Теореми Чеви та Менелая

 

Міністерство  освіти і науки, МОЛОДІ ТА СПОРТУ України

 

 

 

 

 

 

 

 

Курсова РОБОТА

з геометрії

 

НА  ТЕМУ:

«Теореми Чеви та Менелая»

 

 

                                         

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Київ - 2012

ЗМІСТ

 

ВСТУП………………………………………………………………………3

І ТЕОРЕМА ЧЕВИ…………………………………………………………5

    1.1 Доведення за допомогою подібності трикутників………………...5

    1.2 Доведення за допомогою площ трикутників………………………7

    1.3 Доведення за допомогою теореми Фалеса…………………………8

    1.4 Аналітичний метод…………………………………………………..9

    1.5 Доведення за допомогою центра мас……………………………..10

    1.6 Доведення за допомогою барицентричних координат………….12

    1.7 Тригонометрична форма..…………………………………………14

    1.8 Наслідки з теореми Чеви…………………………………………..15

ІІ ТЕОРЕМА МЕНЕЛАЯ…………………………………………………16

    2.1 Доведення за допомогою подібності трикутників……………….16

    2.2 Доведення за допомогою площ трикутників……………………..18

    2.3 Доведення за допомогою теореми Фалеса………………………..19

    2.4 Аналітичний метод…………………………………………………19

    2.5 Доведення за допомогою центра мас……………………………..20

    2.6 Доведення за допомогою барицентричних координат…………..20

    2.7 Тригонометрична форма…………………………………………...21

    2.8 Доведення за допомогою гомотетії……………………………….22

ІІІ Приклади розв’язання задач…………………………………………..24

ВИСНОВКИ……………………………………………………………….33

ПЕРЕЛІК ПОСИЛАНЬ…………………………………………………...34

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВСТУП

 

 

Об’єктом  дослідження є теореми Чеви та Менелая на площині та в просторі.

Мета роботи – дослідити докази двох теорем : теореми Менелая і теореми Чеви.

Хоча  математиків  − древньогрецького і італійського розділяють 17 віків, теореми, названі їх іменами, мають двоїстість.  Якщо у будь-якій з них замінити пряму точкою і точку прямої, то теорема Менелая стане теоремою Чеви, і навпаки.

Досліджені  теореми значно спрощують розв’язування ряду геометричних завдач.

Теорема Менелая дозволяє знаходити відношення відрізків, а також доводити належність трьох точок одній прямій. Теореми Чеви та їх наслідки використовується при розв’язуванні задач про три прямі, що проходять через одну точку, а також при доведенні теорем про перетин трьох прямих в одній точці.

Результати  досліджень можуть бути застосовані  при викладанні теми “Теореми Чеви та Менелая” в математичних класах середніх шкіл, гімназіях та ліцеях, при позакласній роботі з учнями (на заняттях математичних гуртків, при  проведенні математичних олімпіад, для  індивідуальної роботи з найбільш здатними учнями).

Теореми Чеви та Менелая корисні у випадках, коли необхідно “з’ясувати відношення”  між точками та прямими, – наприклад, довести, що будь-які три прямі  перетинаються в одній точці, три точки лежать на одній прямій та ін.

 Теореми  Чеви та Менелая не входять  в основний курс шкільної геометрії,  між тим вони прості, цікаві  й застосовуються при розв’язанні  досить складних задач.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

І ТЕОРЕМА ЧЕВИ

Теорема Чеви − це класична теорема геометрії трикутника. Ця теорема афінна, тобто вона може бути сформульована з використанням тільки тих властивостей, які зберігаються при афінних перетвореннях. Теорема названа на честь італійського математика Джованні Чеви, який довів її в 1678. Чева Джованні (1648-1734) – відомий італійський інженер-гідравлік і геометр. Свою теорему він сформулював у праці “Про пересічні прямі” (1678), яка започаткувала нову синтетичну геометрію. Довів він її, використовуючи властивості центрів мас системи точок.

Означення: Відрізок, що з'єднує вершину трикутника з деякою точкою на протилежній стороні, називається чевіаною.

Теорема: Нехай A₁, B₁, C₁  лежать на прямих BC, CA, AB  трикутника  ∆ABC. Прямі AA₁, BB₁, CC₁ конкурентні (тобто паралельні або перетинаються в одній точці) тоді і тільки тоді, коли:

 

Доведемо  теорему декількома способами.

 

1.1 Доведення за допомогою подібності трикутників.

 

Необхідність: Нехай прямі AA₁, BB₁, CC₁ перетинаються в точці O (рис. 1.1). Через точку B проведемо пряму, паралельну прямій AC. Нехай прямі AA₁ i CC₁ перетинають цю пряму в точках M i P вiдповiдно.

         Рис. 1.1

 

Оскільки ∆AAC₁ ~ ∆BAM₁, то

 

 

з подiбностi ∆ACC₁ i ∆PC₁B випливає, що

 

Оскiльки ∆AOB₁ ~ ∆BOM, ∆COB₁ ~ ∆POB, то

 

Отже

 

Перемножимо почленно рiвностi (1), (2) i (3). Дістанемо:

 

 

B₁

A₁

C₁

C

B

A

Рис. 1.2

Що й треба було довести.

 

Достатність: Нехай для точок A₁, B₁, C₁ виконується рiвнiсть

 

Доведемо, що прямі AA₁, BB₁ i CC₁ і проходять через одну точку. Нехай AA₁ і CC₁ перетинаються в точці O (Рис. 1. 2). Проведемо через точки B i O пряму, що перетинає сторону AC в точці B₂. Оскільки прямі AA₁, CC₁ i BB₂ перетинаються в точці O, то справедлива рiвнiсть

 

З двох одержаних рівностей дістанемо, що

 

Нехай цi спiввiдношення дорiвнюють коефiцiєнту k, тодi і _. Але _{Отже, .}

Оскільки  точки B₂ i B₁ належать вiдрiзку AC, то точки B₁ i B₂ збігаються. Отже, прямі AA₁ , BB₁ i CC₁ перетинаються в одній точці, що й потрібно було довести.

Надалі будемо розглядати тільки необхідну умову. Достатня доводиться аналогічно розглянутій  в 1.1.

 

1.2. Доведення за допомогою площ трикутників

 

 

а) Оскiльки площi трикутникiв з рiвними висотами пропорцiйнi основам, то

,

використовуючи  властивість дробів:

Аналогічно, і .

 

б) Площі трикутників з рівними основами пропорційні висотам.

Опустимо  з точок A і В и перпендикуляри на пряму СС₁ (Рис. 1.3). Оскільки ∆AA₂C₁ ~ ∆BB₂C₁

 

 

Аналогічно  отримуємо рівність  для інших  пар                                           

C

A₁

B₁

A

A₂

C₁

B₂

B

Рис. 1.3

подібних трикутників

         

                             

Отже, = 1

 

 

c) При доведенні скористаємося наступною лемою:

Даний довільний  трикутник ABC; точка B₁ лежить на стороні AC, E - довільна точка відрізку BB₁ . Тоді

 

Нехай відрізки AA₁, BB₁ і CC₁ перетинаються в одній точці E. Тоді, згідно з лемою, маємо:

 

Перемноживши  ці рівністі, отримаємо:

 

 

1.3. Доведення  за допомогою теореми Фалеса.

 

A₃

C

B₁

O

A₁

B

A₂

C₁

A

Рис. 1.4

Введемо позначення

 

 

Тоді,

Проведемо прямі  і

        _{(Рис. 1.4).}

За т. Фалеса  ( )

Тогда по т. Фалеса ( )

(1)

Аналогично розглянемо за т. Фалеса  ( )

і за т. Фалеса  ( )

(2)

Прирівнюючи праві частини рівностей (1) и (2), отримаємо

 

1.4. Аналітичний метод

C(c;0)

A₁

B₁

A(0;0)

C₁

B(a;b)

 

Рис. 1.5

          

Помістимо в початок координат точку А, а вісь ОХ направимо по прямій АС (Рис. 1.5). Використаємо введені раніше позначення К_А, К_В, К_С і формулу ділення відрізка в заданому відношенні:

 

 

і рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки:

Пряма   (1)

Пряма (2)

Прямая  (3)

Знайдемо координати точки О як точки перетину АА₁ и СС₁

Із (1) и (2) випливає  

 

 

Т. я. точка , то при підстановці в формулу (3) отримаємо вірну тотожність (претворення опускаємо)

.

 

1.5. Доведення  за допомогою центра мас.

 

 

Означення: Матеріальною точкою називається пара mA, де А−довільна точка, а m - дійсне число «маса», яка «зосереджена» в точці.

Центром мас (або барицентром) системи матеріальних точок (A₁, m₁), (A₂, m₂), ..., (A_n, m_n) називається така точка Z, для якої має місце рівність m₁ · ZA₁ + m₂ · ZA₂ + ... + m_n · ZA_n = 0.

Якщо точка Z є центром мас системи матеріальних точок (A₁, m₁),     (A₂, m₂), ..., (A_n, m_n) при чому m₁ + m₂ + ... + m_n ≠ 0, то для будь-якої точки O справедлива рівність

                     OZ=

Рис. 1.7

A₁

C₁

A

B

C

P

B₁

B₁

P

C

A₁

B

C₁

A

Рис. 1.6

 

 

 

 

 

 

 

Нехай такі числа, що (рис 1.6, 1.7).

Легко побачити, що При чому (за умовою теореми).

Оскільки , то т. С₁ є центром мас матеріальних точок 1A і αB. Аналогічно т. A₁ є центром мас матеріальних точок і , т. B₁ є центром мас матеріальних точок і , тобто, і 1A.

Нехай . Позначимо через Z центр мас всіх трьох матеріальних точок. Тоді:

 

Аналогічно  можна побачити, що , .

Таким чином, прямі мають спільну точку Z.

Нехай Оскільки B₁ є центром мас матеріальних точок і 1A, то

 

 

Аналогічно,

.

Оскільки, то

Тому . Аналогічно, .

Отже прямі або мають спільну точку, або попарно паралельні.

 

1.6. Доведення за допомогою барицентричних координат

 

 

По аналогії з координатами вектору відносно деякого базису векторного простору можна ввести поняття барицентричних координат точок в афінній оболонці афінно незалежних точок.

Нехай x₁,…,x_n −довільні афінно незалежні точки. Тоді будь-яка точка

x∈aff (x₁,...,x_n) єдиним чином виражається у вигляді барицентричної комбінації точок x₁,…,x_n.

 

Елементи  називають барицентричними координатами  точки x відносно точок x₁,…,x_n.

y

x

b

c

a

Рис. 1.8

 

Лема: Нехай точки, які не лежать на одній прямій, і точка (Рис. 1.8). Тоді пряма ax називається чевіаною трикутника abc. На стороні ac трикутника abc взято точку y. Нехай

 

 

 

Тоді

1) Чевіани ax і by співпадають ⟺ y=a x=b

2) Чевіани ax і by паралельні ⟺

3) Чевіани ax і by мають едину спільну точку ⟺

z

y

x

b

c

a

Рис. 1.9

Теорема. Припустимо, що кожна з трьох чевіан ax, by i cz мають одну спільну точку. Тоді чевіани ax, by i cz мають спільну точку ⟺

 

 

 

 

Доведення.

 

 

 

чевіани ax, by i cz мають спільну точку (Рис. 1.9) ⟺ спільна наступна система рівнянь відносно t₁, t₂, t₃ ∈ F :

 

Або

 

 

 

Оскільки  точки a, b, c афінно незалежні, то отримана система рівносильна наступній

Виключаючи з системи невідомі , отримаємо

 

Згідно з умовою теореми, , тоді отримана система сумісна ⟺

 

або

 

 

1.7. Тригонометрична  форма 

 

 Тригонометрична форма теореми Чеви для точок A₁, B₁, C₁, що лежать на сторонах трикутника ABC:

 

 

                      Рис. 1.10

Доведення: Нехай орієнтовна кути (Рис. 1.10).

За теоремою синусів

 

 

Оскільки , якщо ∠AB₁B – гострий (і навпаки, якщо ∠СB₁B– гострий),  то

 

Аналогічно,

 

Перемножемо

 

 

Отже,

 

 

1.8. Наслідки з теореми Чеви

 

 

1. Медіани трикутника перетинаються в одній точці.

2. Бісектриси  трикутника перетинаються в одній точці.

3. Прямі, що сполучають вершини трикутника з точками дотику вписаного в нього трикутника, перетинаються в одній точці. Ця точка називається точкою Жергона

4. Висоти трикутника перетинаються в одній точці.

5. Прямі, що сполучають вершини трикутника з точками дотику вневписанной кола із сторонами  трикутника(а не з їх продовженнями), перетинаються в одній точці. Ця точка називається точкою Негеля.

6. Прямі, що  сполучають вершини трикутника  з точками дотику одного з  вневписанных кіл із стороною  і продовженнями сторін трикутника, перетинаються в одній точці. 

7. Прямі, що  сполучають вершини трикутника  і ділячі(внутрішнім чином) сторони,  що протилежать, на частини,  пропорційні квадратам прилеглих  сторін, перетинаються в одній  точці. Ця точка називається  точкою Лемуана.

8. Биссектриссы двох зовнішніх кутів трикутника не паралельні.

 

 

ІІ. ТЕОРЕМА МЕНЕЛАЯ

 

 

Менелай Александрійський (I століття) − древньогрецький математик і астроном. Автор робіт по геометрії сфери. Для отримання формул сферичної тригонометрії використав теорему про пряму, що перетинає сторони трикутника. Ця теорема доводиться в третій книзі "Сферика". Менелай спочатку доводить теорему для плоского випадку, а потім центральним проектуванням переносить її на сферу. Можливо, що плоский випадок теореми розглядався раніше в незбережених "Порізмах" Евкліда.

 

Теорема. Нехай дано трикутник ABC i точки A₁ , B₁ , C₁ на прямих BC, AC і AB вiдповiдно. Точки A₁ , B₁ , C₁ лежать на однiй прямiй тодi й тiльки тодi, якщо

 

 

Доведемо  теорему декількома способами.

 

2.1. Доведення за допомогою подібності трикутників.

 

 

K

A₁

B₁

C₁

B

A

C

Рис. 2.1

Необхідність:

а) Нехай точки A₁ , B₁ , C₁ лежать на однiй прямiй (Рис. 2.1). Проведемо через точку C пряму, паралельну AB, що перетинає B₁C₁