Симметрические и антисимметрические многочлены и их приложения

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Ульяновский государственный педагогический университет

имени И.Н.Ульянова»

Кафедра алгебры и геометрии

Студентка 5 курса

Заочного отделения

Физико-математичекого факультета

Младшева Татьяна

Симметрические и антисимметрические многочлены

и их приложения

Курсовая работа

Руководитель- К.Ф.-М.Н.,

Доцент

С.А. Гришина

Ульяновск 2012

Содержание

Введение…………………………………………………………………………...3

Глава 1. Антисимметрические многочлены

§1 Понятие антисимметрического многочлена. Основная теорема об антисимметрических многочленах………………………………………………4

§2 Разложение многочлена на множители с помощью теоремы антисимметрического многочлена………………………………….…………..7

Глава 2. Применение симметрических и атисимметрических многочленов

§1. Освобождение от иррациональности в знаменателе выражения…………12

§2.Извлечение корней с помощью симметрического многочлена…………...15

§3.Геометрия треугольника……………………………………………………..17

Заключение……………………………………………………………………….19

Литература………………………………………………………………………21

Приложение……………………………………………………………………..23

Введение

Теория многочленов – важный раздел алгебры. Большое значение в теории многочленов от нескольких переменных имеют симметрические многочлены – частный случай симметрических функций. С их помощью можно составлять уравнения по их корням, освобождаться от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби, решать некоторые системы нелинейных уравнений от нескольких переменных.

Уже в школьном курсе математики изучаются формулы Виета для уравнений второй степени от одной переменной, решаются уравнения и системы уравнений, содержащих многочлены. Задачи такого типа встречаются в заданиях ЕГЭ и централизованного тестирования, например, задачи по составлению уравнений по их корням.

Целью курсовой работы является изучение симметрических и антисимметрических многочленов и их приложений; решение ряда задач на извлечение корней с помощью симметрических многочленов через элементарные симметрические  и на приложения симметрических многочленов: уничтожение иррациональности в знаменателе дроби; Курсовая работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы и приложений.

Задачи курсовой работы:

      формирование понятия антисимметрического многочлена;

      формирования общего метода освобождения от иррациональности в знаменатели;

      извлечение корней с помощью симметрического многочлена;

Глава 1 Антисимметрические многочлены.

§1 Понятие антисимметрического многочлена.Основная теорема об антисимметрических многочленах

Антисимметрический многочлены - многочлен, меняющие знак при перестановке любых двух переменных.

Теорема. Любой антисимметрический многочлен f(x, y) от двух переменных x, y имеет вид

f(x, y)=(x -y)g(x, y),                                                                             (1)

где g(x, y) — симметрический многочлен от x и y.

Прежде чем доказывать эту теорему, мы установим следующую лемму.

Лемма. Если f(x, y) — антисимметрический многочлен, то f(x, x)=0.

Иными словами, при совпадающих значениях переменных x и y антисимметрический многочлен обращается в нуль.

Для доказательства достаточно заметить, что условие антисимметричности многочлена f(x, y) можно записать в виде

f(x, y)=- f(y, x).

Положив в этом равенстве y = x, получим соотношение f(x, x)=f(x, x), которое может иметь место лишь в том случае, если

f(x, x)=0.

Доказанную лемму можно сформулировать несколько иначе.

С этой целью расположим многочлен f(x, y) по степеням x, а переменную y включим в коэффициенты. Например, если антисимметрический многочлен f(x, y) имеет вид

f(x, y)=x4y2 - y4x2 + x4y -y4x + x3y2 -x2y3

то запишем его в виде

f(x, y)=(y2+ y)x4 + y2x3- (y4 + y3)x2 -y4x.

Из доказанной леммы вытекает, что если положить в многочлене x =y, то он обратится в нуль. Иными словами, значение x = y является корнем антисимметрического многочлена f(x, y), рассматриваемого как функция от x.

Но тогда, в силу теоремы Безу (см. Приложение 1), многочлен f(x, y) делится без остатка на x-y, т. е. f(x, y)=(x -y)g(x, y),  где g(x, y) — некоторый многочлен.

Чтобы закончить теперь доказательство теоремы, нам осталось показать, что многочлен g(x, y) симметричен. Для этого поменяем в соотношении (1) местами x и y:

f(y, x)=(y -x)g(y, x).

Такая замена допустима, поскольку соотношение (1) является тождеством, т.е. справедливо при любых значениях переменных x, y. Так как по условию f(x, y)=-f(y, x) и так как (x -y)=-(y -x), то отсюда вытекает,

что f(x, y)=(x - y)g(y, x).

Сравнивая это соотношение с равенством (1), находим, что (x-y)g(x,y)=(x- y)g(y,x), и потом у при x ≠y справедливо равенство g(y, x)=g(x, y). При x = y последнее равенство принимает вид g(x,x)=g(x,x) и также, очевидно, справедливо. Итак, при любых x, y имеет место равенство g(y, x)=g(x, y), т. е. g(x, y) — симметрический многочлен. Теорема доказана.

Итак, строение антисимметрических многочленов от двух переменных полностью выяснено: каждый из них делится на x-y, при чем в частном получается симметрический многочлен.

Случай многочленов от трех переменных рассматривается точно так же. Сначала устанавливается, что антисимметрический многочлен обращается в нуль, если какие-нибудь два переменных совпадают.

Иными словами, f(x,x,z)=f(x, y,x)=f(x, y, y)=0 для любого антисимметрического многочлена f(x, y, z).

После этого, применяя теорему Безу(приложение 1), выводим, что каждый антисимметрический многочлен от трех переменных делится на выражения

x-y, x -z и y- z. Но тогда он должен делиться и на произведение этих выражений, т. е. на антисимметрический многочлен T =(x -y)(x -z)(y -z).

Таким образом, каждый антисимметрический многочлен f(x, y, z) можно записать в виде

f(x, y, z)=(x -y)(x- z)(y- z)g(x, y, z),                                                                                                  (2)

где g(x, y, z) — некоторый многочлен. Как и для многочленов от двух переменных, мы затем убеждаемся в симметричности многочлена g(x, y, z).

Итак, для антисимметрических многочленов от трех переменных имеет место следующее утверждение.

Теорема. Любой антисимметрический многочлен f(x, y,z) от трех переменных x, y, z является произведением многочлена T =(x -y)(x -z)(y -z) на некоторый симметрический многочлен g(x, y, z) от переменных x,y, z (см. (2)). T*g(x;y;z)

Антисимметрические многочлены от n переменных определяются точно так же, как и в случае двух и трех переменных. Именно, многочлен f(x1, x2, . . ., xn) называется антисимметрическим, если он меняет знак при любой перестановке двух переменных.

Все утверждения, доказанные об антисимметрических многочленах от трех переменных, без изменений переносятся на случай многочленов большего числа переменных. Сложнее становится лишь структура простейшего антисимметрического многочлена. В случае трех переменных он имел вид (x-y)(x- z)(y -z).

Иными словами, в него входили в качестве сомножителей все раз-

ностим ежду переменными x, y, z и идущими за ними переменными

(т. е. разности x-y, x- z и y- z).

Обобщая это правило на большее число переменных, получаем выражением следующего вида:

Например, в случае четырех переменных получаем многочлен

T(x1, x2, x3, x4)=(x1 _ x2)(x1 _ x3)(x1 _ x4)(x2 _ x3)(x2_ x4)(x3_ x4).

Непосредственно проверяется, что указанный многочлен T(x1, x2, . . ., xn) является антисимметрическим, т. е. меняет знак при перестановке любых двух переменных. Он называется простейшим антисимметрическим многочленом от n переменных x1, x2, . . ., xn.

Название это объясняется тем, что, как и в случае тр.ех переменных, любой антисимметрический многочлен f(x1, x2, . . ., xn) можно представить в виде

f(x1, x2, . . ., xn)=T(x1, x2, . . ., xn)g(x1, x2, . . ., xn), где g(x1, x2, . . ., xn) — симметрический многочлен

(основная теорема об антисимметрических многочленах от n переменных). Доказывается это утверждение дословно так же, как и для случая трех переменных

§2. Разложение многочлена на множители с помощью теоремы антисимметрического многочлена.

Так как любой антисимметрический многочлен от трех переменных x, y, z

делится на многочлен

T(x, y, z)=(x - y)(x - z)(y - z),

то сразу же получается возможность разложить любой антисимметрический многочлен f(x, y, z) на множители :

f(x, y, z)=T(x, y, z) * g(x, y, z),                                                                                                                 (*)

где g(x, y, z) — симметрический многочлен.

Заметим, что для отыскания частного

нецелесообразно производить делени е («в столбик») антисимметрического многочлена f(x, y, z) на кубический многочлен T(x, y, z). Более удобным (когда степень многочлена f(x, y, z) не слишком высока) является метод частных значений.

Именно, если антисимметрический многочлен f(x, y, z) имеет третью степень, то частное

                                                   (**)

является многочленом нулевой степени, т. е. числом:

f(x, y, z)=k *T(x, y, z).

Это соотношение является тождеством, т. е. справедливо при любых значениях x, y, z. Поэтому для определения числа k достаточно в последнем равенстве придать x, y, z какие-либо (попарно различные) числовые значения; отсюда и определится число k.

Если антисимметрический многочлен f(x, y, z) является однородным многочленом четвертой степени, то частное (**) является однородным симметрическим многочленом первой степени, т. е. имеет вид k1:

f(x, y, z)=T(x, y, z) * k1

(k — число). И здесь для определения неизвестного коэффициента k достаточно придать x, y, z какие-либо числовые значения.

Аналогично, если f(x, y, z) — однородный антисимметрический многочлен пятой степени, то частное (**) является однородным симметрическим многочленом второй степени, т. е. имеет вид k2 + l2, где k и l — неизвестные коэффициенты:

f(x, y, z)=T(x, y, z) * (k12 + l2).

Для нахождения двух неизвестных коэффициентов k, l мы должны дважды придать x, y, z некоторые числовые значения.

Если f(x, y, z) — однородный антисимметрический многочлен шестой степени, то

f(x, y, z)=T(x, y, z) * (k13 + l1s2 +m3),

и т. д.

Примеры.            

1. Разложить на множители многочлен

f(x, y, z)=(x - y)3+(y - z)3+(z - x)3.[1,стр.95]

Многочлен — антисимметрический. Имеет третью степень.

f(x, y, z)=k * T(x, y, z).

Чтобы найти коэффициент k, x=0, y=1, z = 2. Получается 6 = -2k, и потом у

k= -3. Таким образом,

(x - y)3+(y - z)3+(z - x)3= -3(x - y)(x - z)(y - z)=3(x - y)(y - z)(z - x).

2. Разложить на множители многочлен

f(x, y, z)=yz(y2- z2)+xz(z2- x2)+xy(x2- y2). [1,стр.95]

Имеем:

f(x, y, z)=T(x, y, z) - k1, 

т. е.

yz(y2- z2)+xz(z2- x2)+xy(x2- y2)=k(x + y + z)(x - y)(x - z)(y - z).

Чтобы найти коэффициент k, x=0, y=1, z = 2. Получается, что k = 1, и потом у

yz(y2- z2)+xz(z2- x2)+xy(x2- y2)=(x + y + z)(x - y)(x - z)(y - z).

3. Разложить на множители многочлен

f(x, y, z)=x3(y2- z2)+y3(z2- x2)+z3(x2 - y2). [1,стр.96]

Этот антисимметрический многочлен имеет пятую степень, и потому

f(x, y, z)=T(x, y, z) * (k12 + l2).

Положим в этом тождестве сначала x = -1, y=0, z=1. Тогда 1=0, 2 =-1,

f(x, y,z)=2, T(x, y, z)=-2, и потом у 2 = -2 * (-l), откуда l=1.

Точно так же, полагая x=0, y=1, z = 2, находим -4=-2(9k+2l). Так как l = 1, то отсюда получаем k = 0. Таким образом,

f(x, y, z)=x3(y2- z2)+y3(z2- x2)+z3(x2 - y2)=(x - y)(x - z)(y - z)(xy + xz + yz).     

Задание . Разложить на множители многочлен

a)     [1, стр 38]

b)    [1, стр 63]

c)     [1, стр 41,зад.1]

d)    [1, стр 39]

a)     Решение. Имеем

Этот многочлен второй степени относительно легко разложить на множители. Так как он имеет корни  =и то

Подставляя вместо их значения , , получаем:

Каждый из двух квадратных трехчленов, стоящих в правой части, снова можно  разложить на множители. Например, рассматриваемый как квадратный многочлен относительно x, имеет корни , и поэтому

=.

Аналогично находим:

.

Таким образом, окончательно получаем:

=.

b)    Решение. Так как ,

c)     Решение.
 

Последняя скобка представляет собой квадратный трехчлен, не разлагающийся на множители с действительными коэффициентами.

d)    +

Полученные трехчлены не разлагаются на множители с действительными коэффициентами.

Глава2. Применение симметрических и атисимметрических многочленов.

§1. Освобождение от иррациональности в знаменателе выражения

Симметрические многочлены позволяют решать многие трудные задачи на освобождение от иррациональности в знаменателе.

В случае, когда знаменатель имеет вид или Эту задачу можно решить и без применения симметрических многочленов. Для этого достаточно использовать формулы:

();

Например, если надо освободиться от иррациональности в знаменателе выражения

,                       [1, стр. 74]

то сначала умножаем числитель и знаменатель на «сопряженное выражение »   (что приводит знаменатель к виду ), а потом - на . Мы получаем:

Теперь уже можно использовать вторую из приведенных выше формул. Положим в ней . Тогда ясно, что надо умножить числитель и знаменатель на выражение

+

После умножения получим:

Сложнее обстоит дело, если знаменатель состоит из трех или большего числа иррациональных слагаемых. Здесь-то могут помочь симметрические многочлены.

Задание 1. Освободиться от иррациональности в знаменателе выражения.

a)        [1, стр. 74]

b)        [1,стр. 74]

Решение задания:

a)    

Положим Тогда знаменатель является не чем иным, как элементарным симметрическим многочленом Попробуем подыскать множитель, после умножения на который знаменатель удастся выразить через степенные суммы вид

то знаменатель становиться рациональным выражением.

Для разыскания этого множителя используем формулы

Мы видим, что в обеих степенных суммах лишь последнее слагаемое (в правой части) не делится на Но очень легко скомбинировать эти степенные суммы так, чтобы меняющие нам последние слагаемые взаимно уничтожались. Для этого возведем сумму в квадрат

и вычтем из этого квадрата удвоенную сумму Мы получим:

откуда

Пологая теперь в этой формуле мы найдем (используя указанные выше соотношения );

Остается умножить обе части полученного равенства на q и наша задача решена.

b)             .

Решение. Напишем выражение степенной суммы :

Здесь в правой части только последнее слагаемо 3 не делится на . Перенося его в левую часть, получаем:

откуда

Полагая здесь , находим:

=

Таким образом видим, что если знаменатель дроби имеет вид  , то после умножения числителя на выражение

-

В знаменателе получим выражение

Теперь для освобождения от иррациональности  достаточно использовать формулу

Надо умножить числитель и знаменатель на выражение

.

В результате мы получим:

=(-)

§2.Извлечение корней с помощью симметрического многочлена

Школьникам хорошо известен способ извлечения квадратных корней. Однако удобных способов извлечения корней более высокой степени (если не считать пользования таблицами, например логарифмическими) в школе не изучают. Извлечение корней можно сравнительно несложно выполнить с помощью так называемого метода последовательных приближений.

Пусть надо вычислить k√N, где N — некоторое положительное число. В качестве «нулевых приближений» выберем произвольные положительные числа a1(0) , a2(0), . . ., ak-1(0) и добавим к ним число . Взятые числа обладают тем свойством, что их произведение k = a1(0)  a2(0) . . .ak-1(0) равно N. Вычислим теперь элементарные симметрические многочлены k от чисел a1(0) , a2(0), . . ., ak-1(0), составляющих  нулевое приближение, и в качестве первого приближения числа

Произведение всех чисел первого приближения равно

т.е. по-прежнему равно N.

Составляются элементарные симметрические многочлены k от чисел 

a1(1) , a2(1), . . ., ak(1), составляющие первое приближение, и по ним точно так же находится следующее, второе, приближение:

Произведение всех чисел второго приближения опять равно N. Затем по числам второго приближения составляется третье приближение a1(3) , a2(3), . . ., ak(3) и т.д.

Можно доказать, что при n→∞ каждая из величин a1(n) , a2(n), . . ., ak(n),составляющих n-е приближение, стремиться к k √N.

Пример:

При k=2, т.е. при извлечение квадратного корня мы имеем такие формулы:

и вообще

Пусть, например, требуется вычислить √3.

a1(0)=2. Тогда получается последовательность:

Переводя простые дроби в десятичные, имеем:

a1(3)=1,73205081…, a2(3)=1,73205080…,

т.е. третье приближение дает уже семь верных знаков после запятой.

§3.Геометрия треугольника

Для сторон и углов треугольника ABC будут обозначения, указанные на рис.1. Кроме того, в треугольнике p-полупериметр, r-радиус вписанной окружности, R- радиус описанной окружности, S-площадь, ha, hb, hc- соответствующие высоты

рис.1

В треугольнике ABC :

1)      

2)2=,  cos2=

3)

4)  a3+2pa2+(p2+r2+4Rr)a-4pRr=0

Отсюда следует длины сторон треугольника ABC  является корнем уравнения   a3+2pa2+(p2+r2+4Rr)a-4pRr=0

С помощью теоремы Виета из этого уравнения получаем:

                                                  a+b+c=2p;

                                          ab+bc+ca=p2+r2+4Rr;

                                          abc=4pRr.

Будем в дальнейшем считать, что  элементарные симметрические многочлены от x,y,z. Докажем несколько тождеств в треугольнике. Справедливо следующее соотношение:

1)     [13, стр.156, 19.63]

Найдем общий знаменатель.

Из треугольника ABC следует

Докажем это равенство

Что требовалось доказать.[ 13, стр.156, 19.64]

Пример. [ 13, стр.156, 19.64,2]

Найдем общий знаменатель

C помощью этого тождества и из теоремы и симметрических многочленов от трех и двух переменных следует

Подставим вместо значения. Числитель делится по членно на знаменатель, общий множитель сокращается.

Тождество доказано.

Заключение.

Теория многочленов – важный раздел алгебры. Большое значение в теории многочленов от нескольких переменных имеют симметрические многочлены – частный случай симметрических функций. С их помощью можно составлять уравнения по их корням, освобождаться от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби, решать некоторые системы нелинейных уравнений от нескольких переменных.

Уже в школьном курсе математики изучаются формулы Виета для уравнений второй степени от одной переменной, решаются уравнения и системы уравнений, содержащих многочлены. Задачи такого типа встречаются в заданиях ЕГЭ и централизованного тестирования, например, задачи по составлению уравнений по их корням.

Целью курсовой работы являлось изучение симметрических и антисимметрических многочленов и их приложений; решение ряда задач на извлечение корней с помощью симметрических многочленов через элементарные симметрические  и на приложения симметрических многочленов: уничтожение иррациональности в знаменателе дроби; Курсовая работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы и приложений.

Литература

1.       Болтянский В.Г., Виленкин Н.Я. Симметрия в алгебре.-2-е изд.-М.: Наука,     гл. ред. физ.-мат. лит.,1967.

2.       Винберг  Э.Б. Алгебра многочленов.- М.: Просвещение, 1980.

3.       Винберг Э.Б. Симметрия многочленов. -М.: МЦНМО, 2001.-24 с.: ил.

4.       Деревянкин А.В.Числа и многочлены: Методическая разработка для учащихся заочного отделения МММФ.- М.: изд-во центра прикладных исследований при механико-математическом факультете МГУ, 2008.-72 с.: ил

5.       Кулагина И.В., Панова А.Н. Методы решения задач по курсу «Линейная алгебра и геометрия»: Учебное пособие, Самара: Издательство «Самарский университет», 2006, с. 54.

6.       Куликов Л.Я.  Алгебра и теория чисел.- М.: Высшая школа,1979 .

7.       Курош А.Г. Курс высшей алгебры.шестое издание./Издательство «Наука», 1968.

8.       Ляпин Е.С. Алгебра и теория чисел – М. : Просвещение, 1974. – 384с..

9.       Прасолов В.В.  Задачи и теоремы линейной алгебры.- 2- е изд.- М.,2008.

10.   Прасолов В.В. Многочлены.-3-е изд, исправленное. -М.: МЦНМО, 2003.-336 с.: ил

11.   Сборник задач московских математических олимпиад.-М.: Просвещение, 1965г.

12.   Шабунин М.И., Ткачева М.В. Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы 10 класс

13.   Шнеперман Л.Б. Курс алгебры и теории чисел в задачах и упражнениях Часть 1. – Мн.:Вышейшая школа, 1986. – 272с.

14.   Шнеперман Л.Б. Курс алгебры и теории чисел в задачах и упражнениях. Часть 2. – Мн.:Вышейшая школа, 1987. – 256с.

15.   www.mccme.ru/dubna/2008/notes/Bufetov/lecture_notes.pdf

16.   http://weblicey.ru/index2.php?option=com_docman&task=doc_view&gid=399&Itemid=35

Приложение 1.

Теорема (теорема Э.Безу). Остаток от деления многочлена P(x) на двучлен x−α равен P(α).

Доказательство. Разделим P(x) на x−α с остатком:

P(x)=(x−α) Q(x)+R(x).

По определению deg R(x)<deg(x−α)=1; следовательно, R(x) является многочленом степени 0 или −∞, т. е. числом: R(x)=r. Тогда P(α)=(α−α) Q(α)+r=r, что и требовалось доказать.

Найдите остаток от деления многочлена

P(x)=x7−3x5+x4−2x3+x+4 на x−1.

Решение. По теореме Безу искомый остаток равен P(1)=1−3+1−2+1+4=2.

Ответ: 2.

Следствие 1 из теоремы Безу. Многочлен P(x) делится на x−α тогда и только тогда, когда число α является корнем многочлена P(x).

Следствие 2 из теоремы Безу. Если α1, α2, . . . , αn —различные корни многочлена P(x), то P(x)=(x−α1)(x−α2)·. . .·(x−αn) Q(x), где Q(x) — некоторый многочлен.

Следствие 3 из теоремы Безу. Ненулевой многочлен n-й степени не может иметь более n различных корней.

Следствие 3´ из теоремы Безу. Если многочлен a0xn+a1xn−1+. . .+an−1x+an имеет более n различных корней, то он нулевой.

23