Теория функции комплексного переменного

n="justify">Значит, в окрестности полюса f(z) не ограничена. В случае, если существенно особая точка f(z), в то f(z) в сколь угодно малой окрестности может принимать значения сколь угодно близкие к любому наперед заданному числу, конечному или бесконечному. То есть не существует. 

3. Связь между нулями и  полюсами функции.

 

Нулем функции f(z) называют любую точку , в которой . Тогда её ряд Тейлора имеет вид:

  , где  , .

То есть f(z) можно представить в виде: , где h(z) аналитическая в точке и .

Число n называется порядком нуля функции f(z) и по сути является номером младшего отличного от нуля коэффициента в разложении f(z) в ряд Тейлора (или, что то же самое, номером младшей производной f(z), отличной от 0).

Тогда        причем (так как ).

Таким образом  будет нулем n-го порядка для f(z) и полюсом n-го порядка для и наоборот. Например, ; -i – простой полюс,          2 – полюс 5 порядка.

Так как  для  - (-i) – простой нуль; 2 – нуль 5 порядка. 
 
 

4. Разложение  Лорана в окрестности  бесконечно удаленной  точки

 

Пусть f(z) – аналитическая при , то есть в окрестности . Пусть , тогда . Очевидно, что аналитическая во всех точках кроме . (то есть в точке , так как ).

Разложение  в окрестности будет:

                                                              (1)

Зная, что  , получим

,

где                                                                                                    (2)

То есть коэффициенты положительных степеней ряда (1) соответствуют коэффициентам  отрицательных степеней ряда (2), и  наоборот. Т.о. если точка будет для существенно особой точкой, полюсом, устранимой особой точкой, то для f(z) точка будет являться точкой аналогичного

класса. 
 
 
 

11. ТЕОРИЯ  ВЫЧЕТОВ.

 
 
 

11.1  Определения. 

Пусть z = a  изолированная особая точка функции f(z). Ряд Лорана для f(z) в окрестности z = a  имеет вид: .

Поскольку по определению изолированной особой точки функция f(z) является аналитической в окрестности z = a , то ряд Лорана для f(z) будет равномерно сходящимся на всяком контуре С лежащем в окрестности z = a.

                                                                          с       

                                                                                   

                                                                                   

Тогда, применяя свойство почленного интегрирования ряда, получаем: .

Разобьем  интеграл от суммы на сумму интегралов и рассмотрим каждое слагаемое: , где и

Если  n = - 1:  по формуле Коши.

Тогда .

Значение  интеграла  называется вычетом ( residu ) функции f(z) относительно точки z = a  и обозначается: .

Т.о. вычет  функции относительно особой точки  равен коэффициенту при  в разложении Лорана для f(z). Тогда вычет функции f(z) отличен от 0, если z = a полюс или существенно особая точка f(z), а для устранимой особой точки вычет равен 0, т.к. разложение Лорана в её окрестности не содержит отрицательных степеней. 

2. Основная  теорема о вычетах

 

Пусть f(z) – аналитическая в области Е, за исключением конечного числа изолированных особых точек . 

                                                    

                                                                                

                          Г                                       

Теорема:  “Интеграл равен сумме вычетов функции f(z) относительно ”        

Доказательство: < Около каждой особой точки опишем контуры , которые лежат внутри Г. Тогда f(z)  будет аналитической внутри сложного контура и по теореме Коши для многосвязной области получаем:

Теорема доказана.> 

Следствие:

 Интеграл  от аналитической функции f(z) по замкнутому контуру Г равен сумме вычетов f(z) относительно особых точек, лежащих внутри Г, умноженной на :   . 

11.3   Вычисление вычетов 

1. Вычет относительно простого полюса.

В этом случае ряд Лорана для f(z) имеет вид:

Тогда

      Т.к. справа степенной ряд, его сумма непрерывна в точке и                                                                             

     

      В частности, если f(z) возможно представить в виде , где и

      аналитические функции, , и , то

     

2. Полюс порядка m.

 

В этом случае ряд Лорана для f(z) имеет вид:

Продифференцируем последнее равенство (m-1), тогда справа получаем степенной ряд, свободный член которого равен . Переходя к пределу:    или

В частности, если f(z) можно представить в виде: , где h(z) – аналитическая в точке   и , то

3. Существенно особая точка.

 

В этом случае функцию необходимо непосредственно разложить в ряд Лорана и найти коэффициент в этом разложении. 

4. Вычет функции относительно бесконечно удаленной  точки.

 

Пусть - изолированная особая точка. Разложение Лорана в её окрестности имеет вид:      (*)

Вычетом относительно бесконечно удаленной  точки называется , здесь контур С обходится в отрицательном направлении, чтобы бесконечно удаленная точка оставалась слева. Ряд (*) сходится равномерно и его можно проинтегрировать:

   .

Т.о. вычет относительно равен коэффициенту при первой отрицательной степени в разложении Лорана, взятому с противоположным знаком.

                                  

Теорема: 

 «   Если f(z) аналитическая на всей расширенной комплексной плоскости, кроме конечного числа особых точек, то сумма вычетов относительно всех её особенностей, включая бесконечно удалённую точку, равна 0 » 

Доказательство:

Опишем  из точки z = 0  окружность  С таким образом, чтобы все особые точки, за исключением , лежали внутри С, на основании основной теоремы о вычетах:

, где  - особые  точки функции.

Прибавим  в обе части равенства  :

Примеры: