Теории вероятности

Теорема 3. Для поторн. и бесповторных выборок выборочная доля w

явлю несмещён. состоят. оценкой для ген. доли р; wàp.

Характеристика оценок для повторной и бесповторной выборки.

 

Оценка	Мат. ожидание	Дисперсия
		повт. выборка	бесповт.
выб. средн.
выб. доля W

 

Оценка	Среднее квадратическое отклонение
	повторная	бесповторная
W

 

 

 

Замена неизвестных  параметров их выборочными оценками назыв. точечным оцениванием. Интервальное оценивание. Формула доверительной вер-ти.Пусть Z-оценка неизв-го параметра h (h=p генер-ая доля, Z=w –выборочная доля). Если полагая, что h»Z, то это точечное оценивание (p»w).; Под интервальным оцениванием неизвестного параметра h понимают следующее: из теорет-х соображен. находят закон распредел-я оценки Z –плотность распред-я вер-ти ; по результатам серии из n измерений находят значение оценки Z, а затем для избранного значения Е>0 вычисляют вер-ть того, что неизвестное значение параметра h накрывается интервалом (Z-E, Z+E), т.е. вычисляют вер-ть. P(|Z-h|<E): при этом эта вер-ть назыв. доверительной вер-тью, а интервал (Z-E, Z+E)-доверительным интервалом, а Е –произвольная ошибка выборки.; Теорема: Закон распред-я

выборочной средней  неограниченно приближается к нормальному  при неограниченном увеличении объёма выборки. Если Х-нормально распределена с параметром а=М(Х) и 

, тогда  .; Пусть ; -ген. средняя;

àФормула доверительной вер-ти имеет вид: .

Пусть Хàw; aàM(w)=p –ген. доля ;

 

Элементы проверки статистических гипотез.

Опр. Статистической гипотезой наз-ся любое предположение о виде или параметре неизвестного закона распред-я. Обычно проверяемую гипотезу обозначают через Но.;

Пусть дан вариационный ряд.

возмож-ые знач. признака Х	Х1	Х2	…	Хк	å
число объектов	n1	n2	…	nk	n

Гипотеза Но: {Обязательно формулировать при задачах} Случайная величина Х-з/п рабочего имеет нормальный закон распред-я с параметрами а=151,6; s=24,3 (отклонение эксперем-х данных от теорет-х вызвано случ-ми факторами). Экспериментальные данные ni- эмпирические частоты (см. вар. ряд). (i=1,2,…m, где m- число

тнтервалов). Теоретич-ие данные (см. гипотезу Но);

  ; .

В качестве меры расхождения  между эксперим-ми и теорит-ми данными  испол-ют статистику (хи). Статистика – случайная вел. с парам.; При

достаточно большом n закон распределения статистики известен и не зависит от

 закона распред-я  случ. величины Х. При nॠэта статистика имеет так называемое распределение с K=m-S-1 степенями свободы. (m-число интервалов; S- число параметров закона распр-я Х).; Опр.: Уравнением значимости наз-ся вер-ть отвергнуть гипотезу Но, когда она верна. a- ур-нь значимости (тоже что и эпсило). Опр.:

Пороговым значением - наз-ся число, определ-ое равенством . Опр.: Правило по которому гипотеза Но приним-ся или отвергается наз-ся статистическим критерием.

 

Критерий Пирсона: Если вычисл-ое значение статистики меньше порогового значения ,то гипотеза Но приним-ся, в противном случае отвеграется на ур-не значимости a. Замечание:  Отвержение гипотезы Но, когда она верна – ошибка 1-го рода. Наоборот вер-ть принять гипотезу h когда она не верна –ошибка 2-рода.

 

Коэффициент корреляции и его св-ва (продолжение). 1)Пусть r- коэфф-нт корреляции случ. Величин X и Y . Заменяя в последнем

выражении входящие величины на их выборочные оценки, получаем формулу вычисления выборочного коэфф-нта корреляции r: , где -выборочная ковариация.; Известно ; ; . Т.к. знаки коэфф-та коррел-ции r с одной стороны и   коэфф-тов прямых регрессий

совпадают (определяются знаки m), то справедлива формула: , где зн. «+»- в случае , зн. «-»- если . Опр.: Если r>0, то связь между переменными наз-ся прямой. Если r<0- связь обратная. Опр. Связь между переменными тесная, если |r|³0,7;умеренной если 0,4£|r|£0,7; слабой если |r|<0,4. Основное св-во коэфф-та корреляции |r|£1.

 

Предельное  значение коэфф-та корреляции.

 

Пусть|r|=1 т.ит.т.к. по геометрическому смыслу коэфф-нт прямых регрессий , а

tga×ctgb=1; tga×1/tgb=1; tga=tgb=>прямые регрессии

паралельны, но т.к. он имеютобщую точку ( ), то прямые регрессии совпадают. Вывод: при |r|=1 прямые

регрессии совпадают.2)r=0ó т.ит.т.к. m=0 т.ит.т.к. и

; ;

; -прямая регрессий х по у.; Замечание: Если r=0, то говорят,

что между переменными х и  у отсутствуеет линейная зависимость. Дополнение: Ур-ия прямых регрессий  имеют вид:

, , , .

Обозначим , , в терминах эти ур-ния прямых

регрессий имеют вид:

tga=r, ctgb=r;

tga=tg(a-b)= ; tgj= .

 

 

 

 

Оценка значимости коэфф-та корреляции. Рассмотрим следующую гипотезу Но: коэфф-нт корреляции=0, т.е r=0. В кач-ве меры доверия к справедливости данной гипотезы исп-ся статистика. . Закон распр-я данной статистики известен: она имеет так называемые распредел-е Стьюдента с k=n-2 степенями свободы.; Опр. Пороговое значение , для статистики t определяется равенством .;

 Критерий Стьюдента: Если вычисленное значение статистики t удовлетворяет нер-ву - гипотеза n-Ho принимается, в противном случае – отвергается на уровне значимости a.

  

 

 

 

t попадает в эту область с вер-тью 0,95