Теория Массового Обслуживания

замкнутой СМО служит работа бригады наладчиков в цеху. Станки являются источниками заявок на обслуживание, и их количество ограничено, наладчики – каналы обслуживания. После проведения ремонтных работ вышедший из строя станок снова становится источником заявок на обслуживание. В открытой СМО характеристики потока заявок не зависят от того, в каком состоянии сама СМО (сколько каналов занято). В замкнутой СМО – зависят.

Так, в  рассмотренном выше примере интенсивность  потока «заявок» со стороны станков (т.е. количество заявок в единицу времени) зависит от того, сколько их неисправно и ждет наладки.

По количеству этапов обслуживания СМО делятся  на однофазные и многофазные

системы. Если каналы СМО однородны, т.е. выполняют  одну и ту же операцию обслуживания, то такие СМО называются однофазными. Если каналы обслуживания расположены последовательно и они неоднородны, так как выполняют различные операции обслуживания

(т.е.  обслуживание состоит из нескольких  последовательных этапов или  фаз), то СМО называется многофазной. Примером работы многофазной СМО является обслуживание автомобилей на станции технического обслуживания (мойка, диагностирование и т.д.) 

Простейший  поток событий  и его свойства

Под потоком событий понимается последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени (например, поток вызовов на телефонной станции, поток покупателей, поток заказных писем, поступающих в почтовое отделение и т.п.). Поток характеризуется интенсивностью λ – частотой появления событий или средним числом событий, поступающих в СМО в единицу времени. Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через определенные равные промежутки времени. Например, поток изделий на конвейере сборочного цеха (с постоянной скоростью движения) является регулярным. Такой поток сравнительно редко встречается в реальных системах, но представляет интерес как предельный случай. Типичным для системы массового обслуживания является случайный поток заявок. В этом пункте мы рассмотрим потоки событий, обладающие некоторыми особенно простыми свойствами. Для этого введем ряд определений. 

1. Поток событий называется стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят от времени. В частности, интенсивность стационарного потока есть величина постоянная: λ (t) =λ . Это отнюдь не значит, что фактическое число событий, появляющееся в единицу времени, постоянно, – нет, поток неизбежно (если только он не регулярный) имеет какие-то случайные сгущения и разрежения. Важно, что для стационарного потока эти сгущения и разрежения не носят закономерного характера: на один участок длины может попасть больше, на другой – меньше событий, но среднее число событий, приходящееся на единицу времени, постоянно и от времени не зависит.

2. Поток событий называется потоком без последействия, если для любых двух непересекающихся участков времени τ₁ и τ₂ число событий, попадающих на один

из них, не зависит от числа событий попавших на другой. По сути, это означает,

что события, образующие поток, появляются в те или  иные моменты времени независимо друг от друга, вызванные каждое своими собственными причинами. Например, поток  пассажиров, входящих в метро, практически  не имеет последействия. А вот  поток покупателей, отходящих с  покупками от прилавка, уже имеет  последействие (хотя бы потому, что  интервал времени между отдельными покупателями не может быть меньше, чем минимальное время обслуживания каждого из них).

3. Поток  событий называется ординарным, если вероятность попадания на малый

(элементарный) участок времени Δt двух и более событий пренебрежимо мала по

сравнению с вероятностью попадания одного события. Другими словами, поток

событий ординарен, если события появляются в нем поодиночке, а не группами.

Например, поток поездов, подходящих к станции, ординарен, а поток вагонов –

неординарен.

Поток событий называется простейшим (или стационарным пуассоновским), если он одновременно стационарен, ординарен и не имеет последействия. Название «простейший» объясняется тем, что СМО с простейшими потоками имеет наиболее простое математическое описание. Между прочим, самый простой, на первый взгляд, регулярный поток не является «простейшим», так как обладает последействием: моменты появления событий в таком потоке связаны жесткой, функциональной зависимостью. Без специальных усилий по поддержанию его регулярности такой поток обычно не создается. Простейший поток в качестве предельного возникает в теории случайных процессов столь же естественно, как в теории вероятностей нормальное распределение получается в качестве предельного для суммы случайных величин: при наложении (суперпозиции) достаточного большого числа n независимых, стационарных и ординарных потоков (сравнимых

между собой по интенсивностям i

λ (i =1,2,...,n) ) получается поток, близкий к простейшему с интенсивностью λ, равной сумме интенсивностей входящих потоков, т.е. 
 

Название  «пуассоновский» связано с тем, что при соблюдении 1 – 3 число  событий,

попадающих на любой фиксированный интервал времени, будет распределено по закону Пуассона. 
 
 
 

Показатели  эффективности СМО 

Рассмотрим  сначала СМО с отказами.

Важнейшими  показателями эффективности  СМО с отказами являются следующие параметры:

1. Абсолютная пропускная способность системы;

2. Относительная пропускная способность системы. 

 Абсолютной пропускной способностью СМО называется среднее

число заявок, которое может обслужить система за единицу времени.

Относительной пропускной способностью СМО называется средняя доля поступивших заявок, обслуживаемая системой, т.е. отношение

среднего  числа заявок, которое может обслужить система за единицу времени, к среднему числу заявок, поступивших в систему за это время.

В некоторых  практических задачах используются и другие показатели

эффективности СМО с отказами, например, среднее число занятых каналов,

среднее относительное время  простоя системы, среднее относительное

время простоя отдельного канала и т.п.

Перейдем  теперь к СМО с ожиданием.

В качестве показателей эффективности СМО  с неограниченным ожиданием применяются следующие параметры:

1. Среднее число заявок в очереди;

2. Среднее число обслуживаемых заявок;

3. Среднее время ожидания заявки в очереди;

4. Среднее время обслуживания заявки.

Поскольку в СМО с неограниченным ожиданием каждая заявка, в конце

концов, обслуживается, то для таких систем абсолютная пропускная способность совпадает с интенсивностью входящего потока заявок.

У СМО с ограниченным ожиданием в качестве показателей эффективности используются как показатели эффективности СМО с отказами, так и показатели эффективности СМО с неограниченным ожиданием.

При исследовании многоканальных систем в дополнение к перечисленным  выше показателям  эффективности используются параметры, описывающие каждый из каналов. 

Расчет  показателей эффективности  одноканальной СМО  с отказами

Список  используемых терминов и обозначений 

Постановка  задачи 

Параметры и известны.

Требуется найти:  

Формулы для расчетов

В теории массового обслуживания доказывается, что показатели эффективности одноканальной  СМО с отказами вычисляются по следующим формулам: 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Расчет  показателей эффективности многоканальной СМО с отказами

Список  используемых терминов и обозначений 

 

Постановка  задачи

Параметры , и известны.

Требуется найти  

Формулы для расчетов 

Приведенная интенсивность  потока заявок вычисляется по формуле 
 
 

Вероятности p₀, p₁,..., p_n вычисляются по формулам Эрланга: 
 

_-1 
 

Поскольку заявка получает отказ, если все каналы обслуживания заняты, то 
 
 

Кроме того, 
 
 
 
 
 
 
 
 

Расчет  показателей эффективности  одноканальной СМО  с ограниченной очередью

Список  используемых терминов и обозначений