Теория принятия решений

 
 

Ответ: X₁ = 3, X₂ = 0, X₃ = 0, X₄ = 0, X₅ =9, X₆ = 0, X₇ = 0.

        Оптимальный план (Z^*) = -75. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Решение задачи в алгебраическом формате с использованием Lindo. 

MAX -x1-7x2+4x3-9x4-8x5+3x6

SUBJECT TO

3X1+2X2+3X3-2x4+x5+x6=18

2X1+X2-X3-3x4+2x5>=24

END

LP OPTIMUM FOUND AT STEP      2 

    OBJECTIVE FUNCTION VALUE 

     1)     -75.00000 

VARIABLE        VALUE          REDUCED COST

     X1         3.000000          0.000000

     X2         0.000000          8.250000

     X3         0.000000         12.250000

     X4         0.000000         19.250000

     X5         9.000000          0.000000

     X6         0.000000          0.500000 
 

     ROW   SLACK OR SURPLUS     DUAL PRICES

       2)         0.000000          3.500000

       3)         0.000000         -5.750000 

NO. ITERATIONS=       2 

RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: 

                           OBJ COEFFICIENT RANGES

VARIABLE         CURRENT        ALLOWABLE        ALLOWABLE

                   COEF          INCREASE         DECREASE

      X1       -1.000000        77.000000         1.000000

      X2       -7.000000         8.250000         INFINITY

      X3        4.000000        12.250000         INFINITY

      X4       -9.000000        19.250000         INFINITY

      X5       -8.000000         1.000000         INFINITY

      X6        3.000000         0.500000         INFINITY 

                           RIGHTHAND SIDE RANGES

      ROW         CURRENT        ALLOWABLE        ALLOWABLE

                    RHS          INCREASE         DECREASE

        2       18.000000        18.000000         6.000000

        3       24.000000        12.000000        12.000000 
 
 
 
 
 

ЗАДАЧА  № 2 

Определить  оптимальное решение по критерию пессимизма – оптимизма по результатам  оценки предпочтения (см. табл.): 

 

при h = 0,3 и h = 0,2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Модель  пессимизма – оптимизма. 

   Знание  вероятности не обязательно.

   Модель  выбора оптимального решения имеет  вид: 

 (1) 

где fij – значение функции предпочтения при оценки i – ого решения в j – ой ситуации.

       Чем больше предпочтение, тем больше значение числа.

   h – коэффициент веса пессимизма.

   Если  h = 0, модель (1) превращается в модель оптимизма. 

   Модель  оптимизма – соответствует стратегии выбора, согласно которой коэффициент решения определяется как наилучшие оценки предпочтений по всем ситуациям. Если критерии приводятся в количественной шкале по принципу “чем выше предпочтение, тем больше соответствует ему число”, то коэффициент решений находим по формуле: 

                                  (2) 

   Тогда модель принятия решения имеет вид: 

                               (3) 

   Если  измерение предпочтения проводим в  порядковой шкале и  - есть ранг i-ого решения в j-ой ситуации, т коэффициент решений находим из выражения: 

                                  (4) 

   Модель  выбора решения (оптимального) имеет вид: 

                               (5) 

   Если  h = 1, модель (1) превращается в модель пессимизма. 

   Модель  пессимизма – учитывается осторожная стратегия поведения.

   Для начала нужно определить коэффициент  важности. Для каждой к-ой цели имеется оценка предпочтения в каждой j-ой ситуации.

   Т.к. модель пессимизма рассчитывается на “худший случай”, то в качестве коэффициента важности i-ого коэффициента выбирается наихудшее значение функции предпочтения по всем ситуациям.

   Если  функция предпочтения измеряется так, что ее наилучшему значению соответствует наибольшее число, то ее наихудшее значение предпочтения есть ее наименьшее число. Поэтому вычисление коэффициента проводят по соотношению: 

                                                                        (6)

   (6) - для i-ого решения выбирается по всем j-м ситуациям min значение. 
 
 
 
 

   Модель  нахождения оптимального решения по критерию пессимизма имеет вид: 

                                  (7)

   (7) - последовательно выполняются операции нахождения минимального значения функции предпочтения во всех ситуациях j, а затем из полученных чисел  находим максимальное число, номер которого и определяет полученное (оптимальное) решение. Критерий пессимизма из уравнения (7) называется максиминным критерием.

   При измерении предпочтений в порядковой шкале наихудшее предпочтение по всем ситуациям соответствует максимальному  значению функции предпочтения. Поэтому коэффициент важности при измерении предпочтений в рангах вычисляют по формуле: 

                                    (8) 

   Модель  принятия оптимального решения в  порядковой шкале имеет вид: 

                                  (9) 

   (9) – из рангов решения по всем  ситуациям определяется наибольший  ранг, т.е наихудшая оценка решения ( ), из всех чисел ( ) выбирается минимальное, т.е. наивысший ранг . Номер коэффициента указывает на оптимальное решение.

Оптимальное в смысле пессимизма решение определяется путем нахождения для каждого решения наихудшее, а далее из наихудших решений выбирается наилучшее.  

   Выбор h осуществляется лицом, принимающим решение, в соответствии со своими личными субъективными представлениями о доли пессимизма или оптимизма при выборе решения.

   В количественной шкале коэффициент  решений в случае моделей пессимизма – оптимизма определяется из следующей  формулы: 

 (10) 

   В ряде случаев лицо, принимающее решение, затрудняется с выбором оптимальной модели принятия решения. В этом случае целесообразно провести анализ разных решений. С этой целью по разным моделям выбирают оптимальное решение и определяют, совпадают или различаются между собой эти решения. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 

Решение: 

Исходные данные: 

 

1. Находим минимальное  значение f_ij:

      min f_ij = (1, 3, 2). 

2. Находим максимальное значение f_ij:

      max f_ij = (9, 8, 6). 

3. Находим коэффициенты решение по критерию пессимизма – оптимизма при

   h = 0,3: 

   

      

      

        

4. Находим оптимальное решение по критерию пессимизма – оптимизма:

     

5. Находим коэффициенты решений по критерию пессимизма – оптимизма при

   h = 0,2: 

      

      

      

        

6. Находим максимальное значение βi:

        
 

Ответ: оптимальное решение по критерию пессимизма – оптимизма

• при h = 0,3 составляет 6,6
• при h = 0,2 составляет 7,4

 
 
 
 

ЗАДАЧА  № 3 

Найти максимальное и минимальное значение сепарабельной целевой функции: 

 

при ограничениях:

       
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Теорема Куна-Таккера. 

   Для задачи нелинейного программирования построим функцию Лагранжа:

где - множитель Лагранжа (i=1,2,…,m) 

   Можно доказать, что вектор Х является решением задач нелинейного программирования тогда, когда существует такой вектор с неотрицательными компонентами, что справедливы неравенства: