Вейвлети. Вейвлет аналіз та вейвлет перетворення. Кратномасшабне перетворення

Київський Національний Економічний Університет

імені Вадима Гетьмана

 

 

 

 

Реферат з системного аналізу на тему:

Вейвлети. Вейвлет аналіз та вейвлет перетворення. Кратномасшабне перетворення.

Виконала

Студентка групи 6101

Сабадаш Катерина

 

 

Київ 2013

План 
1. Введение 
2. История 
3. Определения, свойства, виды 
4.Вейвлет преобразование 
5. Принцип кратномасштабного анализа 
- Дискретные ортогональные преобразования 
- Вейвлет Хаара 
6. Дискретное вейвлет преобразование 
7.Непрерывное вейвлет преобразование 
 
 
 
Введение 
 
Вейвлет-анализ разработан для решения задач, оказавшихся слишком сложными для традиционного анализа Фурье. Преобразование Фурье представляет сигнал, заданный во временной области, в виде разложения по ортогональным базисным функциям (синусам и косинусам) с выделением частотных компонентов. Недостаток преобразования Фурье заключается в том, что частотные компоненты не могут быть локализованы во времени, обуславливая его применимость только к анализу стационарных сигналов, в то время как многие сигналы имеют сложные частотно-временные характеристики. Как правило, такие сигналы состоят из близких по времени, короткоживущих высокочастотных компонентов и долговременных, близких по частоте низкочастотных компонентов. Для анализа таких сигналов необходим метод, способный обеспечить хорошее разрешение как по частоте, так и по времени. Первое необходимо для локализации низкочастотных составляющих, второе - для выделения компонентов высокой частоты. Существует два подхода к анализу нестационарных сигналов такого типа. Первый основан на локальном преобразовании Фурье (short-time Fourier transform). Следуя по этому пути, нестационарный сигнал сводится к стационарному путем его предварительного разбиения на сегменты (фреймы), статистика которых не меняется со временем. Второй подход заключается в использовании вейвлет-преобразования. Не так уж трудно рассказать без математической строгости, что такое вейвлет-анализ. Всем известно, что любой сигнал можно разложить в сумму гармоник (синусоид) разной частоты. Но синусоидальные волны бесконечны, и не очень-то отслеживают изменения сигнала во времени. Чтобы уловить эти изменения, вместо бесконечных волн можно взять совершенно одинаковые, но разнесенные по времени короткие "всплески". Однако, как оказалось, этого недостаточно, надо добавить еще их всевозможные растянутые и сжатые копии. Вот теперь сигнал можно разложить на сумму таких всплесков разного размера и местоположения. По сути, это и есть вейвлет-анализ.  
Коэффициенты разложения, по сути несущие информацию об эволюции сигнала, зависят от выбора изначального всплеска. Для каждой прикладной задачи можно подобрать наиболее приспособленный (именно для нее) всплеск, который и называется вейвлетом. Математическая сторона вейвлет-анализа - вещь довольно тонкая, хотя и весьма наглядная. Вообще, реально работающие в приложениях математические методы всегда (почему-то) опираются на красивую чистую математику - это экспериментальный факт. А вот прикладная сторона вейвлетов проста на столько, что дальше некуда. При этом вейвлет-преобразование не только работает быстрее, чем преобразование Фурье, но и его программная реализация несравненно проще. 
 
Вейвлет (от англ. wavelet), всплеск) — это математическая функция, позволяющая анализировать различные частотные компоненты данных. График функции выглядит как волнообразные колебания с амплитудой, уменьшающейся до нуля вдали от начала координат. Однако это частное определение — в общем случае анализ сигналов производится в плоскости вейвлет-коэффициентов (масштаб — время — уровень) (Scale-Time-Amplitude). Вейвлет-коэффициенты определяются интегральным преобразованием сигнала. Полученные вейвлет-спектрограммы принципиально отличаются от обычных спектров Фурье тем, что дают четкую привязку спектра различных особенностей сигналов ко времени. 
 
История 
 
В начале развития области употреблялся термин «волночка» — калька с английского. Английское слово «wavelet» означает в переводе «маленькая волна», или «волны, идущие друг за другом». И тот и другой перевод подходит к определению вейвлетов. Вейвлеты — это семейство функций, которые локальны во времени и по частоте («маленькие»), и в которых все функции получаются из одной посредством её сдвигов и растяжений по оси времени (так что они «идут друг за другом») 
Разработка вейвлетов связана с несколькими отдельными нитями рассуждений, начавшимися с работ Хаара в начале двадцатого века. Весомый вклад в теорию вейвлетов внесли Гуппилауд, Гроссман и Морле, сформулировавшие то, что сейчас известно как непрерывное вейвлет-преобразование (НВП) (1982), Жан Олаф-Стромберг с ранними работами по дискретным вейвлетам (1983), Добеши, разработавшая ортогональные вейвлеты с компактным носителем (1988), Малла, предложивший кратномасштабный метод (1989), Натали Делпрат, создавшая временно-частотную интерпретацию CWT (1991), Ньюланд, разработавший гармоническое вейвлет-преобразование и многие другие. 
В конце 20-го века появляются инструментальные средства по вейвлетам в системах компьютерной математики Mathcad,MATLAB и Mathematica (см. их описание в книге Дьяконова В. П.). Вейвлеты стали широко применяться в технике обработки сигналов и изображений, в частности для компрессии их и очистки от шума. Были созданы интегральные микросхемы для вейвлет-обработки сигналов и изображений. 
 
Определения, свойства, виды 
 
Существует несколько подходов к определению вейвлета: через масштабный фильтр, масштабную функцию, вейвлет-функцию. Вейвлеты могут быть ортогональными, полуортогональными, биортогональными. Вейвлетные функции могут бытьсимметричными, асимметричными и несимметричными, с компактной областью определения и не имеющие таковой, а также иметь различную степень гладкости. 
Примеры вейвлетов

• вейвлет Хаара
• вейвлеты Добеши
• вейвлеты Гаусса
• вейвлет Мейера
• вейвлеты Морле
• вейвлет Пауля
• вейвлет MHat («Мексиканская шляпа»)
• вейвлеты Р. Койфмана — койфлеты
• вейвлет Шеннона 
   
  Вейвлет-преобразование   
   
  Вейвлет-преобразование (англ. Wavelet transform) — интегральное преобразование, которое представляет собой сверткувейвлет-функции с сигналом.

Cпособ преобразования  функции (или сигнала) в форму,  которая или делает некоторые  величины исходного сигнала более  поддающимися изучению, или позволяет  сжать исходный набор данных. Вейвлетное преобразование сигналов  является обобщением спектрального  анализа. Термин (англ. wavelet) в переводе с английского означает "маленькая волна". Вейвлеты — это обобщённое название математических функций определенной формы, которые локальны во времени и по частоте и в которых все функции получаются из одной базовой, изменяя её (сдвигая, растягивая).

Требования к вейвлетам

Для осуществления вейвлет-преобразования вейвлет-функции должны удовлетворять  следующим критериям[1]:

1. Вейвлет должен обладать  конечной энергией:

 
2. Если   фурье-преобразование для  , то есть

тогда должно выполняться  следующее условие:

Это условие называется условием допустимости, и из него следует  что вейвлет при нулевой частотной  компоненте должен удовлетворять условию   или, в другом случае, вейвлет   должен иметь среднее равное нулю.

3. Дополнительный критерий  предъявляется для комплексных  вейвлетов, а именно, что для  них Фурье-преобразование должно  быть одновременно вещественным  и должно убывать для отрицательных  частот.

4. Локализация: вейвлет  должен быть непрерывным, интегрируемым,  иметь компактный носитель и  быть локализованным как во  времени (в пространстве), так  и по частоте. Если вейвлет  в пространстве сужается, то его  средняя частота повышается, спектр  вейвлета перемещается в область  более высоких частот и расширяется.  Этот процесс должен быть линейным  – сужение вейвлета вдвое должно  повышать его среднюю частоту  и ширину спектра также вдвое. 
Свойства вейвлет преобразования

1. Линейность

2. Инвариантность относительно  сдвига

Сдвиг сигнала во времени  на t0 приводит к сдвигу вейвлет-спектра  также на t0.

3. Инвариантность относительно  масштабирования

Растяжение (сжатие) сигнала  приводит к сжатию (растяжению) вейвлет-спектра  сигнала.

4. Дифференцирование

Отсюда следует, что безразлично, дифференцировать ли функцию или  анализирующий вейвлет. Если анализирующий  вейвлет задан формулой, то это  может быть очень полезным для анализа сигналов. Это свойство особенно полезно, если сигнал задан дискретным рядом. 
Непрерывное вейвлет-преобразование

Вейвлет преобразование для  непрерывного сигнала относительно вейвлет функции определяется следующим  образом[1]:

где   означает комплексное сопряжение для  , параметр   соответствует временному сдвигу, и называется параметром положения, параметр   задает масштабирование и называется параметром растяжения.

 — весовая функция.

Мы можем определить нормированную  функцию следующим образом

что означает временной сдвиг  на b и масштабирование по времени  на a. Тогда формула вейлет-преобразования изменится на

Исходный сигнал может  быть восстановлен по формуле обратного  преобразования

Дискретное вейвлет-преобразование

В дискретном случае, параметры  масштабирования a и сдвига b представлены дискретными величинами:

 и 

Тогда анализирующий вейвлет  имеет следующий вид:

где m и n — целые числа.

В таком случае для непрерывного сигнала дискретное вейвлет-преобразование и его обратное преобразование запишутся  следующими формулами:

Величины   также известны как вейвлет-коэффициенты.

 есть постоянная нормировки. 
Графическое представление

Временное и спектральное представления WAVE-вейвлета

 

Временное и спектральное представления вейвлета Морле

Применение

Вейвлет-преобразование широко используется для анализа сигналов. Помимо этого, оно находит большое  применение в области сжатия данных. В дискретном вейвлет-преобразовании наиболее значимая информация в сигнале  содержится при высоких амплитудах, а менее полезная — при низких. Сжатие данных может быть получено за счет отбрасывания низких амплитуд. Вейвлет-преобразование позволяет получить высокое соотношение сжатия в сочетании с хорошим качеством восстановленного сигнала. Вейвлет-преобразование было выбрано для стандартов сжатия изображенийJPEG2000 и ICER. Однако, при малых сжатиях вейвлет-преобразование уступает по качеству в сравнении с оконным Фурье-преобразованием, которое лежит в основе стандарта JPEG.

Выбор конкретного вида и  типа вейвлетов во многом зависит  от анализируемых сигналов и задач  анализа. Для получения оптимальных  алгоритмов преобразования разработаны  определенные критерии, но их еще нельзя считать окончательными, т.к. они  являются внутренними по отношению  к самим алгоритмам преобразования и, как правило, не учитывают внешних  критериев, связанных с сигналами  и целями их преобразований. Отсюда следует, что при практическом использовании  вейвлетов необходимо уделять достаточное  внимание проверке их работоспособности  и эффективности для поставленных целей по сравнению с известными методами обработки и анализа. 

Принцип кратномасштабного  анализа

Дискретные ортогональные преобразования. Непрерывное вейвлет-преобразование, равно как и его дискретный аналог с произвольным шагом по масштабу и сдвигу, обладает сильной избыточностью. Интуитивно понятно, что если какая-либо информация заключена в N отсчетах сигнала, то при любых преобразованиях сигнала для отображения этой информации без потерь в новом базисном пространстве должно быть необходимо и достаточно то же самое количество отсчетов N. С учетом принципа неопределенности Гейзенберга это означает, что для точного восстановления сигнала достаточно знать его вейвлет-преобразование на некоторой решетке частотно-временной области, густой в области высоких частот сигнала, и редкой в области низких частот. Идея КМА заключается в том, чтобы масштабировать вейвлет в некоторое постоянное число раз (например, 2), и при скольжении по сигналу сдвигать его во времени с шагом, равным интервалу носителя масштабированного вейвлета. Если обозначить количество масштабных строк индексом m, и принять N=2^m, то при N=32 решетка вейвлетного спектра будет иметь всего m=5 масштабных строк с количеством отсчетов в первой строке 16, во второй 8, в третьей 4, в четвертой 2, и в пятой 1, с общим количеством отсчетов 32, как и в исходном сигнале. При этом все сдвиги одного масштаба будут попарно ортогональны (нет перекрытия сдвигов), равно как и вейвлеты разных масштабов в силу их нулевого первого момента.

Рис. 3.1.1.

Вейвлет Хаара. Простейшие методы КМА, без всякой теоретической базы, использовались при обработке числовых данных уже достаточно давно. Рассмотрим один из таких методов на практическом примере анализа гистограмм, который обычно выполняется функцией Хаара (Haar), в дальнейшем получившей название вейвлета Хаара (рис. 3.1.1).

Допустим, что мы анализируем  определенную зависимость s(x) на интервале 0 ≤ х ≤ 1, показанную на рис. 3.1.2. Функция нецентрированная, и для использования вейвлет-преобразования с последующим восстановлением исходного сигнала требует применения как вейвлета, так и его скейлинг-функции. На основе базовых функций вейвлета и скайлинг-функции Наара, приведенных на рис. 3.1.1, записываем масштабированные функции:

Рис. 3.1.2.

j_m,k(x) = 2^m/2 j(2^mx-k),                 (3.1.1)

y_m,k(x) = 2^m/2 y(2^mx-k).                (3.1.2)

Эти функции образуют нормированные  взаимно ортогональные базисы пространства вейвлетных коэффициентов, на которые может быть разложен анализируемый сигнал.   Ортогональность базисных функций является обязательным условием КМА, обеспечивающим возможность обратной реконструкции сигнала.

Для коротких и достаточно гладких кривых нет смысла устанавливать  много уровней декомпозиции сигнала. Примем максимальное значение m, равным 4, при этом N=1/2^m=16 с интервалом дискретизации данных, соответственно, Dx=1/N. В принципе, можно применять и задание исходного значения Dx с последующим определением количества уровней разложения.

При сдвиговой ортогональности  прямоугольных базисных функций  прямое преобразование (проекции сигнала  на базис (3.1.1)) для непрерывных сигналов выполняется по формуле:

С_m,k = s(x) j(2^mx-k) dx.                                        (3.1.3)

Значения коэффициентов при m=4:

Восстановление сигнала  с четвертого уровня декомпозиции соответственно выполняется по формуле реконструкции:

s_r(m,x) = С_m,k j_m,k(x),   m=4,  N=16.                                 (3.1.4)

Восстановление исходной непрерывной  функции сигнала s(x) скейлинг-функцией Хаара невозможно в силу того, что значение скейлинг-функции – константа шириной Dx, на которую умножается соответствующее значение С_4,k и распространяется на весь интервал kDx-(k+1)Dx (кривая s_r(x) на рис. 3.1.2). Если выполнить перевод сигнала s(t)  во временной ряд sd_k, k=0…N-1, с осреднением по интервалам Dx, или с использованием (в общем случае произвольного вейвлета) его скейлин-функции:

sd_k = 2^m/2 s(x) j_m,k (x) dx,                                   (3.1.5)

то нетрудно убедиться, что  sd_k = s_r(kDx+Dx/2) (числовые отсчеты sd_k на рис. 3.1.2 отнесены к середине интервалов Dx).

В принципе, гистограмма  sd_k может представлять собой непосредственные исходные дискретные данные (результаты измерений и т.п.). Сравнением выражений (3.1.5) и (3.1.3) нетрудно убедиться, что нулевой уровень разложения (m=m_max) может быть получен непосредственно из дискретных данных:

С_m,k =sd_k/2^m/2 .                                                  (3.1.3')

Рис. 3.1.3.

На следующем  уровне разложения функции, при m=3, скейлинг-функция (3.1.1) расширяется по x в 2 раза (в нашем примере до 1/8), т.е. производится усреднение отсчетов по двум соседним интервалам исходной гистограммы. Количество коэффициентов соответственно в 2 раза уменьшается. Расчет коэффициентов С_3,k может выполняться непосредственно по (3.1.3), реконструкция  s_r3(x)– по (3.1.4), при m=3, N=8. Тем самым аппроксимация исходного сигнала выполняется на более "грубом" уровне декомпозиции, на основании чего скейлинг-функции вейвлетов называют аппроксимирующими или масштабными функциями, а сами коэффициенты, выделенные скейлинг-функциями - аппроксимирующими.