Трансцендентные числа

      Лекция 5 Трансцендентные  числа.

1. Проблемы, относящиеся к теории трансцендентных чисел, возникли впервые в работах Леонарда Эйлера (1707 – 1783), ставившего, в частности, задачу доказательства трансцендентности иррациональных значений логарифмической функции.

2. Существование трансцендентных чисел было показано в работах немецкого математика Георга Кантора (1845 – 1918).

3. Французский математик Жозеф Лиувилль (1809 – 1882) известен своими работами по теории дифференциальных уравнений, эллиптических функций и теории трансцендентных чисел. Вопросы существования и практического построения трансцендентных чисел были доказаны Лиувиллем в работах, опубликованных в 1844 г.

4. Шарль Эрмит (1822 – 1901) – французский математик, работающий в области теории функций, алгебры и теории чисел (трансцендентные числа, квадратичные формы) в 1873 году доказал трансцендентность числа e.

5. Линдеман Карл Луис Фердинанд (1852 – 1939) – немецкий математик доказал в 1882 г. трансцендентность числа (Теорема Линдемана).

6. Гельфонд Александр Осипович (1906 – 1968) создал аналитические методы доказательства трансцендентности чисел. Знаменитая теорема Гельфонда явилась решением седьмой проблемы Гильберта о трансцендентности чисел вида a^b при  a алгебраическом и b алгебраическом иррациональном.

      Покажем, что существуют действительные числа, отличные от алгебраических.

      Теорема 1. Множество всех алгебраических чисел счётно.

      Теорема 2. Существуют действительные неалгебраические числа.

      Доказательство: множество действительных чисел несчётно. В этом множестве действительные алгебраические числа образуют счётное подмножество, следовательно, они не исчерпывают всё множество действительных чисел.

      Определение. Любое неалгебраическое число называется трансцендентным.

      Таким образом, α называется трансцендентным числом, если не существует ни одного многочлена с целыми коэффициентами, корнем которого является α, т.е. если для всех n = 1, 2, 3, … при любом наборе ( ) целых, не равных одновременно нулю, чисел имеем:

      

      Итак, множество действительных трансцендентных  чисел получается исключением счётного множества из множества всех действительных чисел, имеющего мощность континуум; это обычно выражают, говоря, что почти все действительные числа трансцендентны.

      Из  этого следует, что все рациональные числа – алгебраические, но не все  иррациональные – трансцендентные.

      Сумма, разность, произведение и частное  двух неравных нулю чисел, из которых  одно трансцендентное, а другое – алгебраическое, является трансцендентным числом.

      Критерий  трансцендентности (Теорема  Линдемана)

      Теорема. Если , где - алгебраические числа, среди которых хоть одно не равно нулю, - попарно различны и являются алгебраическими числами, то - трансцендентное число.

      Задание. Докажите, что следующие числа являются трансцендентными:

      а)  ;                                 д)  ;  

      б)  ;                         е)  ;                            

      в)  ;                       ж)  .

      г)  ;

      Решение:

      а) Пусть , тогда , или . Следовательно, по теореме Линдемана: .

      Число - трансцендентно, так как число 0 – является алгебраическим и не является трансцендентным.

      б) Упростим: = Предположим, что , тогда , или . Следовательно, по теореме Линдемана х – трансцендентно, так как если бы х было алгебраическим, то число 0 должно быть трансцендентным, что невозможно. Итак, = - трансцендентно.

      в) Упростим: = = Предположим, что , тогда , или . Следовательно, по теореме Линдемана х – трансцендентно, так как если бы х было алгебраическим, то число 0 должно быть трансцендентным, что невозможно. Итак, х= = - трансцендентно.

      г) Упростим: = = Предположим, что , тогда , или . Следовательно, по теореме Линдемана х – трансцендентно, так как если бы х было алгебраическим, то число 0 должно быть трансцендентным, что невозможно. Итак, х= = - трансцендентно.

      д) Упростим: = . Предположим, что , тогда , или . Следовательно, по теореме Линдемана х – трансцендентно, так как если бы х было алгебраическим, то число 0 должно быть трансцендентным, что невозможно. Итак, х= = - трансцендентно.

      е) Упростим: = Предположим, что , тогда , или . Следовательно, по теореме Линдемана х – трансцендентно, так как если бы х было алгебраическим, то число 0 должно быть трансцендентным, что невозможно. Итак, = - трансцендентно.

      ж) Упростим: = = Предположим, что , тогда , или . Следовательно, по теореме Линдемана х – трансцендентно, так как если бы х было алгебраическим, то число 0 должно быть трансцендентным, что невозможно. Итак, х= = - трансцендентно.

      Критерий  трансцендентности (Теорема  Гельфонда)

      Теорема. Если α – алгебраическое число, отличное от 0 и 1 и β – алгебраическое иррациональное число, то - трансцендентное число.

      Частным случаем этой теоремы является трансцендентность чисел вида , где а > 1, а b – целое, отличное от n – ой степени.

      Как простое следствие этой теоремы  получается, что логарифмы рациональных чисел при рациональных основаниях либо трансцендентны, либо рациональны, т.е. не могут быть алгебраическими иррациональностями.

      Задание

      Докажите, что следующие числа являются трансцендентными:

      а)  ;                       д) ;

      б) ;                 е) ;

      в) ;                  ж) .

        г) ;           

      Решение:

      а) Если бы число  было алгебраической иррациональностью, то число было бы,  согласно теореме Гельфонда, трансцендентным, а так как

       = 5 – алгебраическое, то - трансцендентно.

      б) Упростим: = . Если бы число было алгебраической иррациональностью, то число было бы,  согласно теореме Гельфонда, трансцендентным, а так как =7 – алгебраическое, то - трансцендентно. Следовательно, - трансцендентно.

      в) Упростим: = = . Если бы число было алгебраической иррациональностью, то число было бы,  согласно теореме Гельфонда, трансцендентным, а так как = 4 – алгебраическое, то - трансцендентно. Следовательно, - трансцендентно.

      г) Так как  = = , 2 – алгебраическое число, - алгебраическая иррациональность (является корнем уравнения ), то число = - трансцендентно по теореме Гельфонда.

      д) Так как  . Следовательно, . Тогда по теореме Гельфонда число = трансцендентно. Так как i  - алгебраическое число, являющееся корнем уравнения и число -2i – алгебраическое, являющееся корнем уравнения .

      е) Так как  = = , 4 – алгебраическое число, - алгебраическая иррациональность (является корнем уравнения ), то число = - трансцендентно по теореме Гельфонда.

      ж) Упростим: = . 2 – алгебраическое число, - алгебраическая иррациональность (является корнем уравнения ), то число = - трансцендентно по теореме Гельфонда.