Теория вектора

        ^{Рассмотрим доказательство  некоторых теорем  с помощью векторов.}

        ^{Теорема 1.}

        ^{Диагонали ромба  взаимно перпендикулярны.}

        ^{Доказательство.}

         ^{Пусть АВСD – данный ромб (рис.7). Введем обозначения: АВ = а, ВС = в. Из определения ромба: АВ = DC = а, AD = ВС = в.}

         ^{По определению  суммы и разности  векторов АС = а + в; DВ = а – в.}

         ^{Рассмотрим АС * DВ = (а + в )( а – в) = а2 – в2 .}

         ^{Так как стороны  ромба равны, то  а = в. Следовательно, AC * DB =0. Из последнего получаем} 

    ^Ч.т.д. 

           ^{Рассмотрим теперь  решение задач  с помощью векторов.}

        ^{Задача 1.}

         ^{Даны два вектора  AB и CD,  причем А( -1; 2; 4), В ( -4; 5; 4), С( -1; -2; 2) и D(2; 1;5).}

        ^{Определить, перпендикулярны  они друг другу  или нет.}

         ^{Решение.}

         ^{Найдем сначала  координаты векторов. АВ = ( -3; 3; 0) и СD = (3; 3; 3).}

         ^{Вычислим теперь скалярное произведение этих векторов:}

    ^{АВ х СD = ( -3) х 3 + 3 х 3 + 0 х 3 = 0.}

         ^{Последнее и означает, что АВ        СD.}

      

      ^{Задача 2.}

        ^{Дан произвольный  треугольник АВС.  Доказать, что можно  построить треугольник,  стороны которого  равны и параллельны  медианам треугольника  АВС.} 

    

       ^{Решение.}

        ^{Обозначим медианы  треугольника АВС  через ВЕ, СF и обозначим векторы, идущие вдоль сторон треугольника АВС, через а, в, с:}

     ^{ВС = а, СА = в, АВ = с}

    ^{(рис.8). Тогда}

     ^{АD = АВ + ВD = АВ + = с +}

    ^{аналогично  определяются и другие медианы:}

     ^{ВЕ = а + , СF = в +}

         ^{Так как, в силу  условия замкнутости}

    ^{ВС + СА + АВ = а + в + с =0,}

    ^{то  мы имеем:}

     ^{АD + ВЕ + СF = ( с + ) + (а + ) + ( в + ) = ( а + в + с) = х 0 = 0.}

         ^{Следовательно, отложив  от точки В,  вектор В₁С₁ = ВЕ и от точки С₁ – вектор С₁D₁ = СF, мы получим.}

     ^{А₁В₁ + В₁С₁ + С₁D₁ = АD + ВЕ + СF = 0.}

        ^{А это значит (в силу условия замкнутости), что ломаная А₁В₁С₁D₁ является замкнутой, т.е. точка D₁ совпадает с А₁.}

        ^{Таким образом,  мы получаем треугольник  А₁В₁С₁ (рис.9), стороны которого равны и параллельны медианам АD, ВЕ, СF исходного треугольника.}

        ^{Задача 3.}

        ^{Доказать, что для  любого треугольника  имеет место формула} 

    ^{с2 = а2 + в2 – 2ав х соs С (теорема косинусов)}

      
 

         ^{Решение.}

         ^{Положим: а = СВ, в = СА,}

      ^{с = АВ (рис.10).}

        ^{Тогда с = а – в, и мы имеем}

     ^{(учитывая, что угол  между векторами  а и в            равен С):}

    ^{с2 = ( а – в )2 = а2 – 2ав + в2 = а2 – 2ав х соs С + в2.}

        ^{Задача 4.}

        ^{Докажите, что сумма  квадратов диагоналей  параллелограмма  равна сумме квадратов его сторон.}

      

    ^{Решение.}

        ^{Пусть четырехугольник  АВСD – параллелограмм (рис.11). Имеем векторные  равенства}

     ^{АВ + AD = АС, АВ – АD = DВ.}

        ^{Возведем эти равенства  в квадрат. Получим:}

     ^{АВ2 + 2 АВ х АD + АD2 = АС2, АВ2 – 2АВ х АD + АD2 = DВ2}

        ^{Сложим эти равенства  почленно. Получим:}

    ^{2АВ2 + 2 АD2 = АС2 + DВ2.}

        ^{Так как у параллелограмма  противолежащие стороны  равны, то это  равенство и означает, что сумма квадратов  диагоналей параллелограмма  равна сумме квадратов  его сторон, что и требовалось доказать.} 

         ^{Задача 5.}

         ^{Даны три точки: А ( 1; 1), В ( -1; 0), С ( 0; 1). найдите такую точку D ( х; y), чтобы векторы АВ и СD были равны.}

        ^{Решение.}

     ^{Вектор  АВ имеет координаты –2, -1. Вектор СD имеет координаты х – 0, y –1. Так как АВ = СD, то х – 0 = -2, y –1 = -1. Отсюда находим координаты точки D:            х = -2, y = 0.} 

    ^{Задача 6.}

         ^{Даны два вектора  АВ и СD, причем А ( -1; 2; 4), В ( -4; 5; 4), С ( -1; -2; 2),        D ( 2; 1; 5).Определить, перпендикулярны они друг другу или нет.}

         ^{Решение.}

        ^{Найдем сначала  координаты векторов. АВ = ( -3; 3; 0) и СD ( 3; 3; 3).}

         ^{Вычислим теперь  скалярное произведение  этих векторов:}

                          ^{AB х CD = ( -3) х 3 + 3 х 3 + 0 х 3 = 0.}

         ^{Последнее озночает, что АВ        СD.}

       

        ^{Рассмотренные выше  примеры задач  показывают, что векторный  метод является  весьма мощных  средством решения  геометрических и  многих физических (и  технических) задач.} 

    ^{Используемая  литература.}

        ^{1. “Векторы в школьном  курсе геометрии”. (1976г.) В.А.Гусев. Ю.М.Колягин. Г.Л.Луканкин.}

    ^{2. “Векторы в курсе  геометрии средней  школы. (1962г.) В.Г.Болтянский. И.М.Яглом.}