Шпаргалка по "Высшей математике"

-x/ e^lxú₀^+¥ =lim x/e^lx+0=-lim 1/xe^lx=0

-e^-lx/lú₀^+¥ = -1/l(lim 1/e^lx-e⁰)=1/l

M(x)=1/l

D(x)=M(x²)-(M(x))²=l₀ò^+¥x² e^-lxdx-1/l²=1/l²

s(x)=1/lD(x)=1/l²M(x)=1/l

F(x)=_-¥ò^x=f(t)dt

1. xÎ(-¥;0), F(x)=0
2. xÎ[0;+¥), F(x)=l₀ò^x e^-ltdt= -e^-ltú₀^l= -e^-lx+1=1- e^-lx

                 0,x<0

F(x)=

                 1- e^-lx,x>=0 
 
 
 

35.Нормальный  закон распределения.

НСВ X наз.распред-ой по норм. з-ну если её плотность имеет вид

f(x)=1/(sкорень 2p) * e(степень(-(x-a)²/2s²)

s>0, a-параметры

a=M(x)=1/(s корень 2p) _-¥ò^+¥ x e(степень(-(x-a)²/2s²)=Å

x-a/s=t

x=a+st

x=-¥

x=+¥

dx=sdt

t=-¥

t=+¥

Å=1/(s корень 2p)s_-¥ò^+¥(a+st)=e^-t2/2dt=1/ (корень 2p)a_-¥ò^+¥ e^-t2/2dt+s/ (корень 2p)_-¥ò^+¥ te^-t2/2dt=ÅÅ

1. _-¥ò^+¥ e^-t2/2dt= (корень 2p)-интеграл Пуассона
2. _-¥ò^+¥ te^-t2/2dt=0

ÅÅ=1/( корень 2p)a(корень 2p)+0=a

D(x)= 1/(s корень 2p)*_-¥ò^+¥(x-a)² e(степень(-(x-a)²/2s²)dx

(x-a)/s=t

D(x)=s²

Уникальность  норм.з-на распределения в том, что  он явл.наиб.изуч.з-ом распредел. СВ. 
 

36.Нормальная  кривая

Гр-к плотности  распределения норм.з-на

f(x)=1/(sкорень 2p) *  e(степень(-(x-a)²/2s²)

1. ОДЗ:xÎ(-¥;+¥)
2. Непр.xÎR

Lim f(x)=lim 1/(sкорень 2p) * e(степень(-(x-a)²/2s²)=0

3. Исслед.на экстремумы

f¢¢(x)= 1/(sкорень 2p)*e(степень((x-a)²/2s²)(-2(x-a)/2s²)=-1/s(кубич.корень(2p))* e(степень(-(x-a)²/2s²))*(x-a)

 

x>a, f¢¢(x)<0

x<a, f¢¢(x)>0

x=a t. max f¢_max(a)=1/(sкорень 2p)

4. f¢¢¢(x)= 1/s(кубич.корень(2p))* e(степень(-(x-a)²/2s²))*(1-((x-a)²/s²)

f¢¢¢(x)=0

1-((x-a)²/s²)=0

(x-a)²=s²

x-a=+-s             x-a=s     x-a=-s

x=a+-s

x₁=a-s        критич.точки

x₂=a+s

 

X=a+-s

f(x)=1/( корень 2pe)

5. Гр-к ф-ии f(x) симметричен отн-но прямой x=a т.к. разность x-a входит в ф-лу (x-a)²

 
 

   f(x)

                                                                           
 
 
 
 
 
 
 
 

Кривая Гаусса нормальная кривая

a=0

s=1

f(x)=e^-x2/2

Влияние a и s на ф-лу Гаусса

1) зафиксируем s=const a параметр а будем изменять

при этом кривая а не меняет формы, а будет смещаться по ости OX

3. зафиксируем a=const a параметр s будем изменять

f_max=1/(s корень 2p)

s увелич. f_max уменьш. И вершина кривой становится более пологой

s уменьш-наоборот

s-параметр масштаба

а-параметр сдвига 

    
 
 

42.Закон  больших чисел  в формуле Бернулли.

Рассматр. серия послед.независ.испытаний  Бернулли,в каждом из которых событие  А (успех) происходит с вероят-тью  р. Пусть произведено n независимых испытаний,событие А в котором произошло m раз, тогда m-частота, число появления успеха

m/n относит.частота

при неограниченном увеличении числа независимых опытов n относит.частота сходится по вероят-ти р появлен.события А.

Р([m/n]<E)>=1-pq/nE²                

Lim(P[m/n]<E)>=1

Частота m появления события А в n испытаниях Бернулли есть СВ, распредел. по биномиальному закону.

Ее числовые характеристики:  X=m

M(x)=M(m)=np,   D(x)=D(x)=npq

m/n=СВ распределена по биномиальному закону, числи m=const, значит

D(m/n)=1/n²    D(m)=npq/n² =pq/n        

M(m/n)=1/n     M(m)=np/n=p

Рассмотрим  P([m/n-p]<E)>=1-D(x)/E² =1-pq/nE²

Lim P([m/n-p]<E)=1

  

43.Понятие  о центральной  предельной теореме  Липунова.

Если  рассматривается последовательность независимых случ.величин имеющих

M(x_i)=a      D(x_i)=б²       M(x_i-a)³)=m 

Тогда при неограниченном увеличении числа  n x₁+x₂+x₃+…+x_n-стремится к нормальному распределению. 

44. Генеральная совокупность. Выборка.

Стат. сов-тью наз. любую сов-ть объектов, объединенных по какому-то признаку. Различают генер. И выборочную сов-ть.

Выборкой назыв. любая сов-ть случайно отобранных объектов.

Генер.сов-тью назыв. сов-ть из которой произведена выборка.

Объемом сов-ти назыв. число объектов этой сов-ти.

Выборка назыв.повторной если объект перед отбором следующего объекта возвращается в генер. сов-ть. Если не возвращается – выборка назыв. бесповторной.