Вейвлети. Вейвлет аналіз та вейвлет перетворення. Кратномасшабне перетворення

Но при известных значениях  коэффициентов С_4,k предшествующего уровня следующий уровень может выполняться непосредственно по ним с учетом изменения нормировочного множителя в формуле скейлинг-функции (3.1.1). В общей форме:

С_m-1,k = (1/ ) (С_m,2k+ С_m,2k+1).                                     (3.1.6)

С_3,k = {2.665, 13.421, 13.706, 6.948, 20.037, 29.906, 14.538, 2.267}.

Кроме аппроксимирующих коэффициентов  C_m-1,k из предшествующей гистограммы аппроксимации C_m,k могут быть выделены также коэффициенты изменения сигнала в пределах нового интервала усреднения, т.е. коэффициенты разности значений первой и второй половины интервала:

D_m-1,k = (1/ )(C_m,2k - C_m,2k+1),                                     (3.1.7)

которые называют детализирующими  коэффициентами.

D_3,k = {-1.571, -2.979, 2.769, -0.625, -5.024, 1.275, 4.853, 1.299}.

Рис. 3.1.4.

На рис. 3.1.4 показан  график d_r(3,x) детализирующих коэффициентов (m=3), приведенный к масштабу исходного сигнала по формуле (3.1.4) при m=3 и N=2^m=8, по которому нетрудно понять их физическую сущность. Так как значения сигнала в интервале разложения 2Dt по m=3 представляют собой среднее значение сигналов в двух интервалах Dt разложения по m=4, которые они перекрывают, а детализирующий коэффициент (с учетом приведения к масштабу исходного сигнала) равен половине разности сигналов этих двух интервалов, то его значение есть не что иное, как флюктуация сигнала по m=4 относительно его аппроксимации по m=3. Если детализирующий коэффициент отрицателен, то эта флюктуация отрицательна относительно аппроксимированного значения в первой половине его интервала и положительна во второй, и наоборот. Т.е. соответствующие коэффициенты аппроксимации С_m-1,k и детализации D_m-1,k разделяют коэффициенты C_m,k предшествующего уровня декомпозиции сигнала на аппроксимированную (низкочастотную) и флюктуационную (высокочастотную) части.

Отсюда следует, что ряды коэффициенты C_m-1,k и D_m-1,k (количество точек 2^m-1 в каждом ряде) содержат полную информацию, адекватную информации в C_m,k предшествующего уровня (количество точек 2^m=2^m-1+2^m-1), что позволяют полностью восстановить значения коэффициентов более высокого уровня m:

C_m,2k = (1/ ) (C_m-1,k+ D_m-1,k),      C_m,2k+1 = (1/ ) (C_m-1,k - D_m-1,k),         (3.1.8)

а, следовательно, и восстановить исходный дискретный сигнал. Для восстановления значений в исходных интервалах при m=4, значение аппроксимирующего коэффициента на первой половине интервала при m=3 складывается с детализирующим коэффициентом, а на второй – вычитается. Для математического отображения этой операции введем функцию y (3.1.2), форма которой приведена на рис. 3.1.1, и обеспечим ее сдвиг по координате синхронно со скейлинг-функцией. Эта функция является ортонормированным базисом разложения детализирующих коэффициентов. Именно она и получила название вейвлета (вейвлетной или детализирующей функции). С ее использованием уравнение (3.1.4) с входящими в него уравнениями (3.1.8) приводятся к следующей форме (с уровня m=3, 2^m-1 =8):

s_r(3, x) = C_3,k j_3,k(x) + D_3,k y_3,k(x).                               (3.1.9)

Как и значения коэффициентов  C_m,k, значения детализирующих коэффициентов могут вычисляться непосредственно по формуле (3.1.3) с заменой скейлинг-функции на вейвлет-функцию.

Аналогичным образом операция разделения на аппроксимирующие и детализирующие коэффициенты может быть продолжена над значениями коэффициентов C_3,k по уровню m=2, с выделением коэффициентов аппроксимации C_2,k и детализации D_2,k, и далее по уровням m=1 и m=0. На последнем уровне m=0 получаем только 1 коэффициент аппроксимации C₀ и детализации D₀ по всему интервалу задания сигнала 0 ≤ х ≤ 1. Применяя последовательно, начиная с m=0, функцию "сборки" сигнала (3.1.9), получаем общую формулу реконструкции сигнала:

s_r(x)=C₀·j₀(x)+D₀·y₀(x)+ D_1,k·y_1,k(x)+ D_2,k·y_2,k(x)+ D_3,k·y_3,k(x).      (3.1.10)

Свойства  преобразования. Отметим на этом примере характерные и очевидные особенности нового представления сигнала:

• Общее количество коэффициентов разложения равно количеству отсчетов исходного сигнала (условие необходимости и достаточности сохранения в новом математическом представлении исходного объема информации).
• Вейвлет и его скейлинг-функция должны иметь однозначную связь. Это определяется тем, что разложение сигнала может быть выполнено с использованием только скейлинг-функции, а детализирующие коэффициенты определяться по разности m и m+1 уровней аппроксимации, и наоборот.
• Значение C₀ представляет собой среднее значение исходного сигнала по интервалу его задания. Для центрированных сигналов это значение равно нулю. При выполнении разложения без скейлинг-функции (с вейвлетом в (3.1.2)) картина детальных особенностей нецентрированных сигналов остается без изменений, но полная реконструкция сигнала невозможна. Без значения C₀·j₀(x) при полном разложении сигнал центрируется, при реконструкции с других масштабов декомпозиции  искажается за счет отсутствия соответствующих коэффициентов C_m,k.
• Увеличение масштабного значения m разложения соответствует возрастанию временного разрешения сигнала (1/2^m). Коэффициенты вейвлет-преобразования вскрывают флюктуационную структуру сигнала на разных масштабах и в разных временных точках. В областях "гладких" значений сигнала коэффициенты детализации близки к нулевым и ими можно пренебречь, что позволяет осуществлять сжатие информации для хранения.
• Реконструкция сигнала возможна с любого масштабного уровня декомпозиции, причем все особенности сигнала сохраняются без искажений с временным разрешением первого вейвлета (с минимальной шириной окна).  
  

Дискретное вейвлет преобразование 
 
В численном и функциональном анализе дискретные вейвлет-преобразования (ДВП) относятся к вейвлет-преобразованиям, в которых вейвлеты представлены дискретными сигналами (выборками).

Первое ДВП было придумано венгерским математиком Альфредом Хааром. Для входного сигнала, представленного массивом 2ⁿ чисел, вейвлет-преобразование Хаара просто группирует элементы по 2 и образует от них суммы и разности. Группировка сумм проводится рекурсивно для образования следующего уровня разложения. В итоге получается 2ⁿ−1 разность и 1 общая сумма.

Это простое ДВП иллюстрирует общие  полезные свойства вейвлетов. Во-первых, преобразование можно выполнить  за   операций. Во-вторых, оно не только раскладывает сигнал на некоторое подобие частотных полос (путём анализа его в различных масштабах), но и представляет временную область, то есть моменты возникновения тех или иных частот в сигнале. Вместе эти свойства характеризуют быстрое вейвлет-преобразование — возможную альтернативу обычному быстрому преобразованию Фурье. При принятии условия случайности сигнала Х спектральную плотность его амплитуд Y вычисляют на основе алгоритма Ийетса: matrixY=matrix(±X), верно и обратное matrixX=matrix(±Y).

Самый распространенный набор дискретных вейвлет-преобразований был сформулирован  бельгийским математиком Ингрид Добеши (Ingrid Daubechies) в 1988 году. Он основан на использовании рекуррентных соотношений для вычисления всё более точных выборок неявно заданной функции материнского вейвлета с удвоением разрешения при переходе к следующему уровню (масштабу). В своей основополагающей работе Добеши выводит семейство вейвлетов, первый из которых является вейвлетом Хаара. С тех пор интерес к этой области быстро возрос, что привело к созданию многочисленных потомков исходного семейства вейвлетов Добеши.

Другие формы дискретного вейвлет-преобразования включают непрореженное вейвлет-преобразование (где не выполняется прореживания сигналов), преобразование Ньюлэнда (где  ортонормированный базис вейвлетов  выводится из специальным образом  построенных фильтров типа «top-hat»  в частотной области). Пакетные вейвлет-преобразования также связаны с ДВП. Другая форма  ДВП — комплексное вейвлет-преобразование.

У дискретного вейвлет-преобразования много приложений в естественных науках, инженерном деле, математике (включая  прикладную). Наиболее широко ДВП используется в кодировании сигналов, где свойства преобразования используются для уменьшения избыточности в представлении дискретных сигналов, часто — как первый этап в компрессии данных.

Непрерывное вейвлет-преобразование 
 
Непрерывное вейвлет-преобразование (англ. continuous wavelet transform, CWT) — это преобразование, отображающее данную вещественнозначную функцию  , определенную на временно́й оси переменной  , в функцию

двух переменных   и  . Здесь   представляет параллельный перенос,   представляет масштаб и   — материнский вейвлет (mother wavelet).

Изначальная функция может  быть восстановлена с помощью  обратного преобразования

где

называется постоянной допустимости и   — преобразование Фурье от  . Для того, чтобы обратное преобразование было успешным, постоянная допустимости должна соответствовать критерию допустимости

.

Также следует отметить, что критерий допустимости подразумевает, что  , так что интеграл от вейвлета должен быть равен нулю. Материнский вейвлет (mother wavelet) связан с дочерним вейвлетом (daughter wavelet) следующим соотношением:

. 
Висновок 
 
Как видно, вейвлет-преобразование на самом деле является бесконечным множеством различных преобразований в зависимости от оценочной функции, использованной для его расчёта. Это является основной причиной, почему термин «вейвлет-преобразование»используется в весьма различных ситуациях и применениях. Также существует множество типов классификации вариантов вейвлет-преобразования. Здесь мы покажем только деление. основанное на ортогональности вейвлетов. Можно использовать ортогональные вейвлеты для разработки дискретного вейвлет-преобразования и неортогональные вейвлеты для непрерывного. Эти два вида преобразования обладают следующими свойствами:

1. Дискретное вейвлет-преобразование возвращает вектор данных той же длины, что и входной. Обычно, даже в этом векторе многие данные почти равны нулю. Это соответствует факту, что он раскладывается на набор вейвлетов (функций), которые ортогональны к их параллельному переносу и масштабированию. Следовательно, мы раскладываем подобный сигнал на то же самое или меньшее число коэффициентов вейвлет-спектра, что и количество точек данных сигнала. Подобный вейвлет-спектр весьма хорош для обработки и сжатия сигналов, например, поскольку мы не получаем здесь избыточной информации.
2. Непрерывное вейвлет-преобразование, напротив, возвращает массив на одно измерение больше входных данных. Для одномерных данных мы получаем изображение плоскости время-частота. Можно легко проследить изменение частот сигнала в течение длительности сигнала и сравнивать этот спектр со спектрами других сигналов. Поскольку здесь используется неортогональный набор вейвлетов, данные высоко коррелированы и обладают большой избыточностью. Это помогает видеть результат в более близком человеческому восприятию виде.

 
 
 
Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. — Ижевск: РХД, 2001. — 464 с.

• Дьяконов В. П. Вейвлеты. От теории к практике. — М.: СОЛОН-Пресс, 2004. — 440 с.
• Малла С. Вэйвлеты в обработке сигналов. — М.: Мир, 2005. — 672 с.
• Смоленцев Н. К. Введение в теорию вейвлетов. — Ижевск: РХД, 2010. — 292 с.
• Чуи К. Введение в вэйвлеты. — М.: Мир, 2001. — 412 с.
• Сенсор виброакустики и вибродиагностики изделий: пат №95116U1, МПК G 01 H 1/08.
• Fast discrete biorthogonal CDF 9/7 wavelet forward and inverse transform (lifting implementation) — реализация на Си для быстрого лифтинга дискретного биортогонального CDF 9/7 вейвлета, используемого в алгоритме сжатия изображений JPEG-2000.
• Новая тенденция в преобразовании данных от датчиков механических и физических величин. М: Машиностроение//Вестник машиностроения,2004, №4,стр.78.
• Юэн Ч., Бичем К., Робинсон Дж. Микро-процессорные системы и их применение при обработке сигналов. М: Радио и связь.1986. 296 с.
• Дхонсон Н., Лион Ф. Статистика и планирование экспериментов в технике и науке. Методы планирования экспериментов. М: Мир. 1981. 512 с.
• Брох Е. Т. Применение измерительных систем фирмы "Брюль и Къер" к анализу механических колебаний и ударов. Сёборг; Ларсен и сын. 1973. 235 с.