, -1), |
=(0, 4, -1). |
||||||||||||
11.6 |
=(-1, 1, 0), |
=(2, -l, 3), |
=(l, 0, l) . |
||||||||||||
12 |
Коллинеарны ли векторы и |
||||||||||||||
|
12.1 |
=(1, 2, - 3), |
=(1, 0, - 1), |
=З + 6 , |
=- + 2 . |
|||||||||||
12.2 |
=(1, 2, 3), |
=(2 ,-1, 0), |
=6 - 2 , |
=-3 + . |
|||||||||||
12.3 |
=(2, 0, 1), |
=(- 2, 3, 1), |
=2 + 2 , |
=3 -2 , |
|||||||||||
12.4 |
=(1, 3, -1), |
=(2, 1, 3), |
=6 - 3 , |
=-4 + 2 . |
|||||||||||
12.5 |
=(- 2, 2, 1), |
=(- 1,-2, 2), |
= + 3 , |
=2 - . |
|||||||||||
12.6 |
=(-1,-2, 2), |
=(1, 0, 2), |
= + 3 , |
=2 - 6 . |
|||||||||||
12.7 |
=(-1, 2, 3), |
=(2, 1, 1), |
=2 + 3 , |
= - . |
|||||||||||
12.8 |
=(1, 3, 2), |
=(1,-2, 6), |
= - |
=-6 + 6 . |
|||||||||||
Информация о работе Векторы. Линейные операции над векторами. Скалярное произведение векторов