[свойство 3]=

  [свойство 1] >

Заметим, что положительным направлением обхода замкнутого контура называется то направление, при котором внутренняя область, ограниченная контуром, остается слева.

Теорема Коши справедлива и для многосвязной области: «Если f(z) аналитическая функция в многосвязной области Е, ограниченной снаружи контуром , а внутри контурами , то , где полная граница области Е.                  

                                                                              

                                             

                                                                 

                                                                                          
 

  < Соединим гладкими кривыми контур и внутренние контуры . Тогда очевидно, что область Е, ограниченная кривыми стала односвязной.

В силу доказанной теоремы Коши, интеграл по границе односвязной области  равен 0.

                                                                                                                      

Интегралы от вспомогательных линий  обходятся дважды в противоположных направлениях и при суммировании взаимно уничтожаются. Получаем: >.

Следствие: Интеграл по внешнему контуру многосвязной области от аналитической функции f(z) равен сумме интегралов по внешним контурам 

<Из последнего равенства имеем:

 

                                                            >

 

8. ПЕРВООБРАЗНАЯ Ф.К.П.

                      ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ

 
 

1. Первообразная.

 

Пусть f(z) определена в области Е, а F(z) дифференцируема в области Е.

Если F’(z)=f(z), для любого , то F(z) называют первообразной функции f(z) в области Е.

Теорема « О существовании  и совокупности первообразных »

 

“Если f(z) дифференцируема в односвязной области Е, то она имеет в этой области первообразную F(z). Совокупность всех первообразных функции f(z) в области Е определяется формулой , где с=сonst.”

Следствие 1. Справедлива формула Ньютона-Лейбница  для ф.к.п.

Следствие 2. Справедлива формула интегрирования по частям.

Следствие 3. Справедлива формула замены переменной. Пусть функция отображает взаимно однозначно контур в w – плоскости на контур в z – плоскости, тогда .

Отметим, что  вообще интегралы от дифференцируемых элементарных ф.к.п. в односвязной  области вычисляются с помощью тех же формул и методов, что и для действительных функций.  

2. Интегральная  формула Коши.

 

Рассмотрим  . Если точка z=0 лежит вне , то аналитическая внутри контура и . Если z=0 лежит внутри , проведем вокруг точки z=0 окружность радиуса R. Тогда из следствия теоремы Коши для многосвязной области получаем .

                                                                                   

                                                                           

                                                                                                       

Тогда вдоль окружности

 

       - если z=0 вне контура

                  - если z=0 внутри контура

Аналогично, если в  сделать замену , можно получить:

            0,    если  вне контура

                           если внутри    

Теорема 1.       

         

“Если f(z) аналитическая функция в односвязной области Е и любой замкнутый положительно ориентированный контур, принадлежащий Е, то для любой точки , лежащей внутри , справедлива интегральная формула Коши: .”

Доказательство:  Пусть - произвольная точка области Е. Рассмотрим функцию , где функция аналитическая везде кроме . Опишем вокруг окружность малого радиуса. Тогда по теореме Коши для многосвязной области имеем: .

Так как  , то если принять , то функция будет непрерывна в замкнутой области , то есть , то по свойству 4 для интеграла ф.к.п. . Поскольку r можно принять сколь угодно малым, получаем .

Тогда , так как   по свойству 2

, по доказанному выше

 

Замечание: Теорема справедлива и для многосвязной области. 

Теорема 2:  

 “ Если однозначная функция f(z) всюду в области Е имеет первую поизводную первого поядка, то она имеет в этой области и все производные высших порядков. Справедлива формула

”

Пример:

, где  :                                 

                                                                                  2        

                                                                                           

                                                                      -2       0       2       4                                   х   

                                                                              -2     

[Считаем ] =

. 
 
 

                             9.     РЯДЫ   ЛОРАНА.   
 

Из ф.к.п. можно составлять ряды, которые будут  обладать еми же свойствами, что  и функциональные и степенные  ряды функции действительного переменного. Можно доказать теорему о том, что функция аналитическая внутри некоторого круга разлагается в ряд Тейлора.

Точку , в сколь угодно малой окрестности которой, функция f(z) является аналитической, будем называть правильной точкой этой функции, а точку не являющуюся правильной называют особой точкой этой функции.

Тогда если - правильная точка f(z), то f(z) разлагается в ряд по степеням в окрестности этой точки и причем окружность круга сходимости ряда  имеет центр в точке и проходит через ближайшую к точке особую точку f(z). Пусть f(z) аналитическая внутри кольца К-к с радиусами R и r и центром в точке . Выберем произвольную точку внутри кольца К-к. Обозначим расстояние между и     -    

                                              

                           r            R

                                    

                                     
 
 

Внутри  К-к выберем две окружности Г  и  с радиусами R’ и r’ такими что

r<r’< <R’<R. По формуле Коши для всякой точки в кольце Г- получаем:                            (1)

В первом интеграле  , тогда

= [ по формуле суммы бесконечно убывающей геометричской прогрессии ] =                  (2)

Этот  ряд сходится для всех , так как

Пусть во втором интеграле , тогда

[ Так как ] =           (3)

Полученный  ряд сходится для всех ,т.к.

Подставляя  разложение (2) и (3)в интервалы (1) получаем :

(*)   

Уравнение (*) получаем в силу равномерной сходимости рядов.

Пусть и

Тогда    (4)

Коэффициент и можно объединить в виде одной формулы

       -окружность  

В самом  деле :

Тогда из (4) получаем  (5): 

 

Ряд (5) называется рядом Лорана для функции f(z). Причем ряд называется правильной частью ряда Лорана и сходится при внутри круга К и изображает функцию аналитическую вне к.

Тогда сам ряд Лорана изображает аналитическую в кольце К-к.

Теорема. Функция аналитическая в данном круговом кольце может быть разложена в ряд Лорана единственным образом.

Например: Разложить в ряд Лорана

1. Найдем особые точки f(z)

        
 
 

10. ОСОБЫЕ  ТОЧКИ Ф.К.П.

 
 

10.1   Классификация особых  точек 

Пусть f(z) аналитическая в кольце , но не аналитическая в самой точке . Тогда называется изолированной особой точкой f(z). Если главная часть разложения f(z) в ряд Лорана в окрестности особой точки содержит бесконечное число слагаемых, то называется существенно особой точкой f(z).

Если  главная часть разложения f(z) в ряд Лорана в окрестности особой точки содержит  m слагаемых (m- конечное число), то называется полюсом порядка m функции f(z). называется простым полюсом, если m=1.

Если  главная часть разложения f(z) в ряд Лорана в окрестности не содержит ни одного слагаемого, то называется устранимой особой точкой. 

2. Характер  поведения f(z) в окрестности особой точки.

 

В случае устранимой особой точки ряд Лорана превращается в ряд Тейлора значения f(z) совпадают  с суммой ряда Тейлора.

 Если  взять  , то , то есть предел функции в точке существует и функция ограничена в окрестности . В случае если - полюс порядка m ряд Лорана для f(z) будет иметь вид:

Тогда

Следовательно, для функции точка будет устранимой особой точкой. Тогда                (*)

Поскольку , то чтобы (*) был равен константе необходимо, чтобы    (иначе  )