Теории вероятности

Док-во:

Пусть j(х)- плотность распределения случ. величины Х.

 

 

 

1)Предположим, что j(х)<0 на некотор.[a,b] =>P(a£x£b)= ×j(х)dx<0 –

невозможною => предположение неверно. 2)

 

Парадокс нулевой вероятности.

Т. Для непрерывной случ. величины вер-ть принять какое-либо точечное значение=0.Док-во: P(x=a)=P(a£x£a)= ×j(x)dx=0.Теорема доказана. Следствие:

 Пусть Х- не прерывная случайная  величина, тогда справедливы равенства:  P(a£x£b)=P(a£x<b)=P(a<X£b)=P(a<X<b).

Док-во: P(a£X£b)=P((a£X<b)+(X=b))=P(a£X<b)+P(X=b)=P(a£X<b)- доказано. Далее аналогично. Ф-ция распред-я непрерывной случайной величины. Пусть j=j(х)- плотность распред-я случ.

величины Х.; F(X)=? ; F(X)=P(X<x)=P(-¥<X<x)= . F(x)= . ; Обратно по т. об интеграле с переменным верхним пределом. j(x)=F¢(x)

 

Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной  величины.

Дискретная случайная величина.  Непрерывная случайная величина

1)Закон распределения  Х: хi … xk 1)Плотность распред-я j=j(х)                                                                                             pi … pn

2)Мат. ожидание M(X)=åxipi  M(X)={предел от -¥ до +¥}×xj(x)dx

{åот i=1 до к}2)Мат. ожидание.

 

3)Дисперсия D(X)=å(xi-M(x))квадрат×pi  3)Дисперсия D(X)=

{предел от -¥ до   +¥}×

(x-M(x))квадрат×j(x)dx    

Нормально распределённая случайная величина.

Опр. Говорят что непрерывная  случ. величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами  а и s, если её плотность распределения вер-ти

имеет вид: (где а,s-числа s>0).; Теорема. Пусть Х- нормально распределена с параметрами а и s => M(X)=a; D(X)=s квадрат.; Рассмотрим как изменяется график j{отN}×(Х) с изменением параметров а и s.

1)Пусть s=const     

 

2)Пусть а=const

Теорема. Пусть Х- нормально распределена с параметрами а и s, тогда справедливы формулы.

1) ;

2) ;

3)

 

Центральная предельная теорема  Муавра Лапласа как следствие  из неё.

Т. Пусть случ. величины Х1,Х2,…Хn- независимы и одинаково распределены, тогда закон распределения их суммы (т.е. случ. величины Х=Х1+Х2+…+Хn) неограниченно приближаются к нормальному при неограниченном увеличении n.;

Следствие: Биномиальное распределение  переходит в нормальное при неограниченном увеличении n.; Док-во: Пусть Х биномиально распределена с параметрами n и p. Пусть более точно Х- число наступления события А в n повторных независимых испытаниях в каждом из которых событие А наступ. с вер-тью р, тогда Х=

=Х1+Х2+…+Хn, где Хi-число наст-ий соб-ия А в i-ом испытании (i=1,2,…n). Хi- независ. и одинаково распределены по центральной предел-ой теореме. Следствие доказано.; Пусть X=m- биномиально распределена с параметрами n и p => для нормального распр-ия известно, что вер-ть попадания в отрезок.

-Интегральная

теорема Муавра Лапласа.

Геометрически приближение биномиального  закона к нормальному, означает, что  с ростом n точка (m, Pm,n) (где m=0,1,2,3,…) неограниченно приближается к нормальной кривой jN(x) для котор. а=np, s=Önpq Тогда полагают, что Pm,n»jN(m) => подставляя в выражение jN(x) x=m, a=np, s=Önpq

 

 -Локальная теорема Муавра Лапласа

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Двумерные случайные величины.

Опр. Вектор Z=(x,y) компоненты Х и У которые яв-ся случ-ми величинами назыв-ся случайным вектором, или двумерной случайной величиной. Например: X-рост чел-ка; У-вес чел-ка  ß это двумерные непрерывные величины. Рез-т им-я двумерной случ. величины- это точка плоскости.  Опр. Связь между переменными назыв. статистической, если каждому значению одной переменной

ставится в соответствие закон распределения другой.  Задание статистической связи между  двумя переменными равносильна  заданию двумерной случайной  величины.

Рассмотрим  двумерные  дискретные случ. величины закона распределения, в данном случае задаётся с помощью таблицы вида:

      Yi|  yi  где Pij=P((X=xi)(Y=yj))

Xi      |  *   

*        |  *ß Совместный закон распределения случ-х величинин.

Xi***********************Pij           

Основное св-во совместного  закона распределения

Опр. Закон распределения  одной переменной при фикс-ом значении др-ой назыв ус-ным распределением. Опр.: Связь между переменными наз-ся функциональной, если каждому значению одной переменной ставится в соответствие однозначно

определенное  значение другой переменной. Опр.: Функциональная зависимость между значениями одной  переменной  и усл-ми матам-ми ожиданиями другой назыв. корреляционной. Корреляция бывает двух видов: а) (xi, Mxi (Y))- корреляционная зависимость у по х; б) (Myj(X)yj)- коррел. зависимость х по у. Опр. Ф-я j=j(х,у)- назыв. плотностью распределения двумерной случайной величины Z, если для произвольных чисел a, b, g, d (a<b, g<d) вер-ть того, что значения случ-ой величины Z окажется принадлежащим прямоуг-ку a£Х£b, g£Y£d вычисл-ется по ф-ле:

; , где а величина

 

Коэффициент корреляции и его св-ва.

Опр. Коэффициентом корреляции случ. величин Х и У назыв. число, вычисляемое по ф-ле: r=(M(XY)-M(X)M(Y))/(sXsY), где sX=ÖD(X), sY=ÖD(Y), а M(XY)-M(X)M(Y)- ковариация KXY.  Модуль коэфф-та корреляции не превосходит 1, т.е. -1£r£1.; Если модуль коэфф-та |r|=1, то между случайными величинами

существует линейная функциональная зависимость.; Пусть r- коэфф-нт корреляции случайных величин X и Y: r=(M(XY)-M(X)M(Y))/(sXsY) ; Заменяя в последнем выражении входящие величины на их выборочные оценки, получаем формулу для

вычисления выборочного коэфф-нта  корреляции r: -выборочная ковариация, т.к.

, ; ;

, «+»,если  ; «-» если

.Если r>0,то связь между переменной называется прямой.

Если r<0- связь называется обратной. Связь между переменными признается тесной, если |r|³0,7; умеренной если 0,4£|r|£0,7; слабой если |r|<0,4. Основное св-во коэфф-та корреляции: |r|£1.; Предельное значение коэфф-та корреляции:

1. |r|=1,т.и т.т.к. byx*bxy=1 => прямые регрессии совпадают.

2) r=0 т.и т.т.к. µ=0 ó byx=0 и bxy=0 => прямые регрессии перпендикулярны.; Если r=0 то говорят, что между переменными х и у отсутствует линейная корреляционная зависимость.

 

Двумерный  нормальный закон распределения.

Опр. Случайная величина Z=(X,Y) наз-ся распр-ой по двумерному нормальному закону, если её плотность распределения вер-ти имеет следующий вид:

,где 

,

где

 

Теорема: Пусть Z=(X,Y)- двум-ая кор-ая случ-ая величина, тогда корр-ционные зависимости между X и Y линейны более точно справедливы формулы: Mx(Y)=a Y+(r(sY)/(sX))×(x-aX)- корр-ная зависимость у по х. ;

Замечание: В дальнейшем à Mx(Y)=Уx; My(X)=Xy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Закон больших  чисел.

Неравенство Чебышева, Лемма Чебышева.

Лемма Чебышева: Пусть  среди значений случ. вел-ны Z нет отриц-х, тогда вер-ть  того, что в некотором испытании значение этой случ. величины окажется больше, чем А (А-нек. число) оценивается по ф-ле: P(Z>A)£M(Z)/A; Равносильно утверждение: P(Z£A)³1-(M(Z))/A.

Неравенство Чебушева.: Вер-ть того, что в некотором испытании значение величины Yбудет отличаться от математического ожидания этой случайной величины не более чем на e (по абсолютной величине) оценивается по ф-ле:

Следствие 1). Пусть Y=(x1+…xn)/n, где х1,х2,…хn-независимы, M(xi)=ai, D(Xi)£C, где С- некоторое число i-1,2,…n, тогда справедливо нер-во.

Следствие 2) Пусть имеется n независимых случайных х1,х2,хn чисел, имеющих одинаковые математические ожидания M(Xi)=a и дисперсиями, ограниченными числом С, тогда справедливы неравенства D(Xi)£C.

Следствие 3) Пусть имеется n повторных независ. испытаний, в каждом из которых событие может произойти с … n. С каждой вер-тью число успехов n повторн. незав. Испыт. Х=m- биномиальный закон распределения. M(Xбин)=np; D(Xбин)=npq. Рассмотрим нер-во Чебышева: , применим получится

Следствие 4) Для частости (доли) признака в повторных независимых испытаниях доля или частостьà X=m/n; M(m/n)=p; D(m/n)=pq/n. Применим нер-во Чебышева к этой случайной величине, получим:

; -это также называется нер-вом Бернулли. Следствие 5) Устойчивость среднего арифметического. Практически достоверно можно утверждать, что при достаточно большом n среднее арифметическое случ. величины сколь угодно мало отличается от среднего арифметического их математических ожиданий. Предполагается независимость à

     Говорят, что среднее  число случайных величин сходится  к вер-ти их математических  ожиданий   

Замечание: Следствие 5 получается из следствия 1, если в правой части  перейти к пределу при nà¥

Следствие 6) Устойчивость частости (доли) Практически достоверно, что доля успехов в n повторных независимых испытаниях сколь угодно мало отличается от их вер-ти успеха (при достаточно большом числе испытания n) ,или

же  Замечание: следствие 6 получ. Из следствия 4, если в правой части перейти к пределу при nà¥.

 

Вариационный  ряд.

Пусть имеется некотор. признак Х,котор. подлежит изучению. Значение признака х назыв. их вариантами. Рассмотрим совокупность элементов  – носителей признака. Кол-во элементов назыв. объемом совокупности. ; Если признак х принимает изоли-

рованные значения, то он назыв. дискретным, если знач. Признака заполняют нек. интервал, то он интервальный. Пример: Х- размер обуви ß дискретный признак; Х- ростßинтервальный признак. Кол-во элементов совокупности, кот обладает  данными значениями признака назыв. частотой этой варианты. Суммы всех частот = n. åni=n;   (ni/n)=Wi.;  Опр.: Вариационным рядом называется таблица, содержащая варианты в порядке возрастания и соответствующие им частоты или частости. Вариационный ряд – дискретный если варианты дискретны. Если признак принимает непрерывные

значения, то интервал его  значения разбив. на частности соответствующими частотами или частостями – такой  ряд –интервальный.

 

Характеристики  вариационного ряда.

1) Среднее значение         Ср. знач. вар. ряда явл. аналогом мат. ожидатия случайной величины.; 2) Диспер. вар. ряда явл аналогом

дисперсии случ. величины.;

3)Среднеквадратич. Отклонения à s  s=Öиз sквадрат.;

Упрощённый метод вычисления хар-к вариацион. ряда. Пусть К- разность между соседними значениями варианта. С- это наиболее часто встречающаяся  варианта или варианта, стоящая в  середине ряда.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Математическая статистика.

Пусть имеется нек. признак  Х, подлежащий изучению. Вся совокупность элементов – носителей этого  признака назыв. генеральной совокупностью, а кол-во элементов N- объёмом генеральной совокупности.; Пусть признак Х может принимать значения х1, х2,…хm с соответствующими частотами N1,N2,…N, причем Сумма этих частот= N.; Вариационный ряд, полученный для признака Х –получ. на всей совокупности назыв. генер. вар. рядом. Его характеристики назыв. генеральными: -генеральная средняя; -генер. дисперсия; s -генер. средняя квадратическое отклонение; . Как правило генер. вар. ряд и его генер. хар. не известны. Найти или оценить неизвестные параметры ген. Совокупности –это задача мат. статистики. Опр.: Оценкой неизвест-

ного параметра назыв. случ. величина, с помощью которой  делаются выводы о значении неизвестного параметра.; В мат. статистике оценки находятся с помощью выборочного 

метода.

Выборочный метод закл. в том, что из всей генер. ссовокупности случайным

образом  отбирается некоторая  её часть, которая назыв. случайной  выборкой.; По рез-там этой выборки  делаются выводы о генер. совокупности, причем эти выводы делаются с определ. Точностью и надёжностью. Для  того чтобы выборка адекватно отражала генеральную совокупность она должна удовлетворять след. требованиям.

1) Массовость, т.е. выборка должна быть достаточно большого объёма, чтобы проявить массовые закономерности. 2) Случайность, т.е. каждый элемент ген. совокупности должен иметь одинаков. вер-ть, чтобы попасть в выборку. Выборка, удовлетворяющая этим требованиям называется представительной или презентавительной. Поскольку выборка образована случайным образом , то все её хар-ки явл. случайными величинами. Хар-ки выборки могут служить оценками неизвестных параметров ген. совокупности.

Требования к оценке: 1) Несмещённость.à Оценка Х параметра а назыв. несмещённой, если её мат ожидание совпадает с её параметром М(Х)=а.;

2) Состоятельность. Оценка  назыв. состоят., если она сходится  по вер-ти к оцениваемому параметру, т.е. при достаточно большом числе испытаний n, практически достоверно что оценка сколь угодно мало отличается от оцениваемого параметра. LimP(|X-a|<E)=1 при хàбесконечности.;

3)Состоятельная оценка  назыв. эффективной, если она имеет минимальную дисперсию

среди всех состоятельных  оценок.

 

Случайные характеристики выборочного вариац. ряда.

Пусть образована случ выборка  объема р и при обследов. выборки  Х получ. вариац. ряд.

х1	х2	…	хm
n1	n2	…	nm

Сумма ni=n  -этот ряд выборочный вариационный.Его характеристики: -выборочная средняя. -выборочн. дисперсия. -выб. ср. квадр. отклон. -? Выборочн. характеристики назыв. случайными величинами, кот. могут служить оценками для неизвестного параметров генер. совокупности.

Теорема1): Для повторн. и бесповторной выборок выборочная средняя явл. несмещённой состоятельной оценкой для генеральной средней (сигма о квадрат).;

Теорема2): Для повторной и бесповторной выборок выборочная дисперсия явл. смещённой состоятельной оценкой для генеральной средней. Несмещённой оценкой явл. выборочная дисперсия. ; .

Замечание: При достаточно большом объёме выборке n эти объёмы практически совпадают.;