Симметрические многочлены

Федеральное агентство по образованию Российской Федерации

САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ Н.Г. ЧЕРНЫШЕВСКОГО 
 
 
 
 
 
 
 

Кафедра компьютерной алгебры  и теории чисел 
 
 
 

Симметрические  многочлены 

Курсовая  работа

Студента 1 курса 121 группы механико-математического факультета 
 
 
 

Вражнов Александр Константинович 
 
 
 
 
 
 
 

Научный руководитель

ассистент  

должность, уч.степень, уч.звание           подпись, дата                  инициалы, фамилия 
 

Зав. Кафедрой

д.т.н., профессор 

уч.степень, уч.звание                                  подпись, дата                инициалы, фамилия 
 

САРАТОВ

2009 год 

Содержание 

1.Введение………………………………………………………стр 3 

2.Основные определения………………………………………стр 4 

3.Кольцо симметрических многочленов……………………...стр 5 

4.Основная теорема о симметрических многочленах………..стр 6 

5.Метод неопределенных коэффициентов……………………стр 9 

6.Дискриминант многочлена…………………………………..стр 11 

7.Результант…………………………………………………….стр 13 

8.Список литературы…………………………………………..стр 14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                                                      

1. Введение 

     Теория  многочленов - важный раздел алгебры. Большое  значение в теории многочленов от нескольких переменных имеют симметрические многочлены - частный случай симметрических функций. С их помощью можно составлять уравнения по их корням, освобождаться от алгебраической иррациональности в

знаменателе дроби, решать некоторые системы нелинейных уравнений от нескольких переменных, решать уравнения высших степеней. 

     Уже в школьном курсе математики изучаются  формулы Виета для уравнений второй степени от одной переменной, решаются уравнения и системы уравнений, содержащих многочлены. Задачи такого типа встречаются в заданиях ЕГЭ и централизованного тестирования, например, задачи по составлению уравнений по их корням. 

     Целью курсовой работы является изучение теории симметрических многочленов. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. Основные определения 

1. Множество k называется кольцом, если оно содержит сумму, разность и произведение двух любых своих элементов 

2. Кольцо k называется полем, если содержит частное двух любых элементов 

3. Многочленом от одной переменной называется выражение вида

   

4. Любое расположение чисел {1,2,3…n} в любом другом порядке называется перестановкой 

5. Конечная сумма вида называется линейной комбинацией. 

6. Кососимметрическим многочленом называется многочлен не изменяющийся при четных перестановках переменных и меняющий знак при нечетных перестановках. 

7. Степенной  суммой называется выражение

Для таких сумм справедливы формулы (формулы Ньютона)

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3. Кольцо симметрических многочленов 

     Возьмем кольцо многочленов над бесконечным целостным кольцом коэффициентов А. Поставим в соответствие каждой перестановке автоморфизм   (Объекты, между которыми существует изоморфизм, являются в определённом смысле «одинаково устроенными») переводящий произвольный многочлен

 в многочлен  :  

Многочлен называется симметрическим, если  для всех  
. 

Как и для  функций вводятся элементарные симметрические многочлены :

Следовало бы рассмотреть многочлен

            

над  от новой переменной Y и заметить что - симметричный многочлен поскольку левая часть тождества (2) не меняется при любых перестановках линейных множителей  

     Так как  - автоморфизм кольца то любые линейные комбинации симметрических многочленов и их произведения будут снова симметрическими многочленами. Это означает что множество всех симметрических многочленов образует кольцо, являющиеся подкольцом кольца . 
 
 
 

4. Основная теорема  о симметрических  многочленах 

     Наиболее  общим способом получения симметрических многочленов является следующий: нужно  взять произвольный многочлен  и подставить вместо соответственно получившийся в результате многочлен

 

будет так же симметрическим.

      Заметим так же что одночлен  входящий в g переходит при подстановке в однородный многочлен от степени  , т.к. deg = k,

сумму называют весом одночлена .

Весом многочлена считают максимум весов одночленов входящих в .

      Теорема 1. Пусть - симметрический многочлен полной степени m над целостным кольцом А. Тогда существует, и притом единственный, многочлен веса m для которого выполнено

                         

Доказательство

1)Доказательство  существования многочлена

     Используем  принцип математической индукции по двум параметрам m и n: при n=1 Т. Очевидна т.к. и  
. Предполагая утверждение о существовании доказанным для многочленов ≤ n-1 переменных, в случае n переменных рассуждать по индукции относительно m=deg f.

Т.к. при m=0 доказывать нечего, положим m>0 и считаем установленным существование для любого многочлена степени <m.

      Пусть теперь - заданный симметричный многочлен степени m. Положим , имеем

     Где - какой-то многочлен из веса ≤ m a - элементарные симметрические многочлены  от . Очевидно deg ≤ m следовательно многочлен

           

Имеет полную степень  по не более m и является симметрическим. Кроме того  , отсюда следует, что делит  . Но в силу симметричности 
                         

т.е. содержит в качестве множителей, а значит и их произведение . Итак,

     

где - снова симметрический многочлен степени . По предположению индукции существует многочлен веса ≤ m – n, для которого

. Учитывая (3) и (4) для получаем выражение:

     

и существование многочлена

веса ≤ m установлено. Т.к. , то вес не может быть меньше m и следовательно равен в точности m. 

2) Доказательство единственности

Если бы существовали два не равных друг другу многочлена , с условием , то мы имели бы многочлен для которого =0.

Покажем что  это не так. От противного: выберем  многочлен  минимальной степени, обращающийся при подстановке в нуль. Рассмотрим _{как многочлен от} над

, перепишем  в виде

 

Если  = 0, то = где . По предположению

 а так как кольцо - целостное, то отсюда вытекает . Это невозможно т.к.  
следовательно  
 

Рассмотрим теперь равенство

в  , подставим 0 вместо , тогда все члены кроме первого обратятся в 0 и мы получим равенство