Статистичний аналіз даних за допомогою середовища MS Exsel. Варіант №12

     Вибір константи  згладжування α є вирішальним  моментом при обчисленні значення  прогнозованої величини. Більше  значення  α приписує більшу  вагу останнім спостереженням . На  практиці значення  α беруть  у межах від 0,01 до 0,30.

1.4 Основи кореляційного аналізу

     Значення числових характеристик описують кожну з вимірюваних  величин х й у окремо. При цьому середнє арифметичне значення характеризують положення вимірюваної величини на числовій осі (вони приблизно характеризують центри розподілів). Середні квадратичні відхилення є мірою розсіювання вимірюваної величини : чим більше їхнє значення,тим більш «розмазаний» розподіл навколо свого центру.

     Важливим для  практики є питання про оцінку  ступеня зв’язку між вимірюваними  величинами. Кількістю ступінь зв’язку  характеризується коефіцієнтом  кореляції R_xy, що може обчислюватися за формулою :

                                                     (1.4.1)

де  є сумою даних .

     Коефіцієнтом  кореляції, як відомо, не може  перевищувати по модулю одиницю.  Чим ближче модуль коефіцієнта  кореляції до одиниці, тим тіснище  кореляційно зв’язані розглянуті  величини х й у. Якщо =1,то говорять про функціональний(а не кореляційний зв'язок),при <0.3 можна говорити про відсутність кореляційного зв’язку. Якщо коефіцієнт значимо відрізняється від нуля, то можна одержати рівняння залежності однієї змінної від іншої. Такі рівняння називають регресії однієї змінної на іншу. Припустимо, що рівняння залежності є рівнянням прямої лінії. Тоді рівняння регресії х на у має вигляд ,а коефіцієнти в рівнянні прямої регресії знаходяться за формулами :

                                                                       (1.4.2)

     Задаючи різні  значення у, за формулами можна  визначити  , що є наближеним значенням, вірним настільки, наскільки справедлива пропозиція про статичний зв'язок між досліджуваними величинами. Обчислені значення коефіцієнтів прямої описують залежність «у середньому» і справедливі лише усередині інтервалу зміни величини у. Аналогічно може бути знайдене рівняння регресії у на х у вигляді де

                                                                       (1.4.3)

1.5 Кореляційний аналіз статичних даних

     Кореляційна  залежність проявляється досить  чітко при великій кількості  спостережень(закон великих чисел). Розглянемо вимоги до вихідної  інформації відповідно до методології  кореляційного аналізу :

• розглянуті об’єкти вибірки повинні бути однотипними (наприклад,підприємства ,що випускають однакову продукцію);
• вибірка повинна бути досить великою;
• для всіх елементів вибірки ознака повинна мати однакову розмірність і бути вимірна з однаковою точністю;
• у математичну модель включається незалежні одна від одної факторні ознаки, оскільки наявність тісного кореляційного зв’язку між ними свідчить про те,що вони характеризують ті самі сторони досліджуваного явища й значною мірою дублюють один одного;
• у математичну модель не включаються факторні ознаки, функціонально пов’язані з результативною ознакою.

     До задачі  кореляційного аналізу відносяться  :

• встановлення виду, ознаки(кількісна або якісна ознака);
• встановлення наявності зв’язку ;
• встановлення напрямку дії й виду форми зв’язку ;
• вибір статичної значимості тісноти зв’язку й вибір факторів, щ роблять найбільш істотне значення на результативну ознаку.

     Розглянемо,як  проводиться аналіз парної кореляції.

     Парна кореляція  – це зв'язок між двома ознаками , один із яких є факторним(фактором), а інший – результативним. Парні  кореляційні зв’язки класифікуються по напрямку дії й виду форми зв’язку. По напрямку дії кореляційний зв'язок може бути :

1. прямий(позитивний), при якому зі збільшенням(зменшенням)значення факторної ознаки збільшується (зменшується) значення результативної ознаки й коефіцієнт кореляції позитивний;
2. зворотній (негативний) при якому зі збільшенням(зменшенням) значення факторної ознаки зменшується (збільшується) значення результативної ознаки й коефіцієнт кореляції позитивний.

По виду форми зв’язку  розрізняють кореляційний зв'язок :

1. лінійний (прямолінійний), при якому рівномірній зміні значення факторної ознаки відповідає рівномірна зміна значення результативної ознаки
2. нелінійний (криволінійний), при якому зі збільшенням значення факторної ознаки відбувається не рівномірне збільшення(або зменшення) значення результативної ознаки.

     Вид залежності й форми зв’язку легко встановити по кореляційному полю точок. Для цього необхідно побудувати за допомого майстра діаграм точечну діаграму за табличними даними  спостереження. Якщо точки кореляційного поля:

1. розкидані по всьому полю, то залежності між досліджуваними ознаками немає;
2. концентруються навколо прямої лінії, що йде від нижнього лівого кута у верхній правий,то є пряма залежність;
3. концентруються навколо прямої лінії, що йде від верхнього лівого кута у нижній правий,то є зворотна лінійна залежність;
4. концентрується навколо деякої кривої,тоді є нелінійна залежність.

    Коефіцієнт кореляції  характеризує тісноту зв’язку  між ознаками Х та У у  випадку лінійної залежності, його  значення визначається за формулою :

                                                                                                          (1.5.1)

Де  - кореляційний момент випадкових величин (ВВ) Х та У : - середньоквадратичне відхилення ВВ Х та У.

     Кореляційний  момент – це математичне очікування  добутку центрових ВВ  : . Для незалежних ВВ, ,отже в інших випадках .

     Інструмент  «Кореляція» пакета аналізу дозволяє  обчислити кореляційну матрицю,  що містить коефіцієнти парної  кореляції багатовимірної вибірки.

     У реальних  дослідженнях найчастіше зустрічаються  складні взаємозв’язки між явищами,  тому виникає задача визначення  тісноти зв’язку між багатьма  змінними. Для цієї мети використовують  коефіцієнт множинної (багатовимірної) кореляції, що характеризує тісноту  зв’язку результативної ознаки  з сукупністю факторних ознак. 

     Коефіцієнт  множинної кореляції використовується  у вигляді критерію оцінки точності функції регресії. Чим його значення ближче до одиниці, тим сильніше факторні ознаки впливають на результативну ознаку. На величину коефіцієнта кореляції впливають: географічний фактор, фактор години й особливо неоднорідність вихідного матеріалу.

     Якщо , то зв'язок між ВВ Х і У досить ймовірний.

     Для практичного  застосування можна використати  спрощені критерії оцінки тісного  зв’язку, представлені в таблиці  3.

     При аналізі  тісноти зв’язку використовують, ще і, коефіцієнт детермінації, що при лінійному зв’язку дорівнює квадрату коефіцієнта кореляції .

Таблиця 4 – кількісні критерії оцінки тісноти зв’язку.

	Характерна зв’язку
До 0,3	практично відсутня,слабка
Від 0,3 до 0,5	помірна
Від 0,5 до 0,7	помітна
Від 0,7 до 0,9	сильна
Від 0,9 до 0,99	дуже сильна

     Коефіцієнт  детермінації показує частку  зміни(варіації) результативної ознаки  під впливом факторної ознаки. Коефіцієнт детермінації може  приймати значення від 0 до 1. Більше  докладні відомості про коефіцієнт  детермінації наведені в розділі  «Парний регресійний аналіз».

1.6 Регресійний аналіз статичних даних

    До задачі регресійного  аналізу відносяться:

1. побудова математичної моделі у вигляді залежності результативної ознаки від факторних ознак;
2. оцінювання параметрів цієї моделі й установлення її відповідності вибірковим спостереженням ;
3. одержа ння точених й інтервальних прогнозів результативної ознаки.

    Регресія –  це однобічна стохастична залежність, що встановлює відповідність  між випадковими змінними. Якщо досліджують стохастичну залежність змінної у від х (у противному випадку регресію х на у). Однобічна стохастична залежність виражається за допомогою функції регресії або просто регресії.

     Щодо числа  змінних розрізняють парну регресію  – регресія між двома ознаками (залежність прибутку підприємства  від продуктивності праці) і  багатовимірну (множину) регресію  – регресія між результативною  ознакою й декількома факторними  ознаками.

    По типу з’єднування  явищ розрізняють :

1. безпосередньо регресію, коли причина впливає на наслідок,тобто результативна й факторна ознака зв’язні безпосередньо між собою;
2. напрямку регресію – факторна ознака діє через якийсь третій або ряд інших факторних ознак на результативну ознаку;
3. нонсенс – регресія (помилкова або абсурдна регресія) виникає при формальному підході до досліджуваних явищ, у результаті чого приходять до встановлення помилкових і навіть безглуздих залежностей.

    

1. Парний лінійний регресійний аналіз

     Введемо позначення - умовне середнє значення ВВ У (за умови, що значення ВВ Х фіксоване); - умовне середнє значення ВВ Х. Як розглянути умовні середні значення при всіх значеннях ВВ Х, то одержимо функцію регресії величини У на  величину . Аналогічно, функцію регресії величину Х на величину .

     Якщо функції  регресії відомі, то можна за  значенням однією ВВ прогнозування  значення іншої випадкової величини.

      Залежність  результативної ознаки У від  факторної ознаки Х можна представити  у вигляді:

                                                                                                 (1.6.1.1)

де  – функція, що виражає об’єктивну закономірність між результативною ознакою У й факторною ознакою Х : е – випадкова величина, що виражає вплив неконтрольованих і неврахованих, а також помилок виміру.

     У випадку  парної лінійної регресії залежність (5) приймається у вигляді:

                                                                                                    (1.6.1.2)

Тоді 

                                                                                                     (1.6.1.3)

Тобто випадкова величина е характеризує відхилення змінної  у від середньої величини

                                                                                                (1.6.1.4)

Рівняння (1.6.1.4) називають моделлю регресії або рівнянням регресії.

     Параметри  а₀,а₁ називають коефіцієнти регресії. Параметр а₀ виражає силу зв’язку : чим більше його значення, тим зв'язок між ВВ Х і У сильніше. Коефіцієнти регресії повинні бути підібрані таким чином, щоб ліня регресії проходила якнайближче до всіх точок кореляційного поля, тобто практично через його центр.

     В 1806 р. французький  математик Лежандр показав, що  найкращим чином буде відображати зв'язок між змінними, лінія, для якої виконується умова

                 (1.6.1.5)

де  - спостережуване (фактичне) значення ВВ У, – відповідне розрахункове середнє значення ВВ У. Рівняння (1.6.1.5) являє собою математичний запис методу найменших квадратів.

     У середовищі  електронних таблиць коефіцієнти  рівняння лінійної регресії у  випадку парної кореляції можна  одержати за допомогою :

• статичних функцій майстра функцій;
• формули масиву ЛИНЕЙН майстра функцій;
• інструмента РЕГРЕСІЯ пакету аналізу;
• ліній тренда.

2. Критерій оцінки якості моделі регресії

     Якість математичної моделі регресії можна оцінити за декількома критеріями. Отримана математична модель буде якісною в тому випадку, якщо між фактичними значеннями результативної ознаки y_i й відповідними теоретичними значеннями існує тісна залежність, яку можна оцінити за допомогою коефіцієнта парної кореляції. Якщо значення коефіцієнта кореляції близько до одиниці, то якість моделі висока.