Шпаргалка по "Высшей математике"

45.Основные  хар-ки генеральной  и выборочной совокупностей.

Пусть генеральная  совокупность имеет распределение

-частоты.  -объём генеральной совокупности.

-объём выборки. Генеральная средняя . Выборочная средняя . . Генеральная дисперсия , . Выборочная дисперсия . Генеральная доля(отношение числа объекта e совокупности , обладающей данным признаком к числу всех объектов) - . Выборочная доля - . 
 

46. Оценка параметров  распределения. Несмещённость,  состоятельность,  эффективность оценок. Точечные и интервальные оценки.

Оценкой параметра называется любая функция от значений выборки , т.е. статистика. Оценка является несмещённой, если Если для любого то оценка называется состоятельной. Оценкой качества несмещенной оценки является ее дисперсия. Несмещенная оценка называется эффективной, если ее дисперсия является наименьшей среди дисперсий всех возможных оценок параметра , вычисленных по одному и тому же объему выборки п. Оценки называются точечными, так как они оценивают одно численное значение параметра (точку). Точечная оценка параметра   дает лишь некоторое приближенное значение . Чтобы получить представление о точности и надежности оценки, используют интервальную оценку параметра.

Интервальной  оценкой параметра  называется интервал (α, β), который с заданной вероятностью γ накрывает неизвестное значение параметра . Такой интервал (α, β) называется доверительным интервалом, а вероятность γ — доверительной вероятностью, или уровнем надежности. Обычно доверительный интервал симметричен относительно оценки , тогда он определяется формулой

и имеет вид т.е. неравенства выполняется с вероятностью γ. Наибольшее отклонение Δ выборочного значения параметра от его истинного значения называется предельной ошибкой выборки.

 
 
 

47. Оценка генеральных  характеристик по выборке.

Рассмотрим повторную  выборку  значений генеральной совокупности X. При этом случайные величины будут независимыми. Пусть MX= α, DX = δ² генеральные средняя и дисперсия совокупности. В качестве оценок для α и δ рассмотрим среднюю арифметическую выборки и выборочную дисперсию .

Выясним свойства этих оценок: . Значит, является несмещённой оценкой для α. Т.к. по закону больших чисел при , то оценка является состоятельной. Можно доказать, что оценка является также эффективной, причём . Математическое ожидание выборочной дисперсии равно . Таким образом, оценка является смещённой. На практике, чтобы избавиться от этого недостатка, для оценки неизвестной дисперсии генеральной совокупности пользуются исправленной несмещенной оценкой . Тем не менее, из закона больших чисел следует, что как оценка , так и являются состоятельными оценками для .Дисперсия , где N -- объем генеральной совокупности. Дисперсия в случае повторной выборки равна , а в случае бесповторной выборки , где .

 
 
 

48.Интервальной  оценкой параметра называется интервал (a;b), который с заданной вероятностью g накрывает неизвестное значение параметра (интервальная оценка позволяет установить точность и надежность оценок) Интервал(a;b) называется доверительным интервалом(интервал, который покрывает неизвестный параметр с заданной вероятностью g), а вероятность g - доверительной вероятностью

если интервал симметричен относительно оценки : он имеет вид . Q* тем точнее определяет параметр Q, чем меньше , т. е.

 если d>0 и <d, то чем меньше d, тем оценка точнее. d(уровень значимости)- характеризует точность оценки.

 
 

49. Доверительный интервал  для М(х)в случае  нормально распред.ген.совокупности

Пусть CВ Х распределена нормально т. е. ген. с-ть – нормально распределенная CВ с переменными: и . Для нормальной СВ Х с переменными a и s имеет место ф-ла вер-ти отклонения нормальной СВ: .

В нашем случае: , e=D>0, s(х)= , СВ Х= . Тогда получаем . Зададим доверительную вероятность g, тогда . Это вероятность того, что выборочная характеристика отличается от ген средней по абсолют величине меньше чем на D, тогда имеем: → t_y= . Рассмотрим D= - точность оценки(предельная ош выборки). Получим интервал: на этом интервале с надежностью(доверит вероятностью) g находится неизвестная вероятная средняя Примечание: если s₀ неизвестна, ее заменяют приближенно исправленной стат дисперсией »S

(Если отбор  бесповторный, то мера точности D имеет вид: D= )

 
 
 

50.Сред  ош в-ки – величина , где - сред квадрат отклонение средней выборки , а - среднее квадрат отклонение ген с-ти; n – объем выборки.(для бесповтор. )

Предел  ош вы-ки (D)– наибольшее отклонение выборочной средней от генеральной средней , которое возможно с данной доверительной вероятностью a. D=mt, где m - сред ош в-ки, а t находится из равенства F(t)=a по заданной вероятности a. (используя ф-лу сред.ош. выборки: D= t )(для бесп. )

 

51. Объем выборки.

Выборочной  совок-тью или просто выборкой,  наз. совок-ть случайно отобранных объектов.

Ген. совок-тью наз. совок-ть объектов, из кот. произв-ся выборка.

Объемом совок-ти (выборочной или генеральной) наз. число объектов этой совок-ти.

При составлении  выборки можно поступать двояко: после того, как объект отобран и над ним произведено наблюдение, он может быть возвращен, либо не возвращен в ген. совок-ть. В соот-вии с этим, выборки подразделяют на повторные и бесповторные.

Объем выборки  для повт. отбора: ▲= (t_γσ_о) /      ;     n = (t_γ²σ_о²) /▲²

объем выборки  для бесповт. отбора: ▲= (t_γσ_о / )* ;   n = (Nt_γ²σ_о²) / N▲² + t_γ²σ_о²

 
 

52. Доверит. Интервал  для ген. доли. Связь м/у ген.  долей и выбор. долей.

    Провод-ся послед-е независ-ые испытания Бернулли, вер-ть появл-ия события А в каждом из кот. = р и нам неизвестна. Пусть  произведено n – независ. испыт-й, в  кот. соб. А появилось m – раз, тогда  выбор. доля (w) w = - отн. частота.

Зададим довер. вер-ть γ = Р (| w - р|<▲) = γ

р – ген. доля или вер-ть соб. А

w – выб. доля  или отн. частота события.

Сред. Ошибку долей  обозн-м   μ_g = при больших объемах выборок (n>30) относит. частота стремится к норм. распред-ю с увелич-ем n, поэтому можно считать, что она распределена нормально.

 Р (| w - р|<▲) = Ф (▲/ ) = Ф (▲/μ_g)

Д (w) = Д ( ) = =

σ (w) = =

μ_g =

μ_g = = σ (w) =

М(w) = М ( ) = Р – ген. доля или вер-ть.

Р (| w - р|<▲) = Ф (▲/ ) = γ

Ф ((▲ )/ ) = γ

t_γ =( (▲ )/ )

▲ = (t_γ )/ = t_γ

довер. интервал для неизв. ген. доли (вер-ти) принимает  вид

 w - ▲< p< w +▲

w - (t_γ )/ < p< w + (t_γ )/

p w

q = 1 - p 1 – w

w – ( t_γ ) / < p< w + ( t_γ ) /

 
 

  53. Статистические гипотезы. Нулевая и конкурирующая гипотезы. Простые и сложные, параметрические гипотезы. Статист. критерий. Критическая область.

Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения, или о параметрах известных распределений.

Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу Н₀.

Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу Н₁, которая противоречит нулевой.

Гипотезы относ-но параметров распределения наз. параметрическими.

Гипотезы бывают простые и сложные.

Простая – гипотеза, содержащая только одно предположение.

Сложная – гипотеза, которая состоит из конечного или бесконечного числа простых гипотез.

Стат. критерием (значимости) наз. СВ X, кот. является ф-цией выборки K=К(х₁, х₂, х₃,…,х_n) (статистической) и служит для проверки гипотезы, с ее помощью принимается решение о принятии или отвержении гипотезы Н₀.

Критическая область – совок – ть значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают.

Область принятия гипотезы (область допустимых значений) – совок-ть значений критерия, при кот. гипотезу принимают.

 

54. Ошибки I и II рода. Мощность критерия. Уровень значимости.

     При  проверке гипотез могут быть  совершены ошибки  2-х родов: 

1) Ошибкой I рода наз. такая ошибка, кот. совершается, если будет отвергнута правильная нулевая гипотеза. Вероятность ошибки I рода обозначается a и наз. уровнем значимости:

a £ 0,1 

 Отклонения нулевой гип. на уровне a = 0,05 означ, что мы не ошибаемся в 95 случаях из 100 или совершаем всё таки ошибку, принимая правильную гипотезу за ложную в 5 случаях из 100.

2) Ошибка II рода состоит в том, что будет принята неправильная нулевая гипотеза H₀ . Вер-сть ошибки II рода обозначается b .

 Мощностью критерия k наз. вер-сть М несовершения ошибки II рода: М= 1-b. Др. словами, мощность критерия – это вер-сть того, что нулевая гип. будет отвергнута, если верна конкурируюшая гип. H₁.

Если n®¥, b®1, то критерий наз. критерием согласия.

При данном уровне значимости a из всех критериев лучшим будет тот, у кот. вер-сть ошибки II рода b будет минимальной.