Векторы. Линейные операции над векторами. Скалярное произведение векторов

Тема №1. Векторы. Линейные операции над векторами. Скалярное  произведение векторов

 

Цель лекции: Ввести понятие n-мерного вектора и операций над ними. Ввести понятие линейной зависимости векторов, базиса и ранга системы векторов

Перечень вопросов, выносимых для рассмотрения:

1. Геометрические векторы  и   линейные операции над ними.

2. Арифметические векторы.  Линейные  операции над векторами и их  свойства.   Понятие n-мерного векторного пространства.

3. Скалярное произведение векторов  и его свойства.

4. Линейная зависимость векторов.

5. Коллинеарные и компланарные векторы.

6. Базис и ранг системы векторов.

7. Ортогональный и ортонормированный  базис пространства.

 

1.1 Геометрические векторы   и  операции над ними. Модуль вектора

 

Из школьного курса  геометрии Вы знакомы с двумерными и трехмерными векторами. Такие векторы называются геометрическими и их можно изображать на рисунке или чертеже.

Геометрическим вектором или просто вектором называется любой направленный отрезок прямой.

Вектор обозначается двумя  буквами с чертой или стрелкой над ними, причем первая буква указывает начало вектора, а вторая – его конец. Вектор может быть обозначен также одной буквой латинского алфавита . Длину или модуль вектора обозначают в виде или .

Суммой двух векторов и называется третий вектор , который идет из начала первого вектора в конец второго , если второй вектор выходит из конца первого (рис. 1)

 

                                                                

                                                                                                        

                                                 

                                                                                

       Рис.1.1      Рис.1.2

Разностью двух векторов и называется третий вектор , который представляет собой сумму вектора и вектора, противоположного вектору , т.е. (рис. 2)

Произведением вектора  на число называется вектор, обозначаемый , такой, что:

1) ;

2) векторы  и имеют одно направление, если >0, и противоположное, если  <0.

 

Если вектор составляет с осью Ох угол , то проекцией вектора на эту ось называется произведение модуля вектора на косинус угла :

 пр_х = соs                                                       (1)

Проекции вектора  на координатные оси Ох, Оу, Оz называют координатами вектора и обозначают х, у, z. В трехмерном пространстве Oxyz вектор может быть представлен   в виде суммы:

 

= х · + +

 

                                                    (2)

 

 

где  - единичные базисные векторы, направление каждого из которых совпадает с положительным направлением соответствующей оси, а х, у, z - координаты вектора .

Длина (модуль) вектора определяется через проекции (координаты) по формуле

 

 

(3)

 

 

Косинусы углов  , образованных вектором с осями координат, находятся в виде отношений        ,    ,                           (4)

Они называются направляющими косинусами.

Определение 1. Скалярным произведением двух геометрических векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

 

 

                                                            (5)

 

 

Если  векторы  и перпендикулярны, то и . Тогда скалярное произведение =0. Векторы называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Равенство =0 выражает условие перпендикулярности (ортогональности) двух векторов.

Если  , то векторы и называются сонаправленными. В этом случае        и      

Если  , то векторы и называются противоположно направленными. В этом случае            и      

 

1.2 Арифметические  векторы и операции над ними.     Понятие  n-мерного векторного пространства. Скалярное произведение векторов.

 

Обобщим понятие вектора на n-мерный случай, т.е. рассмотрим арифметические векторы.

Определение 2. Любой упорядоченный набор из n действительных чисел называется n-мерным вектором или вектором в пространстве R ⁿ   и обозначается в виде

,

а числа , составляющие этот набор, называются его координатами.

Понятие n-мерного вектора широко используется в экономике, например, некоторый набор товаров можно охарактеризовать вектором  , где – соответственно количества 1-го, 2-го, ..., n-го товара,  а соответствующие им цены – вектором .

Пример. Если, например, некоторый автомобильный завод должен выпустить в смену 50 легковых автомобилей, 100 грузовых, 10 автобусов, 50 комплектов запчастей для легковых автомобилей и 150 комплектов для грузовых автомобилей и автобусов, то производственную программу этого завода можно записать в виде вектора (50, 100, 10, 50, 150), имеющего пять компонент.

Два вектора и   называются равными, если равны их соответствующие координаты.

Вектор с нулевыми координатами называется нулевым вектором 

Суммой двух векторов одинаковой размерности n называется вектор , координаты которого равны сумме соответствующих координат слагаемых векторов,

Произведением вектора  на действительное число называется вектор  , координаты которого равны произведению на соответствующие координаты вектора , т.е. .

Линейные операции над  любыми векторами удовлетворяют  следующим свойствам:

1⁰.  2⁰.  3⁰. 4⁰.  5⁰   6⁰.

7⁰.  8⁰.

Определение 3. Совокупность всех n-мерных векторов, удовлетворяющих этим свойствам, называется n-мерным векторным пространством R ⁿ.

n-мерное векторное пространство R ⁿ определяется как множество всех n-мерных векторов, для которых определены операции умножения на действительные числа и сложение.

Экономическая иллюстрация. Экономическая иллюстрация n-мерного векторного пространства: пространство благ (товаров). Под товаром мы будем понимать некоторое благо или услугу, поступившие в продажу в определенное время в определенном месте. Предположим, что существует конечное число наличных товаров n; количества каждого из них, приобретенные потребителем, характеризуются набором товаров x = (x ₁, x ₂, ..., x _n), где через x_i обозначается количество i-го блага, приобре-тенного потребителем. Будем считать, что все товары обладают свойством произвольной делимости, так что может быть куплено любое неотрицательное количество каждого из них. Тогда все возможные наборы товаров являются векторами пространства товаров C = {x = (x ₁, x ₂, ..., x _n ) ê    x _i ³ 0, i = 1,2,…,n}.

Определение 4. Скалярным произведением  двух арифметических векторов называется число, равное сумме произведений соответствующих координат этих векторов:

 

=

(6)

 

                                               

 

Основные свойства скалярного произведения векторов:

1) = ;   2) , где - действительное число;

3) = + ; 4) >0, если , и =0, если .

Если , то угол = 0 и тогда cos =1. Поэтому  по формуле (5):  и по формуле (6): . Значит,  . Отсюда  модуль вектора определяется формулой:

 

(7)

 

 

 

Из формулы  (5) определяется угол между векторами:

 

 

   (8)

 

 

 

1.3 Линейная зависимость векторов. Коллинеарные и компланарные векторы. Разложение вектора по базису

 

Пусть R ⁿ обозначает множество всех n-мерных векторов. Заметим, что это не просто множество – R ⁿ несет определенную структуру. Именно любой вектор R ⁿ можно умножить на любое число λ и результат — вектор λ есть снова элемент множества R ⁿ. Сумма двух и даже любого конечного числа векторов из R ⁿ снова есть элемент R ⁿ.

Во множестве R ⁿ есть уникальный вектор = (0, 0). Его роль вполне аналогична роли числа 0  во множестве чисел. Так, 0 • = и  + = для любого R ⁿ.

По всем этим причинам R ⁿ называют арифметическим n-мерным линейным пространством. Слово «арифметическое» в названии линейного пространства подчеркивает, что элементами такого пространства являются векторы, компоненты которых есть числа.

При решении различных задач  приходится иметь дело не с одним  вектором, а с некоторой совокупностью  векторов одной размерности. Такие  совокупности называют системой векторов и обозначают одной буквой и порядковым номером 

                                                                (1)

Определение 1. Вектор называется линейной комбинацией векторов   той же размерности, если найдутся числа такие, что

=                                                    (2)

Следовательно, чтобы узнать это, надо решить систему из k линейных алгебраических уравнений с п неизвестными.

Узнаем, например, является ли вектор (1, 6) линейной комбинацией векторов (1, 2),  (0, 2). Т.к. должно выполняться соотношение = , то получаем совсем простую систему линейных алгебраических уравнений:

 

Ее решение: λ ₁ = 1, λ ₂ = 2. Следовательно, = .

Определение 2. Система векторов называется линейно зависимой, если хотя бы один вектор системы есть линейная комбинация остальных векторов системы, и линейно независимой в противном случае, т.е. когда никакой вектор системы не является линейной комбинацией остальных векторов системы.

Например, система из трех вышеприведенных векторов , линейно зависима, ибо = .

По другому, система векторов называется линейно зависимой, если существуют числа , не равные одновременно нулю, такие что = .

Если это равенство  для данной системы векторов возможно лишь  при  ,  то эта система векторов называется    линейно независимой.

 

Примерами линейно зависимых  векторов являются коллинеарные и компланарные векторы.

 Определение 3. Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными.

По сути:

• два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда они сонаправлены или противоположно направлены. Поэтому:
• ненулевые вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда = k   или = k   при некотором k 0.

Из последних равенств следует, что:

• координаты коллинеарных векторов и должны быть пропорциональными.

 

Пример. Коллинеарны ли векторы = 4 – 3 , = 9 – 12 , где = {-1,2,8} и = {3,7,-1}?

Решение. Находим координаты векторов и , пользуясь тем, что при сложении векторов их координаты складываются, а при умножении на число координаты умножаются на это число:

={-13,-13, 35},   ={39, 39,-105}.

Так как

 

 

то координаты пропорциональны. Следовательно, векторы  и коллинеарны.

 

Чтобы лучше «прочувствовать» смысл понятия линейной зависимости, обратимся к векторам из R ³.