Теория вектора

    ^{Теория  вектора} 

    ^{Содержание:}

    ^{1. Что такое вектор?}

    ^{2. Сложение векторов.}

    ^{3. Равенство векторов.}

    ^{4. Скалярное произведение  двух векторов  и его свойства.}

    ^{5. Свойства операций  над векторами.}

    ^{6. Доказательства и  решение задач.} 

    ^{Одним из фундаментальных  понятий современной математики являются вектор и его обобщение – тензор. Эволюция понятия вектора осуществлялась благодаря широкому использованию этого понятия в различных областях математики, механики, а так же в технике.}

        ^{Конец прошлого  и начало текущего  столетия ознаменовались широким развитием векторного исчисления и его приложений. Были созданы векторная алгебра и векторный анализ, общая теория векторного пространства. Эти теории были использованы при построении специальной и общей теории относительности, которые играют исключительно важную роль в современной физике.}

        ^{В соответствии  с требованиями  новой программы  по математике  понятие вектора  стало одним из  ведущих понятий  школьного курса  математики.}

        ^{Что же такое  вектор? Как ни странно, ответ на этот вопрос представляет известные затруднения. Существуют различные подходы к определению понятия вектора; при этом даже если ограничиться лишь наиболее интересным здесь для нас элементарно-геометрическим подходом к понятию вектора, то и тогда будут иметься различные взгляды на это понятие. Разумеется, какое бы определение мы ни взяли, вектор – с элементарно-геометрической точки зрения  - есть геометрический объект, характеризуемый направлением ( т.е. заданной с точностью до параллельности прямой и направлением на ней) и длиной. Однако такое определение является слишком общим, не вызывающим конкретных геометрических представлений. Согласно этому общему определению параллельный перенос можно считать вектором. И действительно, можно было бы принять такое определение:  “Вектором называется всякий параллельный перенос”. Это определение логически безупречно, и на его основе может быть построена вся теория действий над векторами и развиты приложения этой теории. Однако это определение, несмотря на его полную конкретность , нас здесь также не может удовлетворить, так как представление о векторе как о геометрическом преобразовании кажется нам недостаточно наглядным и далеким от физических представлений о векторных величинах.}    

        ^{Итак, вектором называется семейство всех параллельных между собой одинаково направленных и имеющих одинаковую длину отрезков (рис.1).}  

     ^{Вектор  изображают на чертежах отрезком со стрелкой (т.е. изображают не все  семейство отрезков, представляющее собой  вектор, а лишь один из этих отрезков). Для обозначения векторов в книгах и статьях применяют жирные латинские буквы а, в, с и так далее, а в тетрадях и на доске – латинские буквы с черточкой сверху,}       

         ^{Той же буквой, но не жирной , а светлой (а  в тетради и  на доске- той  же буквой без черточки) обозначают длину вектора. Длину иногда обозначают также вертикальными черточками – как модуль (абсолютную величину) числа. Таким образом, длина вектора а обозначается через а или IаI, а в рукописном тексте длина вектора а обозначается через а или IаI. В связи с изображением векторов в виде отрезков (рис.2) следует помнить , что концы отрезка, изображающего вектор, неравноправны: одного конца отрезка к другому.}

    

      ^{Различают начало  и конец вектора  (точнее, отрезка,  изображающего вектор).}

        ^{Весьма часто понятию вектора дается другое определение: вектором называется направленный отрезок. При этом векторы (т.е. направленные отрезки), имеющие одинаковую длину и одно и то же направление (рис.3), уславливаются считать равными.}

         ^{Векторы  называются одинаково направленными, если их полупрямые одинаково направлены.}

       

    ^{Сложение  векторов.}

    ^{Все сказанное пока еще  не дает понятие вектора  достаточно содержательным и полезным. Большую  содержательность и  богатую возможность  приложений понятие  вектора получает тогда, когда мы вводим своеобразную “геометрическую арифметику” – арифметику векторов, позволяющую складывать векторы, вычитать их и производить над ними целый ряд других операций. Отметим в связи с этим, что ведь и понятие числа становится интересным лишь при введении арифметических действий, а не само по себе.}

         ^{Суммой векторов а и в  с координатами а₁, а₂ и в₁, в₂ называется вектор с с координатами а₁ + в₁, а₂ + в₂, т.е.}

                          ^{а (а₁; а₂) + в (в₁;в₂) = с (а₁ + в₁; а₂ + в₂).}

         ^{Следствие:}

         ^{Для доказательства  коммутативности  сложения векторов  на плоскости необходимо  рассмотреть пример.}

         ^{а и в – векторы (рис.5).} 

         ^Пусть 

    ^{1. Строим параллелограмм  ОАСВ: АМ II ОВ, ВН II ОА.}

     

         ^{Для доказательства  ассоциативности мы отложим от произвольной точки О вектор ОА = а, от точки А вектор АВ = в и от точки в – вектор ВС = с. Тогда мы имеем:  АВ + ВС =АС.}

    

     ^{откуда  и следует равенство а + ( в + с ) = (а + в) + с. Заметим, что приведенное доказательство совсем не использует чертежа. Это характерно ( при некотором навыке ) для решения задач при помощи векторов.}

       ^{Остановимся теперь  на случае, когда  векторы а и в направлены в противоположные стороны и имеют равные длины; такие векторы называют противоположными. Наше правило сложения векторов приводит к тому, что сумма двух противоположных векторов представляет собой “вектор”, имеющий нулевую длину и не имеющий никакого направления; этот “вектор” изображается “отрезком нулевой длины”, т.е. точкой. Но это тоже вектор, который называется нулевым и обозначается символом 0.} 

    ^{Равенство векторов.}

    ^{Два вектора называются равными, если они  совмещаются параллельным переносом. Это означает, что существует параллельный перенос, который  переводит начало и конец одного вектора соответственно в начало и конец другого вектора.}

        ^{Из данного определения  равенства векторов  следует, что разные  векторы одинаково  направлены и равны  по абсолютной  величине.}

        ^{И обратно: если векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине, то они равны.}

         ^{Действительно, пусть  векторы АВ и СD – одинаково направленные векторы, равные по абсолютной величине (рис.6). Параллельный перенос, переводящий точку С в точку А, совмещает полупрямую СD с полупрямой АВ, так как они одинаково направлены. А так как отрезки АВ и CD равны, то при этом точка D совмещается с точкой В, то есть параллельный перенос переводит вектор CD в вектор АВ. Значит, векторы АВ и СD равны, что и требовалось доказать.}

      

    ^{Скалярное произведение двух векторов и его свойства.}

    ^{Скалярным произведением двух нулевых векторов называется число, равное произведению числовых значений длин этих векторов на косинус  угла между векторами.}

         ^{Обозначение: а х в = IaI * IbI * cos ( а, в).}

        ^{Свойства скалярного  произведения:}

         ^{1. а х в = в х а.}

         ^{2. Для того, чтобы  два нулевых вектора  а и в были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение этих векторов было равно нулю, т.е. а х в = 0.}

         ^{3. Выражение а х а будем обозначать а2 и называть скалярным квадратом вектора а.} 

    ^{Свойства  операций над векторами.}

     ^{Имеют место следующие  теоремы об операциях  над векторами, заданными  в координатной форме.}

         ^{1. Пусть даны а = (а_х, а_y, а_z) и в = ( в_x, в_у, в_z), тогда сумма этих векторов есть вектор с, координаты которого равны сумме одноименных координат слагаемых векторов, т.е. с = а + в = (а_х + в_x; а_y + в_у; а_z + в_z).}

         ^{Пример 1.}

       ^{а = ( 3; 4; 6) и в = ( -1; 4; -3), тогда с = ( 3 + ( -1); 4 + 4; 6 + (-3)) = ( 2; 8; 3).}

         ^{2. а = (а_х, а_y, а_z) и в = ( в_x, в_у, в_z), тогда разность этих векторов есть вектор с , координаты которого равны разности одноименных координат данных векторов, т.е. с = а - в = (а_х - в_x; а_y - в_у; а_z - в_z).}

        ^{Пример 2.}

       ^{а  = ( -2; 8; -3) и в = ( -4; -5; 0), тогда с = а – в = ( -2 – ( -4 ); 8 – ( -5 ); -3 –0 ) = ( 2; -13; -3).}

         ^{3. При умножении  вектора  а = (а_х, а_y, а_z) на число м все его координаты умножаются на это число, т.е. ма = ( ма_х, ма_y, ма_z).}

         ^{Пример 3.}

        ^{а = ( -8; 4; 0) и м = 3, тогда 3а = ( -8 х 3; 4 х 3; 0 х 3) = ( -24; 12; 0).}

        ^{Понятие вектора, которое нашло широкое распространение в прикладных науках, явилось плодотворным и в геометрии. Аппарат векторной алгебры позволил упростить изложение некоторых сложных геометрических понятий, доказательства некоторых теорем школьного курса геометрии, позволил создать особый метод решения различных геометрических задач.}